专题3.7 整式的乘除章末重难点突破（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版）

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【考点1 幂的运算】
【例1】下列计算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5B．x3•x5＝x15
C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3D．x6÷x3＝x2
【变式1-1】计算
（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2． （2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2
【变式1-2】计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）
【变式1-3】计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于 ．
【考点2 幂的逆运算】
【例2】解答下列问题
（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值； （2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；
（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x•81y的值．
【变式2-1】（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【变式2-2】（1）若4a+3b＝3，求92a•27b． （2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
【变式2-3】若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【考点3 巧用幂的运算进行大小比较】
【例3】若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m＝nD．大小关系无法确定
【变式3-1】比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433 B．433＜344＜255C．255＜433＜344D．344＜433＜255
【变式3-2】233、418、810的大小关系是（用＞号连接） ．
【变式3-3】阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和411的大小．
解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2
∴322＞222，即322＞411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较28和82的大小
解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6
∴28＞26，即28＞82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
（1）比较344、433、522的大小
（2）比较8131、2741、961的大小
（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小
（4）比较312×510与310×512的大小
【考点4 幂的运算中的新定义问题】
【例4】阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝lg216，对数式2＝lg39可以转化为指数式32＝9．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：lga（M•N）＝lgaM+lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设lgaM＝m，lgaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝lga（M•N）．
又∵m+n＝lgaM+lgaN，
∴lga（M•N）＝lgaM+lgaN．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①lg264＝ ，②lg327＝ ，③lg71＝ ；
（2）求证：lgaMN=lgaM﹣lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算lg464+lg57﹣lg535．
【变式4-1】阅读下列材料，并解决下面的问题：
我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子23＝8可以变形为lg28＝3，lg525＝2也可以变形为52＝25．在式子23＝8中，3叫做以2为底8的对数，记为lg28．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lgab（即lgab＝n），且具有性质：
①lgabn＝nlgab；②lgaan＝n；③lgaM+lgaN＝lga（M•N），其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0．
根据上面的规定，请解决下面问题：
（1）计算：lg31＝ ，lg1025+lg104＝ （请直接写出结果）；
（2）已知x＝lg32，请你用含x的代数式来表示y，其中y＝lg372（请写出必要的过程）．
【变式4-2】规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（4，64）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（-12，﹣8）＝ ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），
他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
∴3x＝4，即（3，4）＝x．
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
（4，5）+（4，6）＝（4，30）．
（3）拓展应用：计算（3，9）×（3，20）﹣（3，5）．
【变式4-3】定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝ ，D（16）＝ ．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（qp）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（53），D（108），D（2720）的值（用a、b、c表示）．
【考点5 整式乘法中的求值问题】
【例5】已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（ ）
A．3B．2C．﹣3D．﹣2
【变式5-1】若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣1，﹣1B．﹣1，1C．1，﹣1D．1，1
【变式5-2】在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12．
（1）求出a的值；
（2）在（1）的条件下，且b＝﹣3时，计算（x+a）（x+b）的结果．
【变式5-3】已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P的值与x的取值无关，求字母a的值．
【考点6 巧用乘法公式求值】
【例6】若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；
（2）x4+y4；
（3）x﹣y．
【变式6-1】已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2﹣b2﹣8．
【变式6-2】已知a+b＝2，ab＝﹣24，
（1）求a2+b2的值；
（2）求（a+1）（b+1）的值；
（3）求（a﹣b）2的值．
【变式6-3】（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．
（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．
【考点7 整式乘除的计算与化简】
【例7】（1）计算：
①a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．②-4xy3⋅(12xy)÷(xy2)2．③（﹣4x﹣3y）2．④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2
（2）先化简，再求值：
①(x+y)2-(x+y)(y-x)-12x(2x-y)，其中x＝﹣1，y=15．
②[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b满足2a﹣8b﹣6＝0．
【变式7-1】计算：
（1）（﹣2ab）2•3b÷（-13ab2）（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92
（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=-12．
【变式7-2】计算题：
（1）82019×（﹣0.125）2020 （2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）； （4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；
（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
【变式7-3】（1）化简：2x（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2； （2）计算：20092﹣2010×2008；
（3）化简：（﹣3a2）3+（﹣4a3）2；
（4）已知a2﹣3a+1＝0，求代数式（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5的值；
（5）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代数式（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）的值．
【考点8 整式乘法的应用】
【例8】长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a＞b＞1，如果将原长方形的长增加3厘米，宽减少1厘米，得到的新长方形面积记为S1；如果将原长方形的长和宽各增加1厘米，得到的新长方形面积记为S2．
（1）试比较S1与S2的大小，并说明理由；
（2）如果S1＝2S2﹣10，求将原长方形的长减少1，宽增加3厘米后得到的新长方形面积．
【变式8-1】有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙
．
（1）①计算：S甲＝ ，S乙＝ ；
②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲 S乙．
（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．
①该正方形的边长是 （用含m的代数式表示）；
②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
【变式8-2】如图1，有A、B、C三种不同型号的卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形．
（1）小明选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，剪出中间的正方形D型卡片，由此可验证的等量关系为 ；
（2）小亮想用这三种卡片拼成一个如图3所示的长为2a+b，宽为a+b的长方形，那么需要A型卡片2张，B型卡片 张，C型卡片 张，并在图3中画出一种拼法．（图中标上卡片型号）
【变式8-3】【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【考点9 乘法公式的几何背景】
【例9】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1，
所以（a+b）2＝9，2ab＝2．
所以a2+b2+2ab＝9，得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝30，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝ ；
②若（3﹣x）（5﹣x）＝6，则（3﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，求图中阴影部分面积．
【变式9-1】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．
方法1 ；
方法2 ．
（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为 ；
（3）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为 ；
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；
②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．
【变式9-2】【探究】
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
【拓展】
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ ，DF＝ ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【变式9-3】如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a＞b）．
（1）求图1和图2中阴影部分的面积S1、S2（用含a，b的代数式表示）；
（2）如果a+b＝8，ab＝6，求S1的值；
（3）当S1＝S2时，求a与b满足的数量关系．
【考点10 整式乘除中的规律问题】
【例10】观察下列式子：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1；
（1）根据以上式子，请直接写出（xn﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数）；
（2）计算：1+2+22+23+24+…+22021．
【变式10-1】观察下列等式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
…
（1）猜想规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝ ；
（2）有以上情形，你能求出下面式子的结果吗？（x6﹣1）÷（x﹣1）＝ ；
（3）已知x3+x2+x+1＝0，分别求出x4和x2020的值．
【变式10-2】【操作】填空：
（1）（x﹣1）（x+1）＝ ；
（2）（x﹣1）（x+1）（x2+1）＝ ；
（3）（x﹣1）（x+1）（x2+1）（x4+1）＝ ；
…
【猜想】根据上述等式的规律，猜想（x﹣1）（x+1）（x2+1）…（x2n+1）＝ （用含n的式子表示，不用说理）；
【应用】请根据猜想完成下列各题（直接写出结果，不用化简）：
计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）＝ ；
【变式10-3】如图1，是2022年2月份的日历，选择其中所示的方框部分，将这四个数字按照：“右上角数字×左下角数字﹣左上角数字×右下角数字”进行计算．
（1）计算：7×13﹣6×14＝ ，19×25﹣18×26＝ ；
（2）请猜想方框里的四个数字计算结果的规律，并用整式运算对猜想的规律加以证明；
（3）如图2，是2022年4月份的日历，选择任意的十六个数字方框，将四个角上的数字，仍按照题中的运算方法计算，（2）中的规律还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明．