湖北省黄冈市部分学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份湖北省黄冈市部分学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共12页。试卷主要包含了若点，，在反比例函数等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：120分）
温馨提醒：
1．答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置。
2．请保持卷面的整洁，书写工整、美观。
3．请认真审题，仔细答题，诚信应考，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑．）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限B．图象经过点，则
C．图象与坐标轴有公共点D．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小
4．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．10B．15C．20D．25
6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，，分别切于，两点，若，则的度数为（ ）
A．32°B．52°C．64°D．72°
8．若点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（ ）
A．68°B．22°C．28°D．20°
10．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①②③④⑤．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
二、填空题（共5题，每小题3分，共15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11．若抛物线的开口向上，则的值为______．
12．如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为______．
13．将抛物线沿着轴平移，顶点平移到轴上，则平移后的抛物线解析式为：______．
14．如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是弧上一点，，，则阴影部分的面积为______．
15．如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．若，则的长为______．
三、解答题（共9题，共75分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（4分）解下列方程：．
17．（7分）如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点，使，连接，分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
18．（7分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．
19．（8分）2023年10月24日，十四届全国人大常委会第六次会议表决通过《中华人民共和国爱国主义教育法》，自2024年1月1日起施行．法律颁布后受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就《中华人民共和国爱国主义教育法》的了解程度，采用随机抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示两幅不完整的统计图．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______人；
（2）抽查的学生中达到“基本了解”的学生有______人，如何提高A的占比，请你提出至少一条合理化建议：______；
（3）若从对《中华人民共和国爱国主义教育法》达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加《中华人民共和国爱国主义教育法》知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
20．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点．
（1）若点，求该一次函数和反比例函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
21．（8分）如图，内接于，为的直径，延长到点，使得，连接．过点作，交于点，交于点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：与相切．
（2）若，，求的长．
22．（10分）“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，每月可多销售5条，设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为条．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为元，当售价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，休闲裤的销售单价定为多少？
23．（11分）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．
（1）如图1，连接．
①求证：平分；
②求证：是的中点；
（2）如图2，连接，若平分，，求的长．
24．（12分）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
（1）求的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值．
2024年春湖北省知名中小学教联体联盟
九年级入学质量检测数学参考答案
一．选择题：
二．填空题：
11．2 12．23 13．y=x2+2 14．24−254π 15．2+6
三．解答题：
16．解：2x2﹣5x+3＝0，
a＝2，b＝﹣5，c＝3，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×3＝1＞0，
故方程有两个不相等的实数根，
，
∴．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD
∴∠E＝∠EDC，
∵BE＝AB，
∴CD＝AB，
又∠BFE＝∠DFC，
∴△EBF≌△DCF
∴BF＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△CFG，
∴，
且BF＝CF＝BC＝AD，DG＝4，
∴＝，
∴FG＝2．
18．解：（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）
＝k2+2k+1
＝（k+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）∵x＝，
∴x1＝2，x2＝k+3，
∵此方程恰有一个根小于﹣1，
∴k+3＜﹣1，
解得k＜﹣4，
即k的取值范围为k＜﹣4．
19．解：（1）30÷50%＝60，
所以接受问卷调查的学生共有60人．
故答案为：60；
（2）“A”组的人数为：60﹣5﹣30﹣10＝15（人），
为了提高A的占比，可举行《中华人民共和国爱国主义教育法》知识竞赛．（只要合理就行）
（3）画树状图为：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，
∴P（选中一男一女）＝．
20．解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点A（1，6）和点B（﹣6，﹣1），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+5；
∵反比例函数y＝（m≠0）的图象过点A（1，6），
∴m＝1×6＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点A（1，6），
∴k+b＝6，b＝6﹣k．
解方程组，得，，
由题意得，﹣≥﹣3，
解得k≥2，
则k的取值范围是k≥2．
21．（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠BCG＝90°，
∵CG＝CB，
∴∠G＝∠CBG＝45°，
∵CD∥GB，
∴∠ACD＝∠G＝45°，∠BCD＝∠CBG＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE＝∠AOD＝90°，
即：OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切．
（2）解：由（1）可知：∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠AOD＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，
由勾股定理得：，
∴，
∵CD∥GB，AC＝4，BC＝CG＝2，
∴BF：AF＝AC：CG＝4：2＝2：1，
设BF＝k，AF＝2k，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ODF中，，，
由勾股定理得：，
∵CD∥GB，DE∥AB，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴．
22．解：（1）由题意可得：
y＝100+5（80﹣x）
＝﹣5x+500，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；
（2）由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，
∴w有最大值，即当x＝70时，w最大值＝4500，
∴当售价70元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意得：
﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，
解得x1＝65，x2＝75，
∵抛物线w＝﹣5（x﹣70）2+4500开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当65≤x≤75时，捐款后每月利润不低于4175元，
∵要让消费者得到最大的实惠，
∴x＝65．
∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
23．（1）证明：①由旋转性质得EC＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴BE平分∠AEC；
②如图1，过点B作BP⊥CE于点P，
由①可知∠AEB＝∠CEB，
又∵∠A＝∠BPE，且BE＝BE，
∴△AEB≌△PEB（AAS），
∴BP＝BA，
∵BA＝DC＝GC，
∴BP＝GC，
又∵∠BHP＝∠GHC，∠BPH＝∠GCH＝90°，
∴△BPH≌△GCH（AAS），
∴BH＝HG，
∴点H为BG中点，
（2）解：如图2，作BP⊥CE于点P，
由（1）可知△AEB≌△PEB，△BPH≌△GCH，
∴AE＝PE，PH＝CH＝2，
∵∠EFG＝∠FEH＝90°，FH平分∠EFG，
∴
∴∠EHF＝45°＝∠EFH，
∴EF＝EH＝BA＝DC，
设AE＝PE＝x，则EC＝x+4，EH＝x+2，
∴BC＝EC＝AD＝x+4，EF＝EH＝BA＝DC＝x+2，
∴ED＝AD﹣AE＝4，
∵∠EDC＝90°，
∴（x+2）2+42＝（x+4）2，
解得x＝1，
∴AE＝1．
24．解：（1）直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，
故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为（1，0），顶点P的坐标为（2，1），
3m+n＝12﹣3＝9；
（2）①当CP＝CQ时，C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，
故此时Q点坐标为（2，﹣7）；
②当CP＝PQ时，
可得：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）；
③当CQ＝PQ时，
可得：过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣，
当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为（2，﹣）；
故：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（2，﹣）或（2，﹣7）；
（3）图象翻折后的点P对应点P′的坐标为（2，﹣1），
①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时直线BC和抛物线的交点有3个，b＝﹣3；
②当直线y＝x+b与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，
此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；
即：x2﹣4x+3＝x+b，Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0，解得：b＝﹣．
即：b＝﹣3或﹣．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
C
C
D
B
D
B
D