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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时教案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时教案设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
1. 会将形如的函数转化成形式，并能用来解决周期、最值等问题；
2. 可以使用三角函数解决简单的应用问题．
二、教学重难点
1.理解归纳辅助角公式中的推导过程及相关辅助角的理解；
2.尝试以角为自变量建立函数模型求解问题．
三、教学过程
1.问题引入
学习了两角和(差)公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，三角恒等变换不仅能解决倍角问题还能解决三角函数升降幂的问题，同时三角恒等变换在化简三角函数式中的也有着重要的作用,．那请大家思考以下问题：
问题1：若已知，你能求函数的周期，最大值和最小值吗？
【活动预设】给学生留出时间，让学生思考问题，教师暂不给出提示．
追问1：观察例题中两个函数式，如果研究它们的周期和最大、最小值，要将函数式转化为的形式才可以使用正弦函数的性质去判断，那我们要如何利用三角函数公式进行变换呢？你能说出理由吗？
【活动预设】教师提出问题，激发学生的求知欲，引导学生能够积极思考并尝试回答．
【设计意图】引导学生思考问题，发现学习辅助角公式的必要，从而产生学习辅助角公式的需求，顺利引入新课．
2.例题探究
例1.求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）； （2）．
【活动预设】根据问题2的思考学生自主解决例1（1），教师引导学生能够积极思考并尝试回答例1（2）．
问题2：在第（2）问的式子中提取何值可以使其构成正弦的和差公式呢？如果提取后两项系数不是三角函数特殊值怎么办呢？
（2）设，则
．
于是 ，，
于是 ，
所以 ．
取A=5， 则
，其中，，
即 ．
因此，所求周期为，最大值为5，最小值为5．
【活动预设】学生思考后尝试分析回答，教师适当引导（1）式中可利用正弦的和角公式，所以要将函数式提取一个常数，使两项的系数可分别写为同一个角的余弦值和正弦值，这样就配凑成两角和的正弦公式，逆用公式即可写为的形式．（2）式中，由于，因此提取后要将两项的系数构成平方和是1的形式才能分别看成同一个角的余弦值和正弦值，因此需要提取．
【设计意图】师生一起探究变形的过程，使学生明确公式的来龙去脉，从具体问题入手方便学生理解，为后面的辅助角公式的一般性推导打下基础．
追问2：你能归纳一下怎样将转化为的形式吗？
【活动预设】学生独立尝试，教师适当引导，最后归纳得出结果：
，其中．
【设计意图】本例是三角恒等变换在数学应用中的举例，归纳得到一般情况，我们称它为辅助角公式，它使得三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
追问3：类似的，是否可以写成余弦形式呢？
【活动预设】教师引导学生得到结论
，其中．
【设计意图】对于辅助角公式的余弦表示形式也给出推导过程，拓宽学生的思路，提升逻辑推理的数学素养．
例2如图5.5-2，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记，求当角取何值时，矩形ABCD面积最大？并求出这个最大面积．
问题3：认真审题后思考，我们解题的思路是怎样的？需要使用什么数学知识与方法来解决问题？
分析：可先建立矩形ABCD的面积S与之间的函数关系，再求函数的最大值．
解：在中，，．
在中，．
所以 ，
．
设矩形ABCD的面积为S ，则
．
由，得，所以当，即时，
．
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大值为．
【活动预设】找S与之间的函数关系可以让学生自己尝试解决，教师启发引导，适时点拨．之后提醒学生，自变量的取值范围是，则的范围是，因此当，即时，有最大值，其中是将看成一个整体，利用正弦函数的图象性质求函数的最大值，蕴含了换元思想．
【设计意图】由以上两道例题可以看出，通过三角恒等变换，我们把转化为的形式，这个过程中蕴含了化归思想．
追问4：引申思考，本题可以去掉“”，结论改成“求矩形ABCD的最大面积”，该如何解题？
【活动预设】学生尝试解决，教师点拨提示，这时对自变量可多种选择，如设，则，尽管对所得函数暂时还无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，使学生感受到以角为自变量解决问题的优点．
【设计意图】教师点拨，学生动手，增强学生解题的能力，提升数学运算素养．
3.初步应用
求下列函数的周期，最大值和最小值．
（1）； （2）
【预设的答案】
（1）解：（方法一） ，其中，，即 ．
因此，所求周期为，最大值为13，最小值为13．
（方法二），
其中，，即 ．
因此，所求周期为，最大值为13，最小值为13．
（2）解：，
其中，，即 ．
因此，所求周期为，最大值为，最小值为．
【活动预设】学生独立完成，教师对过程进行分析评价，并鼓励学生选择不同的三角恒等变换公式进行一题多解．
【设计意图】对三角公式的应用进行练习巩固，并用一题多解发散思维，提高分析和运算能力．
4归纳小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并思考回答下面的问题：
把形如的三角函数式转化为一个角的一个三角函数的形式，进而求解周期与最值问题．大家思考在这其中都使用了哪些数学思想方法呢？
【活动预设】教师引导学生归纳：
1．三角变换要考虑包含的角的不同、三角函数的种类差异，三角函数式的结构差异等多个因素，因此在三角恒等变换的过程中应注意对三角函数式的结构进行分析，根据结构特点选择合适的公式，进行恒等变形．还要思考一题多解、一解多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，逆用公式等；
2．在使用辅助角公式时要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
【设计意图】回顾本节课例题中展现的思维过程，以及主要体现的数学思想方法，在总结中调动学生积极性，锻炼学生归纳总结及语言表达能力．
1. 会将形如的函数转化成形式，并能用来解决周期、最值等问题；
2. 可以使用三角函数解决简单的应用问题．
二、教学重难点
1.理解归纳辅助角公式中的推导过程及相关辅助角的理解；
2.尝试以角为自变量建立函数模型求解问题．
三、教学过程
1.问题引入
学习了两角和(差)公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，三角恒等变换不仅能解决倍角问题还能解决三角函数升降幂的问题，同时三角恒等变换在化简三角函数式中的也有着重要的作用,．那请大家思考以下问题：
问题1：若已知，你能求函数的周期，最大值和最小值吗？
【活动预设】给学生留出时间，让学生思考问题，教师暂不给出提示．
追问1：观察例题中两个函数式，如果研究它们的周期和最大、最小值，要将函数式转化为的形式才可以使用正弦函数的性质去判断，那我们要如何利用三角函数公式进行变换呢？你能说出理由吗？
【活动预设】教师提出问题，激发学生的求知欲，引导学生能够积极思考并尝试回答．
【设计意图】引导学生思考问题，发现学习辅助角公式的必要，从而产生学习辅助角公式的需求，顺利引入新课．
2.例题探究
例1.求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）； （2）．
【活动预设】根据问题2的思考学生自主解决例1（1），教师引导学生能够积极思考并尝试回答例1（2）．
问题2：在第（2）问的式子中提取何值可以使其构成正弦的和差公式呢？如果提取后两项系数不是三角函数特殊值怎么办呢？
（2）设，则
．
于是 ，，
于是 ，
所以 ．
取A=5， 则
，其中，，
即 ．
因此，所求周期为，最大值为5，最小值为5．
【活动预设】学生思考后尝试分析回答，教师适当引导（1）式中可利用正弦的和角公式，所以要将函数式提取一个常数，使两项的系数可分别写为同一个角的余弦值和正弦值，这样就配凑成两角和的正弦公式，逆用公式即可写为的形式．（2）式中，由于，因此提取后要将两项的系数构成平方和是1的形式才能分别看成同一个角的余弦值和正弦值，因此需要提取．
【设计意图】师生一起探究变形的过程，使学生明确公式的来龙去脉，从具体问题入手方便学生理解，为后面的辅助角公式的一般性推导打下基础．
追问2：你能归纳一下怎样将转化为的形式吗？
【活动预设】学生独立尝试，教师适当引导，最后归纳得出结果：
，其中．
【设计意图】本例是三角恒等变换在数学应用中的举例，归纳得到一般情况，我们称它为辅助角公式，它使得三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
追问3：类似的，是否可以写成余弦形式呢？
【活动预设】教师引导学生得到结论
，其中．
【设计意图】对于辅助角公式的余弦表示形式也给出推导过程，拓宽学生的思路，提升逻辑推理的数学素养．
例2如图5.5-2，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记，求当角取何值时，矩形ABCD面积最大？并求出这个最大面积．
问题3：认真审题后思考，我们解题的思路是怎样的？需要使用什么数学知识与方法来解决问题？
分析：可先建立矩形ABCD的面积S与之间的函数关系，再求函数的最大值．
解：在中，，．
在中，．
所以 ，
．
设矩形ABCD的面积为S ，则
．
由，得，所以当，即时，
．
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大值为．
【活动预设】找S与之间的函数关系可以让学生自己尝试解决，教师启发引导，适时点拨．之后提醒学生，自变量的取值范围是，则的范围是，因此当，即时，有最大值，其中是将看成一个整体，利用正弦函数的图象性质求函数的最大值，蕴含了换元思想．
【设计意图】由以上两道例题可以看出，通过三角恒等变换，我们把转化为的形式，这个过程中蕴含了化归思想．
追问4：引申思考，本题可以去掉“”，结论改成“求矩形ABCD的最大面积”，该如何解题？
【活动预设】学生尝试解决，教师点拨提示，这时对自变量可多种选择，如设，则，尽管对所得函数暂时还无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，使学生感受到以角为自变量解决问题的优点．
【设计意图】教师点拨，学生动手，增强学生解题的能力，提升数学运算素养．
3.初步应用
求下列函数的周期，最大值和最小值．
（1）； （2）
【预设的答案】
（1）解：（方法一） ，其中，，即 ．
因此，所求周期为，最大值为13，最小值为13．
（方法二），
其中，，即 ．
因此，所求周期为，最大值为13，最小值为13．
（2）解：，
其中，，即 ．
因此，所求周期为，最大值为，最小值为．
【活动预设】学生独立完成，教师对过程进行分析评价，并鼓励学生选择不同的三角恒等变换公式进行一题多解．
【设计意图】对三角公式的应用进行练习巩固，并用一题多解发散思维，提高分析和运算能力．
4归纳小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并思考回答下面的问题：
把形如的三角函数式转化为一个角的一个三角函数的形式，进而求解周期与最值问题．大家思考在这其中都使用了哪些数学思想方法呢？
【活动预设】教师引导学生归纳：
1．三角变换要考虑包含的角的不同、三角函数的种类差异，三角函数式的结构差异等多个因素，因此在三角恒等变换的过程中应注意对三角函数式的结构进行分析，根据结构特点选择合适的公式，进行恒等变形．还要思考一题多解、一解多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，逆用公式等；
2．在使用辅助角公式时要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
【设计意图】回顾本节课例题中展现的思维过程，以及主要体现的数学思想方法，在总结中调动学生积极性，锻炼学生归纳总结及语言表达能力．
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