2022-2023学年北京市中央民族大学附中高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市中央民族大学附中高二（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知直线x−y− 3=0的倾斜角为( )
A. 45°B. 135°C. 60°D. 90°
2.若复数z满足z=4−3i，则z的虚部是( )
A. 3B. −3C. 3iD. −3i
3.以点(−3,2)为圆心，且与直线3x−y+1=0相切的圆的方程是( )
A. (x−3)2+(y+2)2=10B. (x+3)2+(y−2)2=1
C. (x+3)2+(y−2)2=10D. (x−3)2+(y+2)2=1
4.焦点是F(0,1)的抛物线的标准方程是( )
A. x2=4yB. y2=4xC. x2=−4yD. y2=−4x
5.设数列{an}的前n项和Sn=2n−3，则a5的值为( )
A. 13B. 16C. 29D. 32
6.已知平面α的法向量为n=(1,2,0)，直线l的方向向量为v，则下列选项中使得l⊥α的是( )
A. v=(2,−1,0)B. v=(2,1,0)C. v=(2,4,0)D. v=(−1,2,0)
7.已知双曲线x2−y24=1，下列直线与双曲线有交点的是( )
A. y=4xB. y=3xC. y=2xD. y=x
8.已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=a，记平面A1CD1和平面ABCD的交线为l，已知二面角D1−l−A的大小为60°，则a的值为( )
A. 33
B. 1
C. 3
D. 2
9.已知数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，记Tn=a1a2…an(n=1,2,…)，则数列Tn=( )
A. 3(n−1)n2B. 3(n+1)n2C. 3n−1D. 3n
10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为对角线A1C的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )
A. 6个
B. 5个
C. 4个
D. 3个
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数z1=4−3i，z2=i，则z1z2= ______．
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=30，则a3= ______．
13.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2−6x+8y+9=0，则两圆的位置关系是______.(填“外离”、“外切”、“相交”、“内切”或“内含”)
14.已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A(3,1)，点M是抛物线C上一个动点，当|MF|+|MA|取最小值时，点M的坐标为______．
15.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：
①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；
②若球心距O1O2=4，球的半径为 3，则所得椭圆的焦距为2；
③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
设等差数列{an}的公差不为0，a2=1，且a2，a3，a6成等比数列．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn，求使Sn>35成立的n的最小值．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线l的方程为(a+1)x−y+4a=0，a∈R．
(1)若a=1，求过点(1,0)且与直线l平行的直线方程；
(2)已知原点O到直线l的距离为4，求a的值；
(3)已知直线l在两条坐标轴上截得的截距相等，求a的值．
18.(本小题14分)
在数列{an}和{bn}中，a1=1，an+1=an+2，b1=3，b2=7，等比数列{cn}满足cn=bn−an．
(Ⅰ)求数列{an}和{cn}的通项公式；
(Ⅱ)若b6=am，求m的值．
19.(本小题14分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为2 3．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线l：y=k(x−1)与椭圆E交于不同的两点A，B，记C为椭圆的右顶点，当三角形ABC的面积为45时，求k的值．
20.(本小题14分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，E分别是棱DD1的中点．
(1)求证：C1D/​/平面AB1E；
(2)求二面角E−AB1−A1的余弦值．
21.(本小题14分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|=2．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由直线的方程看到直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，且α∈[0,π)，
所以tanα=k=1，
所以α=π4，即α=45°．
故选：A．
由直线的方程，可得直线的斜率的值，进而求出直线的倾斜角的大小．
本题考查直线的倾斜角的求法，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：复数z满足z=4−3i，则z的虚部是−3．
故选：B．
根据虚部的定义直接得到答案．
本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为点(−3,2)到直线3x−y+1=0的距离是d=|3×(−3)−2+1| 32+12= 10，
所以圆的半径为 10，所以圆的方程为(x+3)2+(y−2)2=10．
故选：C．
根据直线与圆的位置关系求得圆的半径，即可求得结果．
本题主要考查圆的切线方程，考查转化能力，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：焦点是F(0,1)的抛物线的标准方程是x2=4y．
故选：A．
焦点是F(0,1)的抛物线满足的标准形式是x2=2py(p>0)，且p2=1，由此能求出结果．
本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可得，a5=S5−S4=(25−3)−(24−3)=16．
故选：B．
根据公式a5=S5−S4计算得到答案．
本题主要考查了数列的递推式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：若l⊥α，则直线l的方向向量v垂直于平面α，
所以v与平面α的法向量n=(1,2,0)平行，
观察4个选项，只有选项C中v=2n满足．
故选：C．
根据法向量与方向向量的定义，能求出结果．
本题考查法向量与方向向量的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：双曲线x2−y24=1的一条渐近线方程为y=2x，
故y=4x，y=3x，y=2x与双曲线没有交点，y=x有交点．
故选：D．
求出双曲线x2−y24=1的渐近线方程，得到答案．
本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的判断，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接A1B，A1D1/​/BC，所以A1，D1，B，C四点共面，
所以平面A1CD1和平面ABCD的交线为BC，BC⊥平面ABB1A1，
因为A1B⊂平面ABB1A1，所以BC⊥A1B，
又因为AB⊥BC，AB⊂平面ABCD，A1B⊂平面A1BCD1，
所以二面角D1−l−A的大小为∠ABA1=60°，a= 3．
故选：C．
如图所示，连接A1B，A1D1/​/BC，得到A1，D1，B，C四点共面，确定二面角D1−l−A的大小为∠ABA1=60°，计算得到答案．
本题考查二面角的求法和四点共面的判断，属于中档题．
9.【答案】A
【解析】解：因为数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an=3n−1，
所以Tn=a1a2⋯an=1×3×⋯×3n−1=30+1+⋯+n−1=3(n−1)n2．
故选：A．
先求出数列{an}的通项公式，再结合指数幂的运算法则，即可得到本题答案．
本题主要考查等比数列的前n项和，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为对角线A1C的三等分点，
以D为原点，分别以DA、DB、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=1，
则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
C1(0,1,1)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，
则DA1=(1,0,1)、A1C=(−1,1,−1)，
则DP=DA1+A1P=DA1+13A1C=(23,13,23)，
则P(23,13,23)，|PA|= 19+19+49= 63，
|PB|= 19+49+49=1，|PC|= 49+49+49=2 33，
|PD|= 49+19+49=1，|PA1|= 19+19+19= 33，
|PB1|= 19+49+19= 63，|PC1|= 49+49+19=1，
|PD1|= 49+19+19= 63，
则P到各顶点的距离的不同取值有4个．
故选：C．
建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得P到各顶点的距离的不同取值．
本题考查建立空间直角坐标系及两点间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】−3−4i
【解析】解：z1z2=4−3ii=(4−3i)⋅ii2=3+4i−1=−3−4i．
故答案为：−3−4i．
根据复数的除法运算法则，即可求得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
12.【答案】6
【解析】解：S5=5(a1+a5)2=5a3=30，
故a3=6．
故答案为：6．
利用等差数列前n项和的公式即可．
本题主要考查等差数列前n项和的公式，属于基础题．
13.【答案】外切
【解析】解：圆C1：x2+y2=1，圆心C1(0,0)，r=1，
圆C2：x2+y2−6x+8y+9=0，
即(x−3)2+(y+4)2=16，
圆心C2(3,−4)，R=4．
圆心距d= 32+42=5=R+r，故两圆外切．
故答案为：外切．
确定圆心C1(0,0)，r=1，圆心C2(3,−4)，R=4，计算圆心距d=R+r，得到答案．
本题考查圆的方程的应用，属于中档题．
14.【答案】(12,1)
【解析】解：分别过M，A作抛物线C的准线x=−12的垂线，垂足分别为M1，A1，
则|MF|+|MA|=|MM1|+|MA|≥|AA1|=3+12=72，
当且仅当A，M，A1三点共线时，等号成立，
所以|MF|+|MA|的最小值为72，此时点M的坐标为(12,1)．
故答案为：(12,1)．
根据抛物线的定义，结合图象，转化|MF|+|MA|，利用数形结合，求最小值，即可求点M的坐标．
本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】①②
【解析】解：对于①，设点P为曲线上任一点，连接PF1，PF2，
则PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点分别为F1，F2，
过点P作母线，与两球面分别相交于点K1，K2，则PK1，PK2分别是两球面的切点，切点为K1，K2，
根据切线长定理的空间推广，可知PF1=PK1，PF2=PK2，所以PF1+PF2=PK1+PK2=K1K2是定值，
故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，故①对；
对于②，OF2= (O1O22)2−r2= 4−3=1，所以F1F2=2OF2=2，故②正确；
对于③，当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，a由大变小，b不变，
故离心率e= 1−(ba)2由大变小，故③错．
故答案为：①②．
数形结合，利用切线长定理得空间推过可得①正确，结合图形，利用勾股定理可得②正确，根据图形特征可得③错误．
本题考查点轨迹的判断，考查转化思想，属中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，d≠0，
因为a2，a3，a6成等比数列，所以a32=a2⋅a6，
即(1+d)2=1+4d，
解得d=2，或d=0(舍去)，
所以{an}的通项公式为an=a2+(n−2)d=2n−3；
(Ⅱ)因为an=2n−3，
所以Sn=n(a1+an)2=n(a2+an−1)2=n2−2n，
依题意有n2−2n>35，
解得n>7，
使Sn>35成立的n的最小值为8．
【解析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，d≠0，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，即可得到所求通项；
(Ⅱ)运用等差数列的求和公式，再由二次不等式的解法，即可得到所求最小值．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当a=1时，直线l的方程为2x−y+4=0，斜率为k=2，则过点(1,0)且与直线l平行的直线方程为y=2(x−1)，即2x−y−2=0．
(2)原点O到直线l的距离为d=|4a| (a+1)2+1=4，解得：a=−1．
(3)a=−1时，不满足条件；
当a≠−1时，令y=0，x=−4aa+1，令x=0，y=4a，则有−4aa+1=4a，解得：a=−2或a=0．
【解析】(1)代入a=1计算出斜率，利用点斜式写出直线方程；
(2)列出点到直线的距离公式，建立等式求解可求出a的值；(3)求在两条坐标轴上截得的截距，建立等式求解即可．
本题考查直线平行的性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)因为an+1−an=2，且a1=1，
所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
所以an=1+(n−1)⋅2=2n−1，即an=2n−1.
因为b1=3，b2=7，且a1=1，a2=3，
所以c1=b1−a1=2，c2=b2−a2=4.
因为数列{cn}是等比数列，
所以数列{cn}的公比q=c2c1=2，
所以cn=c1⋅qn−1=2×2n−1=2n，即cn=2n.
(Ⅱ)因为bn−an=2n，an=2n−1，
所以bn=2n+2n−1.
所以b6=26+2×6−1=75.
令2m−1=75，得m=38．
【解析】(Ⅰ)数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{cn}是首项为2，公比为2的等比数列，
(Ⅱ)由cn=bn−an可得bn=2n+2n−1，代值计算即可求出m的值．
本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意得，b=12c=2 3，又a2=b2+c2，
解得a=2，b=1，
则椭圆E的方程为：x24+y2=1；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x24+y2=1y=k(x−1)，整理可得：(1+4k2)x2−8k2x+4k2−4=0，
则Δ>0恒成立，且x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k2−41+4k2，
所以|AB|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2⋅ 64k4(1+4k2)4−4⋅4k2−41+4k2= 1+k2⋅4 1+3k21+4k2，
设C(2,0)到直线y=k(x−1)的距离为d，
则d=|k| k2+1，
S△ABC=12|AB|⋅d=12⋅ 1+k2⋅4 1+3k21+4k2⋅|k| 1+k2=2⋅|k| 1+3k21+4k2=45，
即25k2(3k2+1)=4(1+4k2)2，
化简得11k4−7k2−4=0，解得k2=1，
则k的值为±1．
【解析】(1)利用已知结合a2=b2+c2，可求出椭圆E的方程；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与椭圆方程，求出两根之和及两根之积，利用三角形的面积公式列方程计算，求出k的值．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆方程的综合应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：连接C1D，
因为B1C1//AD，B1C1=AD，
所以四边形B1C1DA为平行四边形，
所以C1D/​/AB1，
又因为C1D⊄平面AB1E，AB1⊂平面AB1E，
所以C1D/​/平面AB1E；
(2)以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，E(0,1,1)，D(0,1,0)
则AB1=(1,0,2)，AE=(0,1,1)，
设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z)，
所以n⋅AB1=0n⋅AE=0，则x+2z=0y+z=0，
令y=1，则x=2，z=−1，则n=(2,1,−1)，
又AD=(0,1,0)为平面AA1B1的一个法向量，
则cs〈AD,n〉=11× 6= 66，
由题可知，二面角E−AB1−A1为锐二面角，
所以二面角E−AB1−A1的余弦值为 66．
【解析】(1)利用线面平行判定定理即可证得C1D/​/平面AB1E；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角E−AB1−A1的余弦值．
本题考查线面平行的证明和二面角的求法，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得，2b=2，即b=1，
e=ca= 32，得a2−1a2=34，
解得a2=4，
椭圆C的标准方程为x24+y2=1；
(Ⅱ)方法一、设P(x0,y0)(0所以kPA=y0+1x0，直线PA的方程为y=y0+1x0x−1，
同理：直线PB的方程为y=y0−1x0x+1，
直线PA与直线x=4的交点为M(4,4(y0+1)x0−1)，
直线PB与直线x=4的交点为N(4,4(y0−1)x0+1)，
线段MN的中点(4,4y0x0)，
所以圆的方程为(x−4)2+(y−4y0x0)2=(1−4x0)2，
令y=0，则(x−4)2+16y02x02=(1−x04)2，
因为x024+y02=1，所以 y02−1x02=−14，
所以(x−4)2+8x0−5=0，
设交点坐标(x1,0)，(x2,0)，可得x1=4+ 5−8x0，x2=4− 5−8x0，
因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，
所以 5−8x0>0，解得x0∈(85,2]．
则|x1−x2|=2 5−8x0(85所以当x0=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．
方法二：设P(x0,y0)(0所以kPA=y0+1x0，直线PA的方程为y=y0+1x0x−1，
同理：直线PB的方程为y=y0−1x0x+1，
直线PA与直线x=4的交点为M(4,4(y0+1)x0−1)，
直线PB与直线x=4的交点为N(4,4(y0−1)x0+1)，
若以MN为直径的圆与x轴相交，
则[4(y0+1)x0−1]×[4(y0−1)x0+1]<0，
即16(y02−1)x02−4(y0−1)x0+4(y0+1)x0−1<0，
即16(y02−1)x02+8x0−1<0．
因为x024+y02=1，所以y02−1x02=−14，
代入得到5−8x0>0，解得x0∈(85,2]．
该圆的直径为|4(y0+1)x0−1−(4(y0−1)x0+1)|=|2−8x0|，
圆心到x轴的距离为12|4(y0+1)x0−1+(4(y0−1)x0+1)|=|4y0x0|，
该圆在x轴上截得的弦长为2 (1−4x0)2−(4y0x0)2=2 5−8x0,(85所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．
【解析】(Ⅰ)由题意可得，2b=2，再由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；
(Ⅱ)方法一、设P(x0,y0)(0方法二、设P(x0,y0)(0本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和圆相交的弦长问题，注意运用圆的方程，以及直线和圆相交的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．