浙教版七年级数学下册各单元专项培优

这是一份浙教版七年级数学下册各单元专项培优，共25页。试卷主要包含了下列因式分解正确的是，下列运算正确的是，若x2﹣2等内容，欢迎下载使用。
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．2a2﹣a＝2a（a﹣1）B．﹣a2﹣2ab＝﹣a（a﹣2b）
C．﹣3a+3b＝﹣3（a+b）D．a2+3ab＝a（a+3b）
2．在下面各图中，∠1＝∠2，能判断AB∥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
3．把方程12a-13b＝1改写成用含b的式子表示a的形式为（ ）
A．a=6+2b3B．a=1+2b3C．a=3b-62D．a=6-2b3
4．下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．2a3•3a2＝6a6
C．（m﹣n）6÷（n﹣m）3＝（n﹣m）3D．（﹣2x3）4＝8x12
5．关于x，y的二元一次方程2x+3y＝20的非负整数解的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
7．某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）
A．x+7y=16x+13y=28 B．x+(7-2)y=16x+13y=28 C．x+7y=16x+(13-2)y=28 D．x+(7-2)y=16x+(13-2)y=28
8．若x2﹣2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m是（ ）
A．7或﹣1B．﹣1C．7D．5或1
9．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（ ）
A．∠1+∠2﹣∠3B．∠1+∠3﹣∠2
C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
10．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为14和134，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
二．填空题 第13题
11．纳秒（ns）是非常小的时间单位，1ns＝10﹣9s．北斗全球导航系统的授时精度优于20ns．用科学记数法表示20ns是 s．
12．因式分解4（a﹣b）2﹣8a+8b的结果是 ．
13．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠BGD'为x度，则∠1的度数应为 度（用含x的代数式表示）．
14．已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其部分值如下表所示，则p的值是 ．
15．有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是 ．
16．（4分）关于x，y的方程组3x-5y=2a2x+7y=a-18，有下列三种说法：其中说法正确的有 ．（填序号）
①当a＝8时，x，y互为相反数；②x，y都是负整数的解只有1组；③x=21y=-3是该方程组的解．
三．解答题
17．计算：
（1）3×(-142)0-16+(12)-1； （2）（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+2a（2a﹣b）．
18．分解因式：
（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b； （2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）．
19．解方程组：
（1）2x-5y+13=09x+6y-8=0； （2）3(x+y)-4(x-y)=4x+y2+x-y6=1．
20．先化简，再求值：
（1）（x+1）2﹣（x+2）（x﹣3），其中，5＜x＜10，且x为整数．
（2）已知2a2+3a﹣6＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
21．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a、b的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
22．如图，∠ABC和∠BCD的平分线交于点P，延长CP交AB于点Q，且∠PBC+∠PCB＝90°．
（1）求证：AB∥CD．
（2）探究∠PBC与∠PQB的数量关系．
23．已知D是△ABC的AB边上一点，连接CD，此时有结论S△ACDS△BCD=ADBD，请解答下列问题：
（1）当D是AB边上的中点时，△ACD的面积 △BCD的面积（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）如图1，点D、E分别为AB，AC边上的点，连接CD，BE交于点O，若△BOD、△COE、△BOC的面积分别为5，8，10，则△ADE的面积是 （直接写出结论）．
（3）如图2，若点D，E分别是△ABC的AB，AC边上的中点，且S△ABC＝60，求四边形ADOE的面积．可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，由题意得S△ABE=12S△ABC=30，S△ADC=12S△ABC=30，可列方程组为：2x+y=30x+2y=30，
解得x+y＝20，可得四边形ADOE的面积为20．解答下面问题：
如图3，D，F是AB的三等分点，E，G是CA的三等分点，CD与BE交于O，且S△ABC＝60，请计算四边形ADOE的面积，并说明理由．
一．选择题 （二）
1．在关于x，y的二元一次方程组x-2y=a+63x+y=2a的下列说法中，正确的是（ ）
①当a＝3时，方程的两根互为相反数； ②当且仅当a＝﹣4时，解得x与y相等；
③x，y满足关系式x+5y＝﹣12； ④若9x•27y＝81，则a＝10．
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
2．如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，其中a＜b．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图②中阴影部分的面积满足S1＝6S2，则a，b满足的关系式为（ ）
A．3b＝4aB．2b＝3aC．3b＝5aD．b＝2a
3．如图，长为12，宽为m的长方形，被7个大小相同的边长分别为a，b的小长方形分割成对称的图案（图中每个小于平角的角都为直角），则下列选项正确的是（ ）
①4a+3b=12，2a+2b=m；②b=2m-12，a=12-32m；③若m＝8，则b=4，a=0；
④若m为正整数，则a，b不可能同时为正整数．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
4．已知a＝2﹣55，b＝3﹣44，c＝4﹣33，d＝5﹣22，则这四个数从小到大排列顺序是（ ）
A．a＜b＜c＜dB．d＜a＜c＜bC．a＜d＜c＜bD．b＜c＜a＜d
5．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（ ）
A．54°B．55°C．56°D．57°
6．已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：正确的有（ ）
①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4； ②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；
③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1； ④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，
A．①③④B．①②③C．①②④D．②③
8．如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）
A．2cm2B．2acm2C．4acm2D．（a2﹣1）cm2
9．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22B．24C．42D．44
10．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是（ ）
A．x+y+z＝180°B．x﹣z＝yC．y﹣x＝zD．y﹣x＝x﹣z
11．如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为y﹣12； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+4；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③B．②④C．①③④D．①④
12．用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为81；8个长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为64；12个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．22B．24C．32D．49
13．已知关于x，y的方程组x+2y=5-2ax-y=4a-1给出下列结论：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝8，则a＝2．
正确的有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4 第14题
14．如图，直线AB∥CD，直线AB，EG交于点F，直线CD，PM交于点N，∠FGH＝90°，∠CNP＝30°，
∠EFA＝α，∠GHM＝β，∠HMN＝γ，则下列结论正确的是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝120°C．α+β﹣γ＝60°D．β+γ﹣α＝60°
15．已知关于x，y的方程组x+2y=k2x+3y=3k-1以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；
②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6则k＝1．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①④
16．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．200B．201C．202D．203
二．填空题
17．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°
（1）∠EFB＝ ．（用含x的代数式表示）
（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝ ．（用含x的代数式表示）．
18．观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2＝180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn＝ 度．
19．已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所在直线于F，
DE∥AB交AC所在直线于E．若∠B+∠C＝105°，则∠FDE的度数是 ．
20．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如下是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．由此规律可解决如下问题：
假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过82021天是星期 ．
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
21．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，
∠B＝30°，∠C＝50°，点D是AB边上的固定点（BD＜12AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠
（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为 度．
22．如图，把五个长为b、宽为a的小长方形，按图1和图2两种方式放在一个宽为m的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．设图1中两块阴影部分的周长和为C1，图2中阴影部分的周长为C2，若大长方形的长比宽大（6﹣a），则C2﹣C1的值为 ．
23．已知关于x的不等式组5x-a＞3(x-1)2x-1≤7的所有整数解的和为7，则a的取值范围是 ．
24．如果a﹣3b﹣2＝0，那么：3a2+27b2﹣5a+15b﹣18ab＝ ．
25．已知关于x，y的方程组ax-by=13cx+dy=30.9的解为x=8.3y=1.2，则关于x，y的方程组a(x+2)-by+b=13c(x+2)+dy-d=30.9
的解为： ．
26．已知关于x，y的二元一次方程（m+1）x+（2m﹣1）y+2﹣m＝0，无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是 ．
27．已知关于x，y的方程组x+2y=k2x+3y=3k-1，给出下列结论：①当k＝2时，x=4y=-1是方程组的解；②当k=12时，x，y的值互为相反数；③若2x•8y＝2z，则z＝1；④若方程组的解也是方程x+y＝2﹣k的解，则k＝1．其中正确的是 （填写正确结论的序号）．
28．如图，直线l1⊥直线l2，垂足为O，Rt△ABC如图放置，过点B作BD∥AC交直线l2于点D，在△ABC内取一点E，连接AE，DE．
（1）若∠CAE＝15°，∠EDB＝25°，则∠AED＝ ．
（2）若∠EAC=1n∠CAB，∠EDB=1n∠ODB，则∠AED＝ °．（用含n的代数式表示）
29．定义一种新的运算：a☆b＝2a﹣b，例如：3☆（﹣1）＝2×3﹣（﹣1）＝7，那么
（1）若（﹣2）☆b＝﹣16，那么b＝ ；
（2）若a☆b＝0，且关于x，y的二元一次方程（a﹣1）x+by+5﹣2a＝0，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ．
30．关于x，y的方程组a2x+b2y=1+2abb2x+a2y=1-2ab的解为x=2y=1，则①a2+b2＝ ．
②关于x，y的方程组a2(x-1)+b2(y-1)=12+abb2(x-1)+a2(y-1)=12-ab的解为 ．
（三）
1．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形图形，则x+y+z＝ ．
（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG和GE，若两正方形的边长满足a+b＝12，ab＝20，你能求出阴影部分的面积吗？
2． [感知]如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：
解；（1）如图①，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠PFD＝130°（已知），
∴∠2＝180°﹣130°＝50°（等式的性质），
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°（等式的性质）．
即∠EPF＝90°（等量代换）．
[探究]如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是 °．
3．已知关于x、y的方程组x+2y=62x-2y+mx=8．
（1）请写出方程x+2y＝6的所有正整数解．
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
（3）当m每取一个值时，2x﹣2y+mx＝8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数m的解．
4．已知正方形ABCD的边长为b，正方形EFGH的边长为a（b＞a）．
（1）如图1，点H与点A重合，点E在边AB上，点G在边AD上，请用两种不同方法求出阴影部分S1的面积（结果用a，b表示）．
（2）如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD的右下角又放了一个和正方形EFGH一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在BC和DC上，若题（1）中S1＝4，图2中S2＝1，
求阴影部分S3的面积．
（3）如图3，若正方形EFGH的边GF和正方形ABCD的边CD在同一直线上，且两个正方形均在直线CD的同侧，若点D在线段GF上，满足DF=14GF，连接AH，HF，AF，当三角形AHF的面积为3时，求三角形EFC的面积，写出求解过程．
5．（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ；
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①211+210+29+28+27+…+23+22+2； ②﹣511+510﹣59+58﹣57+…﹣53+52﹣5．
6．如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝ ．
7．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的14，则此次按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案）
8．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问：∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
如图1，当点P在EF的左侧时，易得∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系为∠AEP+∠PFC＝∠EPF；
如图2，当点P在EF的右侧时，写出∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系 ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为 ；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3，以此类推，则∠EPF与∠EQ2020F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
9．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
10．已知，如图①，点D，E，F，G是△ABC三边上的点，且FG∥AC，
（1）若∠EDC＝∠FGC，试判断DE与BC是否平行，并说明理由．
（2）如图②，点M、N分别在边AC、BC上，且MN∥AB，连接GM，若∠A＝60°，∠C＝55°，∠FGM＝4∠MGC，求∠GMN的度数．
（3）点M、N分别在射线AC、BC上，且MN∥AB，连接GM．若∠A＝α，∠ACB＝β，∠FGM＝n∠MGC，直接写出∠GMN的度数（用含α，β，n的代数式表示）
11．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y＝12，得：y=12-2x3，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y＝12的正整数解为x=3y=2．
问题：
（1）请你直接写出方程3x﹣y＝6的一组正整数解．
（2）若12x-3为自然数，则满足条件的正整数x的值有 个．
A.5 B.6 C.7 D.8
（3）2020﹣2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
12．某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：
（1）购买丙型设备 台（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
13．如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，
∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤60）．
①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边BG∥HK时t的值．
14．已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（1）如图1所示，求证：OB∥AC；
（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，此时∠EOC的度数等于 （直接写出答案即可）；
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；
（4）在（3）的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使∠OEB＝∠OCA，求此时∠OCA度数．
15．阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a，b，c满足：a+b+2c=1，a2+b2+6c+32=0，求a，b，c的值．
解：∵a+b+2c＝1，∴a+b＝1﹣2c，
设a=1-2c2+t，b=1-2c2-t①
∵a2+b2+6c+32=0②
将①代入②得：(1-2c2+t)2+(1-2c2-t)2+6c+32=0
整理得：t2+（c2+2c+1）＝0，即t2+（c+1）2＝0，∴t＝0，c＝﹣1
将t，c的值同时代入①得：a=32，b=32．∴a=b=32，c=-1．
以上解法是采用“均值换元”解决问题．一般地，若实数x，y满足x+y＝m，则可设x=m2+t，y=m2-t，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题．现请你根据上述方法试解决下面问题：
已知实数a，b，c满足：a+b+c＝6，a2+b2+c2＝12，求a，b，c的值．
16．我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知M＝2x+3，N＝2x+1，比较M和N的大小．先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N＝0，则M＝N，反之亦成立．本题中因为M﹣N＝2x+3﹣（2x+1）＝2＞0，所以M＞N．
（1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2．用含a的代数式表示S1＝ ，S2＝ （需要化简）．然后请用作差法比较S1与S2大小；
（2）已知A＝2a2﹣6a+1，B＝a2﹣4a﹣1，请你用作差法比较A与B大小．
（3）若M＝（a﹣4）2，N＝16﹣（a﹣6）2，且M＝N，求（a﹣4）（a﹣6）的值．
17．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），
BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN＝ ；∠CBD＝ ；
（2）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．
（3）当点P运动时，求∠BPA和∠CBA满足的数量关系，并说明理由．
18．已知EM∥BN．
（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．
（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．
①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，则∠EFD＝ ．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度数．
19．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．请解答下列问题：
（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： ；
（2）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35．用上面得到的数学等式求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a、b的长方形拼出一个面积为（a+7b）（9a+4b）的长方形，求x+y+z的值；
（4）如图④大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边（x＞y），观察图案，以下关系式正确的是 （填序号）．
①xy=m2-n24，②xy＝m， ③x2﹣y2＝m•n， ④x2+y2=m2+n22
20．杭州塘栖白沙枇杷是杭州人心中一种家乡的味道，枇杷种植大户为了能让市民尝到物美价廉的枇杷．对1000斤的枇杷进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮4斤，售价100元；方篮每篮9斤，售价180元，用这两种打包方式恰好能全部装完这1000斤枇杷．
（1）当销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8400元时，求a的值．
（2）若1000斤枇杷全部售完，销售总收入恰好为21760元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？
（3）若枇杷大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的枇杷全部售出，总收入仍为21760元，求b的所有可能值．
21．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）由图2可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系是 ．
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：3x+4y＝10，xy＝2，求3x﹣4y的值；
（3）两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和．
22．如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
23．如图，有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作：
（1）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，设∠1为65°，则∠α的度数为 ．
（2）已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD﹣DC上运动，点F是AB上的动点，连接EF，将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点A'落在DC边上，若∠CA'F＝x°，请用含x的代数式来表示∠EAA'的度数： ．
24．已知AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并证明；
（3）当∠EPF满足0°＜∠EPF＜180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ °．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）
25．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
26．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，求∠AED的度数；
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明理由；
（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．
27．阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长为a、b的长方形纸片．请解答下列问题：
（1）图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝ ；
（2）请写出图3中所表示的数学等式： ；
（3）请按要求利用所给的纸片在图4的方框中拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2a+b）（a+b），进而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝ ；
（4）利用（3）中得到的结论，解决下面的问题：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b=12，求2a+b的值．
28．（2021秋•沙坪坝区校级期中）在重庆南开中学建校85周年之际，学校举行了隆重的庆祝活动．为感谢参与活动的师生，学校定制了水杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元．
（1）定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元？
（2）学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件（其中水杯不超过300个），并委托商家进行包装，现有如下两种方案：
方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折；方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元．
求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同？（总费用＝定制物品的总费用+包装总费用）
29．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．
30．已知直线AB∥CD，M，N分别为直线AB，CD上的两点且∠MND＝70°，P为直线CD上的一个动点．类似于平面镜成像，点N关于镜面MP所成的镜像为点Q，此时∠NMP＝∠QMP，∠NPM＝∠QPM，∠MNP＝∠MQP．
（1）当点P在N右侧时：
①若镜像Q点刚好落在直线AB上（如图1），判断直线MN与直线PQ的位置关系，并说明理由；
②若镜像Q点落在直线AB与CD之间（如图2），直接写出∠BMQ与∠DPQ之间的数量关系；
（2）若镜像PQ⊥CD，求∠BMQ的度数．
x
m
m+2
y
n
n﹣2
t
5
p
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨以下
a
0.80
超过17吨但不超过30吨的部分
b
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
牛奶（箱）
咖啡（箱）
金额（元）
方案一
20
10
1100
方案二
30
15
甲型
乙型
丙型
价格（元/台）
1000
800
500
销售获利（元/台）
260
190
120