安徽省合肥市六校联盟2021-2022学年高一上学期期末联考数学试卷试卷（Word版附解析）

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高一年级数学试卷
一、单选题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可知图中阴影部分所表示的集合为所有属于集合A且不属于集合B的元素构成的集合，结合条件即可得解.
【详解】由题可知图中阴影部分所表示的集合为所有属于集合A且不属于集合B的元素构成的集合，
又集合，，，
所以图中阴影部分所表示的集合为.
故选：B.
2. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断A，举反例排除BCD，从而得解.
【详解】对于A，因为，，所以，故A正确；
对于B，取，，则，故B错误；
对于C，取，则，故C错误；
对于D，取，，则， 故D错误.
故选：A.
3. 下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用各选项中函数的定义域与对应法则，逐一分析判断即可.
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，
所以两者定义域不同，则与不是同一函数，故A错误；
对于B，与的定义域均为，对应法则相同，
则与是同一函数，故B正确；
对于C，的定义域为，的定义域为，
所以两者定义域不同，则与不是同一函数，故C错误；
对于D，的定义域为，的定义域为，
所以两者定义域不同，则与不是同一函数，故D错误；
故选：B.
4. 若，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性逐一分析各选项即可得解.
【详解】因为，
对于A，因为幂函数在上单调递增，所以，故A错误；
对于B，因为函数在上单调递增，所以，故B错误；
对于C，因为函数在上单调递增，所以，故C错误；
对于D，因为函数在上单调递减，所以，故D正确.
故选：D.
5. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧长以及扇形面积公式即可求解.
【详解】设扇形半径为，则，
所以扇形面积为，
故选：C
6. 全球淡水资源不仅短缺而且地区分布极不平衡. 我国是世界第一人口大国，虽然我国是水资源大国，但人均淡水资源只占世界人均淡水资源的四分之一. 为了倡导节约用水，保护淡水资源，某城市对居民的生活用水实行“阶梯式”水价. 计费方法如下：
若某户居民本月交纳的生活用水费用为38.8元，则此户居民本月的用水量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先观察选项分析得此户居民本月的用水量的范围，结合题中信息得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】观察选项，可知不需要考虑此户居民本月的用水量不超过与超过的情况，
设此户居民本月的用水量为，，
则，解得，
所以此户居民本月的用水量为.
故选：C.
7. 函数（其中，，）图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】利用五点作图法求得，进而得到，再利用三角函数平移变换的性质即可得解.
【详解】由的图象可知，，即，
又，所以，
因为的图象经过，
所以，则，
则，又，所以，
所以，，
对于A，将的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，故A错误；
对于B，将的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，故B错误，
对于C，将的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，故C错误，
对于D，将的图象向右平移个单位长度，
得到的图象， 即的图象，故D正确；
故选：D.
8. 已知定义在上的奇函数满足，，且对任意，，都有，又函数，则函数的零点个数为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性与单调性，作出与的大致图象，从而数形结合即可得解.
【详解】因为满足，
所以，则的对称轴为，
又为奇函数，所以，，
则，故的周期为4，
因为对任意，，都有，
所以在上单调递增，
又，则，
所以与的大致图象如图所示，
因为，
所以结合图象可知，与的图象共有10个交点，
即的零点个数为10.
故选：C.
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称，
二、多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）
9. 下列各选项中，值为1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用对数的换底公式与指数幂的运算法则判断AC，利用对数函数与幂函数的单调性判断BD，从而得解.
【详解】对于A，利用对数的换底公式可知，故A正确；
对于B，因为，
所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，
所以，故D错误.
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 命题“，”的否定是“，”
C. “”是“函数在区间内有零点”的充要条件
D. “”是“二次函数为偶函数”的充要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断选项A，B；根据零点存在性定理判断选项C，根据偶函数的性质的判断选项D.
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故选项A错误；
对于B，命题“，”的否定是“，”，故选项B正确；
对于C，函数在区间上为连续不断的一条曲线，若，则函数在区间内有零点，反之不成立，比如：，则易知，且在区间上有两个零点，故选项C错误；
对于D，当时，令，定义域为，且，所以二次函数为偶函数；当二次函数为偶函数时，则有，所以，故选项D正确，
故选：.
11. 下列说法错误的是（ ）
A. 若，则是第一象限角或第二象限角
B. 若，是锐角的内角，则
C. 函数是偶函数
D. 函数是增函数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数的定义即可求解A，根据正弦的单调性即可判断B，根据诱导公式化简即可判断C，根据正切函数的性质即可求解D.
【详解】对于A，由可得是第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角，所以A错误，
对于B，由于，是锐角内角，所以，故，
因此，故B正确，
对于C，为偶函数，C正确，
对于D，在是增函数,故D错误，
故选：AD
12. 关于函数下列说法正确的是（ ）
A. 若，则在上存在最小值
B. 若，则在上具有单调性
C. 存在实数，使是偶函数
D. 存在实数，使的图象为中心对称图形
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，举反例，结合基本不等式即可判断；对于B，分类讨论的取值范围，结合函数的单调性即可判断；对于CD，直接利用赋值法，结合奇偶函数的定义进行判断即可.
【详解】对于A，取，满足，
此时当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
显然，此时在上没有最小值，故A错误；
对于B，当时，与在上单调递增，
所以在上单调递增；
当时，与在上单调递减，
所以在上单调递减；
综上，若，则在上具有单调性，故B正确；
对于C，当时，，即，
此时的定义域关于原点对称，且，
所以是偶函数，故C正确；
对于D，当时，，即，
此时的定义域关于原点对称，且，
所以是奇函数，即此时的图象为中心对称图形，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握初等基本函数的奇偶性，从而利用赋值法即可得解.
三、填空题（本大题共4小题）
13. 若，则_________.
【答案】5
【解析】
【分析】由赋值法令，即可求解.
【详解】解：由得，
令，得
，
得，
故答案为：5
14. 已知，则_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据齐次式即可求解.
【详解】由，
故答案为：
15. 若不等式对任意恒成立，则实数最大值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用配凑法，结合基本不等式求得的最小值，从而得到，进而得解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
因为不等式对任意恒成立，
所以，所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
16. 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一. 据记载，在公元前1120年，商高答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五，既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩. ”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”. 数百年后，希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明了这个定理，因此“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”. 三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明. 如图所示的勾股圆方图中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形. 若中间小正方形面积（阴影部分）是大正方形面积一半，则直角三角形中较小的锐角的大小为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】先设大正方形的边长为，再表示小正方形边长，利用几何图形面积比找到与的关系，再根据三角恒等变换求值．
【详解】如图所示，设大正方形边长为，
由于四个直角三角形全等，且，，，
设，
由题意，图中小正方形面积是大正方形面积的一半，则，
可得，，
所以，即，
又，故，所以，
则直角三角形中较小的锐角的大小为．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定集合，再利用集合的并集运算可得答案；
（2）由可知，从而列出关于的不等式组，从而得解.
【小问1详解】
当时，，
而，
所以.
【小问2详解】
由可知，
又，故，
所以，则，
故得实数的取值范围是.
18. 已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用三角函数的平方关系求得，再利用两角差的余弦公式代入即可得解；
（2）利用三角函数诱导公式，结合三角函数的倍角公式即可得解.
【小问1详解】
因为，，所以，
又，，
所以，
则
，
又，所以.
【小问2详解】
.
19. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若正实数，满足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得是方程的两根，再利用韦达定理即可得解；
（2）结合（1）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【小问1详解】
因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两根，
由韦达定理得，解得；
【小问2详解】
由（1）得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以取得最小值.
20. 已知函数（且）.
（1）求函数的定义域；
（2）当时，求函数的值域；
（3）讨论函数的单调性.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用对数函数真数大于0，得到关于的不等式组，解之即可得解；
（2）（3）利用复合函数的单调性，结合二次函数与对数函数的单调性即可得解.
【小问1详解】
因为，
要使函数有意义，则有，解得．
所以函数的定义域为．
【小问2详解】
当时，
，
令，则其开口向下，对称轴为，
当时，；当或时，；
所以当时，，
所以
即函数的值域为.
【小问3详解】
因为，
令，则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
当时，是增函数，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，是减函数
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
21. 已知函数是定义域为的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）用单调性定义证明函数是增函数；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质求得，再利用题目条件求得，再进行检验即可得解；
（2）利用函数单调性的定义，结合作差法可得答案；
（3）整理不等式，结合奇函数以及单调性性质，建立不等式组，可得答案.
【小问1详解】
因为是定义域为的奇函数，
所以，可得，解得，
又由，可得，解得，
此时，满足定义域为，
又，所以为奇函数，
所以.
【小问2详解】
取，不妨设，
则，
由，则，，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
因为是定义在的奇函数，且在上单调递增，
则由，得，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
22. 已知函数，且_____．
从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：过点函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为函数图象中相邻的两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立若存在，求实数的取值范围若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式、辅助角公式化简函数，选①，代入求出，选②③求出周期，进而求出，再利用正弦函数单调性求解作答.
（2）求出函数，在上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.
【小问1详解】
选①，依题意，，
，即，则，
即有，而，则，
则有，由得：，
所以函数的单调递增区间是.
选②，依题意，，显然，
因函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，因此函数的周期，有，
则有，由得：，
所以函数的单调递增区间是.
选③，依题意，，
因函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，因此函数的周期，有，
则有，由得：，
所以函数单调递增区间是.
【小问2详解】
由（1）知，，由得：，
，因此，
由得：，，因此，从而，
由得：，假定存在实数，使得对，，成立，
即存在实数，使得对，，成立，则，
于是得，解得，因此存在实数，使得对，，成立，
所以实数的取值范围是.
每户每月用水量
水价
不超过的部分
2.3元
超过但不超过的部分
2.8元
超过的部分
3.8元