四川省乐山市市中区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是无理数的识别．根据无理数是无限不循环小数解答即可．
【详解】解：A、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、，3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2. 下列计算结果是a5 的是（ ）
A. a2+a3B. a10÷a2C. （a2）3D. a2·a3
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数的运算依次计算即可选出正确答案．
【详解】解：A．a2与a3不属于同类项，所以不能相加，故A不符合题意；
B．a10÷a2=a10-2=a8，故B不符合题意；
C．（a2）3=a6，故C不符合题意；
D．a2•a3=a5，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查实数的运算，涉及同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，熟练掌握计算法则，细心运算是解题关键．
3. 计算的结果为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方公式，正确进行公式的变形是关键．逆用积的乘方公式即可求解．
【详解】解：原式
故选D．
4. 下列命题是真命题的有（ ）
①等边三角形3个内角都为；
②斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
③全等三角形对应边上的高相等；
④三边长分别为5，12，13的三角形是直角三角形．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了真假命题的判断．根据全等三角形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理逆定理逐项判断即可作答．
【详解】解：①等边三角形3个内角都为，本项是真命题；
②斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，本项是真命题；
③全等三角形对应边上的高相等，本项是真命题；
④∵，∴三边长分别为5，12，13的三角形是直角三角形，本项是真命题．
综上，①②③④都是真命题；
故选：A．
5. 如图，要测量河岸相对的两点A、B间的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再定出的垂线，使点A、C、E在同一条直线上，测量的长度就是的长，这里，其根据是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法进行证明即可．
【详解】解：
在和中，
故选C．
6. 如图，在数轴上，和对应的点分别为A、B，点A是线段的中点，则点C所对应的实数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查数轴上表示的数以及中点的定义，熟练掌握数轴上两点之间的距离计算是解题的关键．由点A是线段的中点，得到，即可得到答案．
【详解】解：设点C所对应的实数为，
点A是线段的中点，
，
和对应的点分别为A、B，
，
，
解得，
故选：D．
7. 如图，中，，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 24D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出直角三角形的斜边，再进行计算即可．
【详解】解： 中，，，，
，
，
．
故选C．
8. 如图，中，，点O是边垂直平分线的交点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角．连接，利用线段垂直平分线的性质结合等边对等角求得，，，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：连接，
∵点O是边垂直平分线的交点，
∴，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
9. 对于实数a、b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（ ）
A. 16B. 8C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查新定义，准确理解题意是解题的关键．根据题意求出的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，，
由于x和y为两个连续正整数，
，
，
的算术平方根为，
故选D．
10. 如图，中，，交于E，C为上一点，．若，则的长为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．作于点，作于点，求得，再求得，，从而求得，根据证明，据此求解即可．
【详解】解：设，作于点，作于点，
∵，
∴，，
∵，垂足为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11. 计算：992＋198＋1＝________．
【答案】10000
【解析】
【分析】将992化为后利用完全平方公式计算，再将结果相加即可．
【详解】解：原式=
=
=10000．
故答案为：10000．
【点睛】本题考查用完全平方公式简便运算．熟记完全平方公式并能对原式正确变形是解题关键．
12 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
13. 如图，在中，，，D为上一点，且，则_____．
【答案】##36度
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等边对等角结合三角形内角和定理求得和的度数，进一步计算即可求解．
详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 若，则__________．
【答案】81
【解析】
【分析】根据，得到，再利用整体思想，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，幂的乘方的逆用以及同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关运算法则，利用整体思想代入求值．
15. 如图，在中，．按以下步骤作图：
①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N；
②分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F；
③作射线．若，E为边的中点，D为射线上一动点．
则的最小值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和最短线段问题．利用基本作图得到得平分，作上截取，连接交于D，根据证明得到，接着利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，最小值为的长，然后利用勾股定理计算出即可．
【详解】解：由作法得平分，
作上截取，连接交于D，如图，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴此时的值最小，最小值为的长，
∵，E为边的中点，
∴，
在，，
∴的最小值为．
故答案为：．
16. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为自然数）展开式的各项的次数和系数规律，后人也将此称为“杨辉三角”．如图，请你仔细观察这两个规律，写出展开式中的第二项 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查杨辉三角，熟练掌握杨辉三角的规律即可得到答案．根据杨辉三角的规律即可解答．
【详解】解：根据题意可得：展开式中的第二项为，
即为．
故答案为：．
三、本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查立方根以及算术平方根的混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可．
【详解】解：原式
．
18. 因式分解：．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再应用完全平方公式，即可求解，本题考查了因式分解，解题的关键是：熟练应用完全平方公式，进行因式分解．
【详解】解：
，
故答案为：．
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算．先利用完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式的运算，再合并同类项，最后进行除法运算．
【详解】解：
．
20. 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD=ED．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由CE∥AB，得∠BAD＝∠E，由D是边BC的中点，得BD＝CD，证△ABD≌△ECD（AAS），即可得出结论．
【详解】证明：∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠E，
∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲！如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c．
（1）请利用“赵爽弦图”证明：；
（2）若大正方形的面积为20，小正方形面积为4，求其中一个直角三角形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理以及完全平方公式是解题的关键．
（1）根据小正方形的面积加上四个直角三角形的面积等于大正方形的面积即可证明；
（2）根据（1）中得到的计算即可．
【小问1详解】
解：直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c，
小正方形的面积四个直角三角形的面积大正方形的面积，
，
，
；
【小问2详解】
解：由题意可得：，
即，
，
故一个直角三角形的面积为．
22. 如图，在中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
【答案】22. 见解析
23.
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理．
（1）利用证明即可求证；
（2）根据，结合全等三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
，
，，
，
，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
解：∵
，
，
，
，
，
．
23. 嘉州学校坚持“立德树人，五育并举”，为提高学生运动技能，计划利用课后服务时间开设以下五种体育课程：A．足球，B．篮球，C．排球，D．羽毛球，E．乒乓球．每名学生都必须且只能在这五种课程中选择一类自己最喜欢的课程，学校对学生选择的课程进行了一次随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
（1）求本次抽样调查学生的人数；
（2）在扇形统计图中，求“排球”所在扇形的圆心角的度数；
（3）补全条形统计图；
（4）根据以上统计分析，估计该校七年级440名学生中最喜爱“篮球”的人数．
【答案】（1）本次抽样调查学生的人数为200名；
（2）“排球”所在扇形的圆心角的度数为；
（3）见解析 （4）该校七年级440名学生中最喜爱“篮球”的人数约有120名．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图的制作方法和统计图中各个数据之间的关系，正确识别统计图是解答问题的前提．
（1）从两个统计图中可得喜欢“足球”的人数为40人，占调查人数的，可求出调查人数；
（2）用乘以样本中“排球”所占的比即可；
（3）计算出喜欢“乒乓球”和“篮球”人数，再补全条形统计图；
（4）根据样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解：本次抽样调查学生的人数为（名）；
【小问2详解】
解：“排球”所在扇形的圆心角的度数为；
【小问3详解】
解：喜欢“乒乓球”的人数为（名），
喜欢“篮球”人数为（名），
补全条形统计图如图所示：
；
【小问4详解】
解：（名）．
答：该校七年级440名学生中最喜爱“篮球”的人数约有120名．
24. 我们把二次三项式恒等变形为（h、k为常数）的形式叫做配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个的多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题．例如，分解因式：．
解：．
请用配方法解答下列问题：
（1）分解因式：①，②；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知a、b、c是的三边长，且满足．判断的形状．
【答案】（1）①；②
（2）
（3）等边三角形
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解的应用，关键是配方法的灵活运用．
（1）根据题意进行分解即可；
（2）分解因式再根据平方的非负性即可得到答案；
（3）分解因式进行判定．
【小问1详解】
解：①原式
；
②原式
；
【小问2详解】
解：原式
，
，
故多项式的最小值为；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
即的形状为等边三角形．
25. 【阅读下列材料】：
若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）
【例】：若，，，求的最小值．
解：∵，， ∴，
∴．
∴时，的最小值为8．
【解决问题】
（1）用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
（2）用一段长为篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少；
（3）如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．
【答案】（1）这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
（2）菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为；
（3）四边形面积的最小值为．
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．
（1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可；
（2）设垂直于墙的一边为xm，利用矩形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用非负数的性质求解即可；
（3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．
【小问1详解】
解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
【小问2详解】
解：设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边长为m，
∴菜园的面积，
又∵，
∴当时，菜园的面积有最大值为1250，
答：菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为；
【小问3详解】
解：设点B到的距离为，点D到的距离为，
又∵、的面积分别是2和3，
∴，，
∴，
∴
∵．
∴当且仅当时，取等号，即的最小值为，
∴四边形面积的最小值为．
26. （1）【课本探究】如图1，小明将两个含全等的三角尺摆放在一起，可以得到为等边三角形，从而发现：，即：．请将小明的这个发现写成命题的形式；
（2）【小试牛刀】
①如图2，在中，，，平分，若，求的长；
②如图3，在等边中，是边上的中线，点P为上一动点，连结，若，求的最小值；
（3）【拓展应用】如图4，在四边形中，，，，点M从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，过点M作于点E，作交延长线于点N，交射线于点F，点M运动时间为．求t为何值时，与全等，并说明理由．
【答案】（1）角所对的直角边等于斜边的一半；（2）①；②的最小值为；（3）秒或3秒时，与全等．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，角所对的直角边等于斜边的一半；
（2）①在中，，推出，再证明，即可得答案；
②过点P作于点E，过点B作于点F，求得，当点B、P、E三点共线且时，的值最小，最小值为的长，据此即可求解；
（3）分点在线段上或点在的延长线上，分别根据图形可得，从而解决问题．
【详解】解：（1）根据题意可得，角所对的直角边等于斜边的一半；
（2）①如图2，
在中，， ，
，
平分，
∴，
∴，，
，
∴，
，
；
②如图3，过点P作于点E，过点B作于点F，
是等边三角形，
∴，
，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
当点B、P、E三点共线且时，的值最小，最小值为的长，
∴的最小值为；
（3）当点在线段上时，

∵，，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点在的延长线上时，
，
，
同理得，，
，
；
综上：或3时，与全等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，含角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，垂线段最短等知识，熟练掌握全等三角形的性质进行分类讨论是解题的关键．