2021-2022学年福建省莆田市涵江区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2021-2022学年福建省莆田市涵江区九年级上学期数学期中试题及答案，共23页。

A. 40°B. 50°C. 140°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】根据余角的定义——如果两个角的和是90°，那么这两个角互余即可作答．
【详解】解：∵∠1=40°，∴∠1的余角的度数=90°-∠1=50°．故选B．
2. 不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出来，其公共部分即为不等式组的解集．
【详解】
由（1）得：x＞1，
由（2）得：x≥2，
故原不等式组的解集为：x≥2．
在数轴上表示如图：
故选：A．
【点睛】把每个不等式的解集在数轴上表示出来(＞，≥向右画；＜，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3. 反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，以及，求解即可．
【详解】解：
，则在每个象限内，随的增大而减小，
由无法确定三个点，，所在的象限
进而无法确定，，的大小关系，
故选：D
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的有关性质．
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 平行四边形B. 等腰三角形C. 圆D. 正五边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5. 的平方根是（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据平方根的定义、算术平方根的定义进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴的平方根是；
故选：D.
【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
6. 二次根式有意义，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，同时应考虑分母中若有字母，字母的取值不能使分母为零，即可求解．
【详解】∵二次根式有意义，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母的不等于0混淆．
7. 如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（ ）
A 3B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：设直线y=x+b与x轴交于点C，如图所示．
令y=x+b中x=0，则y=b，
∴B（0，b）；
令y=x+b中y=0，则x=-b，
∴C（-b，0）．
∴∠BCO=45°．
∵α=∠BCO+∠BAO=75°，
∴∠BAO=30°，
∵点A（5，0），
∴OA=5，
在Rt△BAO中，∠BAC=30°，OA=5，
∴tan∠BAO==，
∴BO=，
即b=．
故答案是B．
【点睛】一次函数图象上点的坐标特征；三角形的外角性质；等腰直角三角形；解直角三角形．
8. 十二边形的外角和的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的外角和为360°进行解答即可．
【详解】解：∵多边形的外角和为360°
∴十二边形的外角和是360°．
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和的求法，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．
9. 已知二次函数的图象如下图所示，且关于的一元二次方程有实数根，有下列结论：①；②；③．其中，正确结论的个数是（ ）．

A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质以及二次函数与一元二次方程的关系，求解即可．
【详解】解：由函数图象可得，图象与轴有两个交点，则，①正确；
函数图象开口向下，则，对称轴在的右侧，则，可得
函数图象与轴的交点在轴上方，则
则，②错误；
关于的一元二次方程有实数根，则有解
即与有交点
则，即，③错误；
正确的个数为1
故选：B
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
10. 如图，四边形是矩形，，把矩形沿直线折叠，点B落在点E处，交于点F，连接，则的值是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】：根据题意可得四边形是等腰梯形，即求上底与下底的比值，作高求解．
【详解】从D，E处向作高．
设，则．
由的面积，得；
根据勾股定理得
∵四边形是等腰梯形，
∴，
所以．
所以．
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
11. 分解因式：2x3-8x2y+8xy2=______．
【答案】2x(x-2y)2
【解析】
【分析】原式提取公因式2x，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】原式＝2x（x2﹣4xy+4y2）＝2x（x﹣2y）2，
故答案为：2x(x﹣2y)2
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法综合运用，熟练掌握因式分解的方法及完全平方公式是解本题的关键．
12. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，据统计全国每年粮食食物总量约亿千克，这个数据用科学记数法表示_______千克.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：本题主要考查的就是科学记数法.科学记数法是指a×，且，n为原数的整数位数减一.本题首先要将500亿千克转化成千克，然后再进行计算.
13. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：如图，连接AE，
∵点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，
∴BE=1，
∴AE=．
故答案：．
14. 如图，在中，，，点是斜边的中点，点为的重心，，则______．

【答案】8
【解析】
【分析】根据三角形的重心性质求得的长度，再由直角三角形斜边上的中线性质求得，由勾股定理求得．
【详解】解：∵点G为的重心，，
，
，点D是斜边的中点，
，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形的重心定理，直角三角形斜边上的中线定理，勾股定理，根据重心定理求得是解题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点，，，…都是“梦之点”．已知关于的方程的两根分别为，2，若二次函数（，是常数，）的图象上存在两个不同的“梦之点”，则“梦之点”是______．
【答案】，
【解析】
【分析】根据“梦之点”定义得出这样的点都在直线上，根据二次函数（，是常数，）的图象上存在两个不同的“梦之点”， 令，整理得：，根据关于的方程的两根分别为，2，得出关于x的方程的两根分别为，2，即可得出结果．
【详解】解：∵横坐标与纵坐标相等的点都在直线上，
又∵二次函数（，是常数，）的图象上存在两个不同的“梦之点”，
∴令，
整理得：，
∵关于的方程的两根分别为，2，
∴关于x的方程的两根分别为，2，
∴“梦之点”是，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，一元二次方程解的定义，二次函数的性质，解题的关键是根据题意得出“梦之点”都在直线上．
16. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，连接．

（1）的长为______；
（2）连接与相交于点，则的值是______．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理来求的长度；
（2）首先连接，由题意易得，，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值．
【详解】解：（1）如图，根据勾股定理 得，
故答案为：；
（2）如图，连接，
四边形是正方形，
，，，，
，
根据题意得： ，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
17. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】先化简各项，再合并同类二次根式即可．
【详解】原式
【点睛】本题考查了二次根式的加减，先化简是解答本题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
详解】原式
，
当时，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 如图，是平行四边形边上一点，请你只用一把没有刻度的直尺，在边上确定一点，使得．画出示意图，并加以证明．

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，交于点O，连接并延长，交于点F，则点F即为所求；证明：根据平行四边形的性质得，则，根据，得，即可得．
【详解】解：如图所示：连接，交于点O，连接并延长，交于点F，

则点F即为所求；
证明：∵四边形中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图，平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
20. 四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4，它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．
（1）随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字3的概率；
（2）随机地从盒子里抽取一张，将数字记为，不放回再抽取第二张，将数字记为，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出点在函数图象上的概率．
【答案】（1）
（2）树状图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）准确画出树状图，列出所有可能情况和满足要求的情况，利用概率公式即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4，
∴随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字3的概率为；
【小问2详解】
画树状图如下：

共有12种等可能结果，满足要求的有2种情况：
当时，；
当时，，
∴（点在函数的图象上）．
【点睛】此题主要考查了用树状图或列表法求概率，准确画出树状图或列表是解题的关键．
21. 为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
【答案】3.2克
【解析】
【分析】设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x＋0.8）克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．
【详解】解：设A4薄型纸每页的质量为克，则A4厚型纸每页的质量为克，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：A4薄型纸每页的质量为3.2克．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题的关键．
22. 如图，四边形是平行四边形，点在轴的负半轴上，，，且，反比例函数的图象经过点，

（1）求的值；
（2）把沿经过、两点的直线折叠到第一象限，点的对应点为，请判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）
（2）在反比例函数的图象上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，利用勾股定理求得，进而求得，得到，，进而即可求得；
（2）求得的坐标为，代入反比例函数的解析式即可判断．
【小问1详解】
四边形是平行四边形
，，
，，
，，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
；
【小问2详解】
在反比例函数的图象上，
理由：，，
，
四边形是平行四边形，
，
由折叠得：，，
，
，
当时，，
点是在反比例函数的图象上．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，一次函数图象与几何变换，勾股定理的应用，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点、的坐标是解题的关键．
23. 如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 度；
（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
【答案】（1）30．（2）34.6米．
【解析】
【分析】（1）根据特殊角度的三角函数值即可求解；
（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．
【详解】（1）∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：．
∴tan∠ABC=，
∴∠ABC=30°；
故答案为：30；
（2）设过点P的水平线为PQ，则由题意得：
45°
在Rt△PBH中，
在Rt△PBA中，
答：A、B两点间的距离约34.6米．
24. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；
（3）当y取最大值时，求sin∠NEF的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由已知得出CN=CM=t，FN∥BC，得出AN=8﹣t，由平行线证出△ANF∽△ACB，得出对应边成比例求出NF=AN=（8﹣t），由对称的性质得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性质得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况：①当0＜t≤2时，由三角形面积得出 ；
②当2＜t≤4时，作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，得出GH=NF=（8﹣t），由三角形面积得出（2＜t≤4）；
（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB= =，求出EF=EB=，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF的长，在Rt△DEF中，由三角函数定义即可求出sin∠NEF的值．
试题解析：解：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：
连接ME交NF于O，如图1所示：
∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，∴CN=CM=t，FN∥BC，∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，∴ =2，∴NF=AN=（8﹣t），由对称的性质得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，∵四边形MNEF是正方形，∴OE=ON=FN，∴t=×（8﹣t），解得：t=；
即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；
（2）分两种情况：
①当0＜t≤2时，y=×（8﹣t）×t=，即（0＜t≤2）；
②当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，∴GH=NF=（8﹣t），∴y=NF′GH=×（8﹣t）×（8﹣t）=，即（2＜t≤4）；
综上所述： ．
（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，如图3所示：
则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，∵BM=4﹣t，∴2t=2（4﹣t），解得：t=2，∴CN=CM=2，AN=6，∴BM=4﹣2=2，NF=AN=3，∴EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，则EB= = =，△DNF是等腰直角三角形，∴EF=EB=，DF= NF=，在Rt△DEF中，sin∠NEF= = =．

点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
25. 在直角坐标系中，已知抛物线．

（1）求抛物线与轴的交点坐标；
（2）记抛物线与轴的右交点为，点在抛物线上，、两质点分别从、两点同时出发，质点沿方向，行驶速度为个单位/秒、质点沿方向，行驶速度为2个单位/秒．
①1秒后，质点到达点，质点到达点．若要使与相似，质点的行驶速度可以是多少？
②当质点到达直线与抛物线的另一个交点时，两质点停止行驶．若质点的行驶速度与质点的相同，记线段的平方为点、的超级距离、为行驶时间．当等于多少秒时，质点、之间的超级距离最小．
【答案】（1），；
（2）①，②当秒时，质点、之间的超级距离最小，最小值为．
【解析】
【分析】（1），当时，解得，即可得到抛物线与轴的交点坐标；
（2）①若要使与相似，即时，利用线段的比例关系算出，即可得到答案；
②当时，P在上，当时，P在上，分两个时间段表示出，分别根据二次函数的性质求出最小值，取两个最小值中较小的一个即可．
【小问1详解】
解：∵
，
当，
解得，
∴抛物线与轴的交点坐标为，；
【小问2详解】
①，
若要使与相似，只有一种可能，就是，此时
，
∴，
∴；
②由（1）知,
∵，
∴，
∴，
∴，
设的解析式，
∴，
∴，
∴的解析式，
联立得到，
解得或，
∴，
∴，
∴，
当时，P在上，如图1，

作于点H，则，，，,，
，，
∴，
当时，的最小值为，
当时，P在上，如图2，

作轴于点G，则,，，，，
∴，
∴当时，的最小值为，
综上所述，当秒时，质点、之间的超级距离最小，最小值为．
【点睛】此题考查了二次函数的交点式、相似三角形的判定和性质、勾股定理、求二次函数的最值等知识，分类讨论和准确求出二次函数的最值是解题的关键．