专题2.6 二元一次方程组章末重难点突破（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版）

这是一份专题2.6 二元一次方程组章末重难点突破（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版），共11页。
【考点1 二元一次方程（组）的概念 】
【例1】下列四个方程组中，①x2+3y=43x-5y=1②xy=1x+2y=8③a-b=31a-3b=4④a+3b=47a-9b=5.二元一次方程组有 个．
【变式1-1】已知3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b＝ ．
【变式1-2】方程2xm+1+3y2n＝5是二元一次方程，求m，n．
【变式1-3】）已知方程组3x-(m-3)y|m-2|-2=1(m+1)x=-2是二元一次方程组，求m的值．
【考点2 二元一次方程组的解】
【例2】已知x=3y=1、x=-1y=-53是关于x、y的二元一次方程ax+by＝3的两组解．
（1）求a，b的值；
（2）当x＝5，y＝﹣1时，求代数式ax+by的值．
【变式2-1】方程2x+y=m+6x+2y=2m的解x、y满足x+y＝0，求m的值．
【变式2-2】k为何值时，方程组kx-y=-133y=1-6x有唯一一组解；无解；无穷多解？
【变式2-3】对于关于x、y的二元一次方程ax+by＝﹣2，小雪、小轩、小浩分别写出了一个解，小雪写的是x=1y=-1，小轩写的是x=2y=2，小浩写的是x=4y=6，如果小雪、小轩写的正确，请你判断小浩写的正确吗？
【考点3 解二元一次方程组】
【例3】当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，b2+1）为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点．
（2）已知关于x，y的方程组x+y=6x-y=2m，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
【变式3-1】（1）用代入法求解2x+3y=16x+4y=13 （2）用加减消元法求解5x-6y=-37x-4y=9
（3）x+y+z=42x-y+z=33x-2y-3z=-5．
【变式3-2】对于有理数x，y，定义新运算：x•y＝ax+by，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．例如，3•4＝3a+4b，则若3•4＝8，即可知3a+4b＝8．
已知1•2＝1，（﹣3）•3＝6，求2•（﹣5）的值．
【变式3-3】甲、乙两人同时解方程组ax+y=3x-by=1，甲看错了b，求得解为x=1y=-1，乙看错了a，求得解为x=-1y=3 试求（a4）2014+b2015的值．
【考点4 二元一次方程的整数解】
【例1】已知等式1993x+4y＝6063，其中x，y都是自然数，求xy的值．
【变式4-1】（1）填表，使上下每对x，y的值是方程3x+y＝5的解
（2）写出二元一次方程3x+y＝5的正整数解： ．
【变式4-2】对于两个两位数p和q，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（p，q）．例如：当p＝23，q＝15时，将p十位上的2放置于q中1与5之间，将p个位上的3位置于q中5的右边，得到1253．将q十位上的1放置于p中2和3之间，将q个位上的5放置于p中3的右边，得到2135．这两个新四位数的和为1253+2135＝3388，3388÷11＝308，所以F （23，15）＝308．
（1）计算：F （13，26）；
（2）若a＝10+m，b＝10n+5，（0≤m≤9，1≤n≤9，m，n均为自然数）．当150F（a，18）+F（b，26）＝32761时，求m+n的值．
【变式4-3】若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t＝100（x+y）+10y+x，则称实数t为“加成数”，将t的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数h．规定q＝t﹣h，f（m）=q9，例如：321是一个“加成数”，将其百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h＝213，∴q＝321﹣213＝108，f（m）=1089=12．
（1）当f（m）最小时，求此时对应的“加成数”的值；
（2）若f（m）是24的倍数，则称f（m）是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”．
【考点5 二元一次方程组的应用之配套问题】
【例5】在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个．
（1）求这个班男生、女生各有多少人？
（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？
【变式5-1】某加工厂有工人60名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
【变式5-2】一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
【变式5-3】一张方桌由一个桌面和四条桌脚组成，如果一立方米木材可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现有5立方米木料，那么用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？
【考点6 二元一次方程组的应用之行程问题】
【例6】甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔32分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔92分钟快的追上慢的一次．已知甲比乙跑得快，求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈？
【变式6-1】小明和小丽两相距8千米，小明骑自行车，小丽步行．两人同时出发相向而行，0.8小时相遇；若两人同时出发同向而行，小明2小时可以追上小丽，求小明、小丽每小时各前行多少千米？
【变式6-2】我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？解答上述问题．
【变式6-3】小明从甲地步行到乙地要走一段上坡路与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地步行到乙地需54min，从乙地步行到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少km？
【考点7 二元一次方程组的应用之销售、工程问题】
【例7】在重庆南开中学建校85周年之际，学校举行了隆重的庆祝活动．为感谢参与活动的师生，学校定制了水杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元．
（1）定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元？
（2）学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件（其中水杯不超过300个），并委托商家进行包装，现有如下两种方案：
方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折；方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元．
求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同？（总费用＝定制物品的总费用+包装总费用）
【变式7-1】甲、乙两个车间分别承担一种口罩生产的第一道工序和第二道工序，已知甲车间先开工完成了10万个，乙车间才开始生产，如果在相同时间内，甲车间能完成6万个，乙车间能完成8万个，求乙车间完成多少万个时恰好赶上甲车间的进度？
【变式7-2】 “今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六；问人数、鸡价各几何？”（《九章算术》），题目的大意是：有几个人共同出钱买鸡，每人出九枚铜钱，则多了11枚钱；每人出六枚铜钱，则少了16枚铜钱，那么有几个人共同买鸡？鸡的价钱是多少？（请列方程解答）
【变式7-3】甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【考点8 二元一次方程组的应用之几何问题】
【例8】利用两块完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量数据如图，求桌子的高度．
【变式8-1】如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成一个周长为68的大长方形ABCD．求大长方形ABCD的面积．
【变式8-2】如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，请你利用方程组的思想方法求出图中阴影部分面积是多少cm2？
【变式8-3】如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案
（1）根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
（2）若图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积．
【考点9 二元一次方程组的应用之分段计费问题】
【例9】随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式颇受欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按a元/km来计算，耗时费按b元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），甲，乙两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程和平均车速见表：
（1）求a，b的值；
（2）星期日，王老师也用该打车方式行驶了11km，若平均车速为55km/h，求王老师这次打车的总费用．
【变式9-1】某煤气公司规定，每户居民每月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成．当煤气使用量不超过am3时，当月需缴纳保险费3元和基本月租费b元；当煤气使用量超过am3时，超出的部分还要按3.2元/m3计费．如果小红家3月、4月煤气使用量与缴费情况如右表，其中仅3月份煤气使用量未超过am3．
（1）请求出a，b的值；
（2）如果小红家5月份缴交煤气费42元，那么她家这个月煤气使用量为多少m3？
【变式9-2】某市一种出租车的起步价为10元，两位乘客分别乘这种出租车走了10km和14km，车费分别为21.2元和27.6元，假设一路顺利，没有停车等候，且不考虑计程器计费的某些特殊规定．请你算出这种出租车起步价所允许行驶的最远路程；并算出超过起步路程但行驶不到15km时，超过部分每千米车费为多少元？
【变式9-3】水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）．
已知2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值；
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水12.5吨，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小聪家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小聪家四、五月份的用水量各是多少？
【考点10 二元一次方程组的应用之方案设计问题】
【例10】一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆甲种货车需租金100元/次，1辆乙种货车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【变式10-1】列方程组解应用题：
开学初，某中学八（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费210元，八（2）班学生购买了A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费230元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费1500元全部购买A、B两种品牌的足球供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请分别设计出来．
【变式10-2】已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【变式10-3】李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，已知一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为140元；3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等．请回答以下问题：
（1）分别求出每款瓷砖的单价；
（2）若李师傅买两种瓷砖共花了1000元，且A款瓷砖的数量比B款多，则两种瓷砖各买了多少？
（3）李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长和宽分别为 （直接写出答案）
x
﹣2
0.4


y


0
3
平均车速（km/h）
里程（km）
车费（元）
甲
60
8
12
乙
50
10
16
月份
煤气使用量（m3）
煤气费（元）
3月
4
10
4月
20
58
每户每月用水量（m3）
自来水销售价格（元/m3）
污水处理价格（元/m3）
不超出6m3部分
a
1.10
超出6m3不超出10m3的部分
b
1.10
超出10m3的部分
7.00
1.10
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第一次
2
1
10
第二次
1
2
11