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    专题5.2 分式的运算-重难点题型(举一反三)(学生版) 2022年七年级数学下册举一反三系列(浙教版)
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    专题5.2 分式的运算-重难点题型(举一反三)(学生版) 2022年七年级数学下册举一反三系列(浙教版)

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    这是一份专题5.2 分式的运算-重难点题型(举一反三)(学生版) 2022年七年级数学下册举一反三系列(浙教版),共7页。

    【知识点1 分式的加减】
    同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;
    异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减。
    ①同分母分式的加减:;
    ②异分母分式的加法:。
    注:不论是分式的哪种运算,都要先进行因式分解。
    【题型1 分式的加减】
    【例1】化简:
    (1)aa-b+bb-a; (2)x2-4x2-4x+4-4xx2-2x.
    【变式1-1】当m>﹣3时,比较m+2m+3与m+3m+4的大小.
    【变式1-2】已知Ax-1-B2-x=2x-6(x-1)(x-2),求A、B的值.
    【变式1-3】若a>0,M=aa+1,N=a+1a+2
    (1)当a=1时,M= ,N= ;当a=3时,M= ,N= ;
    (2)猜想M与N的大小关系,并证明你的猜想.
    【题型2 分式与整式的混合运算 】
    【例2】计算x2x+2-x+2时,两位同学的解法如下:
    (1)判断:两位同学的解题过程有无计算错误?若有误,请在错误处打“×”.
    (2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答.
    【变式2-1】计算:(x﹣2)2﹣x(x﹣1)+x3-4x2x2.
    【变式2-2】阅读下列材料,然后回答问题.
    我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如:32=1+12,在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.例如:x+1x-2,x2x+2这样的分式是假分式;1x-2,xx2-1这样的分式是真分式.类似的,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
    例如:x+1x-2=(x-2)+3x-2=1+3x-2,
    x2x+2=(x+2)(x-2)+4x+2=x-2+4x+2.
    解决下列问题:
    (1)将分式x-2x+3化为整式与真分式的和的形式;
    (2)如果分式x2+2xx+3的值为整数,求x的整数值.
    【变式2-3】著名数学教育家波利亚曾说:“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则.”
    《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂;从部分到整体,由低维到高维,知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
    阅读材料:在处理分数和分式的问题时,有时由于分子大于分母,或分子的次数高于分母的次数,在实际运算时难度较大,这时,我们可将分数(分式)拆分成一个整数(整式)与一个真分数(分式)的和(差)的形式,通过对它的简单分析来解决问题,我们称这种方法为分离常数法,此法在处理分式或整除问题时颇为有效.
    将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行,如:x2-2x+3x-1=x(x-1)+x-2x+3x-1=x+-(x-1)+2x-1=x﹣1+2x-1,这样,分式就拆分成一个分式2x-1与一个整式x﹣1的和的形式.
    根据以上阅读材料,解答下列问题:
    (1)假分式x+6x+4可化为带分式 形式;
    (2)利用分离常数法,求分式2x2+5x2+1的取值范围;
    (3)若分式5x2+9x-3x+2拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式为:5m﹣11+1n-6,则m2+n2+mn的最小值为 .
    【知识点2 分式的混合运算】
    1.乘法法则:。分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
    2.除法法则:。分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
    3.分式的乘方:。分式乘方要把分子、分母分别乘方。
    4.分式的混合运算:与实数运算类似,分式的混合运算应先乘方、后乘除、最后加减,有括号时,先算括号里面的,并恰当运用运算律简化运算。一个分式与一个整式相加减时,可以把整式视为分母为1的分式,以免通分漏项。
    【题型3 分式的混合运算】
    【例3】计算:
    (1)b-ab÷(a-bab)2+(ab﹣b2)•(aa-b)2; (2)(3x-1-x﹣1)÷x-2x2-2x+1.
    【变式3-1】化简:(3x-1-x﹣1)÷x2-4x+4x-1.
    【变式3-2】计算(ab2+ab-2a+b+ba2+ab)÷a-bab.
    【变式3-3】复习备考时,王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果,随后用手遮住了原题目的一部分,如图:
    (﹣a+1)÷a2+4a+4a+1=-a-2a+2
    (1)求被手遮住部分的代数式,并将其化简;
    (2)原代数式的值能等于3吗?请说明理由.
    【题型4 分式的规律问题】
    【例4】观察下列不等式:
    ①122<11×2;
    ②132<12×3;
    ③142<13×4;
    ④152<14×5;

    按照以上规律,解决下列问题:
    (1)写出第6个不等式: ;
    (2)写出你猜想的第n个不等式: (用含n的等式表示);
    (3)比较n+2(n+1)2和1n的大小.
    【变式4-1】已知S1=a+1(a不取0和﹣1),S2=11-S1,S3=11-S2,S4=11-S3,…按此规律,请用含a的代数式表示S2020= .
    【变式4-2】如果记f(x)=x21+x2,并且f(1)表示当x=1时y的值,即f(1)=121+12=12,f(12)表示当x=12时y的值,即f(12)=(12)21+(12)2=15.
    (1)f(6)= ;f(14)= ;
    (2)f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(n+1)+f(1n+1)= .(结果用含n的代数式表示,n为正整数).
    【变式4-3】观察下列各式:
    第一式:11×2=1-12;
    第二式:12×3=12-13;
    第三式:13×4=13-14;

    (1)请你根据观察得到的规律写出这列式子的第n式 :
    (2)求和:1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯1(x+2015)(x+2016);
    (3)已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数,求ba(a+1)+b(a+1)(a+2)+⋯+b(a+9)(a+10)的值.
    【知识点3 整数指数幂的运算】
    1.整数负指数幂:。
    2.若,且a≠0,则m=n;反之,若a≠0,且m=n,则。据此,可解决某些条件求值问题。
    【题型5 整数指数幂的运算】
    【例5】1(-0.3)-1÷|52-(﹣1+154)|+|﹣5|×(-225÷[﹣(2)3])×(-14).
    【变式5-1】已知a=﹣3﹣2,b=(-13)﹣2,c=(-13)0,比较a、b、c的大小,并用“<”号连接起来: .
    【变式5-2】a﹣p=1ap(a≠0),即a的负P次幂等于a的p次幂的倒数.例:4﹣2=142.
    (1)计算:5﹣2= ;(﹣2)﹣2= ;
    (2)如果2﹣p=18,那么p= ;如果a﹣2=116,那么a= ;
    (3)如果a﹣p=136,且a、p为整数,求满足条件的a、p的取值.
    【变式5-3】(1)已知a=2﹣44444,b=3﹣33333,c=5﹣22222,请用“<”把它们按从小到大的顺序连接起来,说明理由.
    (2)请探索使得等式(2x+3)x+2020=1成立的x的值.
    【题型6 分式的化简与求值】
    【例6】先化简,再求值:a+4a2-4÷(4a+2-a-2),其中a满足a2﹣2a﹣1=0.
    【变式6-1】设有理数a,b,c都不为零,且a+b+c=0,则1a2+b2-c2+1b2+c2-a2+1c2+a2-b2的值为( )
    A.1B.﹣1C.0D.不能确定
    【变式6-2】先化简,再求值:(x2-1x2-2x+1-11-x )÷(x+2-x2-2x-1),其中x是不等式组4(2x-1)≤3x+62x+1>x-12的整数解.
    【变式6-3】求值:
    (1)已知(x+y)2=9,(x﹣y)2=4.求xy的值; (2)已知x+1x=3,求x4+1x4的值. 解法一:x2x+2-x+2
    =x2x+2-x+21=x2x+2-(x+2)2x+2
    解法二:x2x+2-x+2
    =1x+2[x2-(x-2)(x+2)]
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