2021-2022学年福建省石狮市区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2021-2022学年福建省石狮市区九年级上学期数学期末试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解即可．
【详解】由题意得：x+1≥0，
解得：x≥-1，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2. 若，则的值为( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】∵，
∴，
∴=．
故选C．
【点睛】本题考查比例的性质，用b表示出a是解题的关键．
3. 如图，在中，，则的长（ ）
A. 4B. C. 2D. 5
【答案】A
【解析】
分析】根据平行线截线段成比例即可解答．
【详解】∵，
∴，即，
解得：．
故选A．
【点睛】本题考查平行线截线段成比例．正确的列出比例式是解题关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. +=B. =2
C. •=D. ÷=2
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】解：A.与不能合并，所以A选项错误，不符合题意；
B.原式=3，所以B选项错误，不符合题意；
C.原式==，所以C选项错误，不符合题意；
D.原式==2，所以D选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率，
故选D．
【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
6. 如图，在中，对角线相交于点O，点E，F分别是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件可以得到是的中位线，则，再利用平行四边形的性质得出即可．
【详解】解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，
∴是的中位线，
∴，
又∵EF=2，
∴OB=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质，熟练掌握三角形中位线的判定定理及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
7. 若把方程化为的形式，则的值是（ ）
A. 5B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：将配方得，
，
则，
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
8. 如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，联结BG并延长，交边AC于点F，那么下列结论不正确的是( )
AF=FC；B. GF=BG；
C. AG=2GD ；D. ．
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形重心的定义与性质逐项分析即可.
【详解】A.∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴BF是的中线，
∴AF=FC，故A正确；
B. ∵点G是△ABC的重心，
∴2GF=BG，故B错误；
C. ∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2GD ，故C正确；
D. ∵点G是△ABC的重心，
∴，故D正确.
故选B.
【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
9. 如图，在边长为1的正方形网格中，连结格点和和交于，为（ ）
A 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接格点MN、DM，可得MN//EC，由平行线的性质得出∠DNM=∠CPN，证出∠DMN=90°，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC//MN，∠DMA=∠NMB=45°，DM=AD=，MN=BM=，
∴∠CPN=∠DNM，
∴tan∠CPN=tan∠DNM，
∵∠DMN=180°-∠DMA-∠NMB=180°-45°-45°=90°，
∴tan∠CPN=tan∠DNM===2，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，找出与∠CPN相等的角是解题关键．
10. 如图，在中，，点D是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形，使，连结，则的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设DE与AC交于点F，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可得DA＝DB，从而证明∠ADE＝∠DAB，得到AB∥DE，，进而得到DE是AC的垂直平分线，然后可得ED＝EC，最后证明△DCE∽△BAD，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：设DE与AC交于点F，
∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，
∴AD＝BD＝DC＝BC，
∵DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴AB∥DE，
∴∠BAC＝∠DFC＝90°，
∵DA＝DC，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵EA＝ED，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∴∠DAB＝∠ECD，
∴△DCE∽△BAD，
∴，
∵∠BAC＝90°，csB＝，
∴，
∴＝3，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接合并同类二次根式即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为
【点睛】考核知识点：二次根式减法.合并同类二次根式是关键.
12. 表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为______（精确到0.1）
【答案】0.9
【解析】
【分析】根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率进行分析即可．
【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种苹果树苗移植成活率的概率约为0.9.
故答案为：0.9.
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即概率．
13. 实数的整数部分____________．
【答案】
【解析】
【分析】用夹逼法估算无理数即可得出无理数的整数部分．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
14. 如图，某河堤迎水坡的坡比，堤高，则坡面的长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．
【详解】解：∵= 1：，
∴tanA= 1：=，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=10m，
故答案为:．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握坡比的意义是解答本题的关键．
15. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程的两根，则此三角形的斜边长为___________．
【答案】10
【解析】
【分析】先解方程，得出两根，再利用勾股定理来求解即可．
详解】解：∵，
∴（x−6）（x−8）＝0，
∴x＝6或8；
∴两直角边为6和8，
∴此三角形的斜边长＝＝10，
故答案是：10．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关键是根据方程的特点选择合适的解法．
16. 如图，正方形中，点E是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结，有以下五个结论：
①；②；③；④若，则，你认为其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】①四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根据等式的基本性质确定出；②再根据正方形的对角线等于边长的倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；③由相似三角形对应角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD对角线上，根据正方形对角线垂直即可作出判断．④根据两角相等的两个三角形相似得到△EBH∽△DBE，从而得到比例式，BE2＝BH•BD，设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，结合BE2＝BH•BD，求出BH，DH，即可判断．
【详解】解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
又∵∠ABF＝45°−∠DBF，∠DBE＝45°−∠DBF，
∴，
∴选项①正确；
②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝AB，BF＝BE，
∴BD＝AB，BE=BF，
∴
又∵，
∴，
∴选项②正确；
③由②知：，
又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BAF＝∠BDE＝45°，
∴AF在正方形另外一条对角线上，
∴AF⊥BD，
∴③正确，
④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE对角线，
∴∠BEH＝∠BDE＝45°，
又∵∠EBH＝∠DBE，
∴△EBH∽△DBE，
∴ ，即BE2＝BH•BD，
又∵BE＝BG，
∴，
∵，
∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，
∴BE=，
∵BE2＝BH•BD，
∴，
∴DH=BD-BH=,
∴，
故④错误，
综上所述：①②③正确，
故答案是：①②③．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则得出答案．
【详解】解：原式＝＝．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质，正确化简各数是解题的关键．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】利用因式分解法即可求解．
【详解】解：原方程变形得：，
或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
19. 如图，在中，．
（1）尺规作图：在上取一个点D，使得；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，
（2）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，证明即可．
【小问1详解】
如图，点即为所求
【小问2详解】
连接，
由（1）可知
．
又
即
【点睛】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的性质与判定，掌握垂直平分线的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20. “疫情”期间，某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件商品盈利50元时，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件．设每件商品降价x元．
（1）每件商品降价x元后，可售出商品____________件（用含x的代数式表示）；
（2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，求x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设每件商品降价x元,根据题意“商品单价每下降1元，则可多售出20件”，列出代数式即可，
（2）根据总利润达到28000元，列出一元二次方程，解方程求解即可．
【小问1详解】
解：设每件商品降价x元,每件商品降价x元后，则可多售出20件,则可售出商品，
故答案为：
【小问2详解】
解：由（1）可知可售出商品，依题意得，
，
解得，
根据尽快清仓，则
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
21. 关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果是方程的两个解，令，求w的最大值．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1＋x2＝3，x1•x2＝k＋1，结合w＝x1x22＋x12x2＋k，由增减性可求w的最大值．
【小问1详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2−3x＋k＋1＝0有实数根，
∴Δ＝b2−4ac＝（−3）2−4×1×（k＋1）≥0，
解得：k≤，
∴k的取值范围为k≤；
【小问2详解】
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−3x＋k＋1＝0的两个解，
∴x1＋x2＝3，x1•x2＝k＋1．
∴w＝x1x22＋x12x2＋k＝x1x2（x1＋x2）＋k＝3（k＋1）＋k＝4k＋3，
∴k＝时，w的最大值为4×＋3＝5＋3＝8．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合w＝x1x22＋x12x2＋k，根据增减性可求w的最大值．
22. 如图所示，小明家住在30米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°．
（1）如果A、B两楼相距16米，那么A楼落在B楼上的影子有多长？
（2）如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是多少米？（结果保留根号）
【答案】（1）A楼落在B楼上的影子有14m．（2）如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是30米．
【解析】
【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出CE的长，进而得出答案；
（2）可根据A楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用锐角三角函数关系求解．
【详解】解：（1）如图，过D作DE⊥CG于E， ED=16，∠CDE=30°，
∴CE=DE•tan30°=16×=16（m），
故DF=EG=CG-CE=30-16=14（m），
答：A楼落在B楼上的影子有14m．
（2）延长CD交GF于点H，
当A楼的影子刚好不落在B楼上，
则GH===30（m），
答：如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是30米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
23. 为了监控一条生产线上某种零件的生产过程，检验员每隔20分钟从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：毫米）．下表是检验员在一天内抽取的24个零件尺寸的数据统计：
记零件尺寸的数据为x，根据尺寸的不同范围设置不同的零件等级如下表（m为正数）：
（1）求这24个数据的中位数；
（2）从这条生产线上随机抽取1个零件，求这个零件恰好是超标零件的概率；
（3）记“这24个零件中一级零件不到20%”为事件A．求事件A必然成立的m的取值范围．
【答案】（1）109.0
（2）

（3）m＜0.3
【解析】
【分析】（1）这根据中位数的定义即可得到结论；
（2）由表中数据可知，24个零件中，超标零件共有6个，根据概率公式即可得到结论；
（3）根据已知条件得到一级零件的个数最多是4个，得到这四个零件的尺寸是108.9，109.0，109.0，109.1．根据事件A必然成立，确定m<0.3．
【小问1详解】
解：这24个数据按从小到大的顺序排列后，第12个和第13个分别是109.0和109.0，
∴这24个数据的中位数是：；
【小问2详解】
解：由表中数据可知，24个零件中，超标零件共有6个，
∴从这条生产线上随机抽取1个零件，估计这个零件恰好是超标零件的概率是：；
【小问3详解】
解：∵这24个零件中一级零件不到20%，且24×20%=4.8，
∴一级零件的个数最多是4个，
∴这四个零件的尺寸是108.9，109.0，109.0，109.2，
∵事件A必然成立，
又109.0－108.6 = 0.4，109.3－109.0 = 0.3，0.3 < 0.4，
∴m<0.3．
【点睛】本题考查了概率公式和中位数的定义，正确的理解题意是解题的关键．
24. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点，点从点开始沿边向终点以1厘米/秒的速度移动；点从点开始沿边向终点以1厘米/秒的速度移动．若点，同时出发，运动时间为秒

（1）当时，
①点的坐标___________；（用来表示）
②当为直角三角形时，求的值；
（2）当的面积为8平方厘米时，求与的数量关系，并求出的最小值．
【答案】（1）①；②当为直角三角形时，的值为或或；
（2）当的面积为时，与的关系式为或．
【解析】
【分析】（1）①当时，根据点和点的运动可分别求出和的长，过点作轴于点，则，根据比例可求出和的长，进而可得到的长，即可得出点的坐标；②根据点和点的运动可表示出、，然后分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）过点作于点，利用的正弦求出，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：①直线与轴，轴分别交于点、点，
，，
，，
，
当时，由点和点的运动可知，，
如图，过点作轴于点，则，

，即，
，
，
；
故答案为：；
②由上可知，，，
若是直角三角形，则有下面两种情况：
①当是直角时，，
若点未到达点，则，
即，
解得；
若点到达点，则，
即，
解得；
②当是直角时，，
，
即，
解得，
综上所述，当为直角三角形时，的值为或或；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，
则，
①当点未到达点时，的面积，
整理得：，
方程有解，则，
解得：；
②当点到达点时，的面积，此时，
整理得，，
则，
，
；
综上可知，当的面积为时，
与的关系式为或，的最小值为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键．
25. 【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据ASA证明；
（2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可；
（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可．
【详解】（1）如图，由折叠得到，
，
．
又四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
．
（2）如图，连接，
由（1）得，
，
由折叠得，，
．
四边形是正方形，
，
，
又，
，
．
，，
，．
，
，
（舍去）．
（3）如图，连结HE，
由已知可设，，可令，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得，，
，
由折叠得，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
（舍去）．
②当点在点右边时，如图，
同理得，，
同理可得，
可得，，
，
，
（舍去）．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．移植的棵数n
200
500
800
2000
5000
12000
成活的棵数m
187
446
730
1790
4510
10836
成活的频率
0.935
0.892
0.913
0.895
0.902
0.903
107.7
107.8
107.8
108.1
108.2
108.4
108.4
108.4
108.5
108.5
108.9
109.0
109.0
109.2
109.3
109.3
109.4
109.6
109.6
109.7
109.8
110.1
110.3
110.4
尺寸范围
零件等级
超标零件
三级零件
二级零件
一级零件
二级零件
三级零件
超标零件