2024重庆市万州二中高一下学期开学考试数学PDF版含答案（可编辑）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册全册。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．若，则
【答案】C
【分析】由数集的概念，元素与集合，集合与集合的关系，依次判断各选项即可.
【详解】对于A，中不含有任何元素，是任何集合的子集，则，故A错误；
对于B，表示有理数集，为无理数，则，故B错误；
对于C，表示自然数集，表示整数集，则，故C正确；
对于D，，则，故D错误.
故选：C
2．函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数中真数大于零，分式中分母不等于零列不等式，解不等式即可得到定义域.
【详解】由可得，又因为，所以函数的定义域为.
故选：C.
3．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得.
【详解】由不等式的解集为或，
得是方程的两个根，且，
因此，且，解得，
不等式化为：，解得，
所以不等式为.
故选：C
4．已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域是B．在其定义域内为减函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】D
【分析】首先将点坐标代入得幂函数表达式进而得其定义域单调性，结合奇偶性的定义即可得解.
【详解】由题意设幂函数为，则，所以，，
其定义域为全体实数，且它在内单调递增，
又，所以是偶函数，故ABC错误，D正确.
故选：D.
5．设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选B.
6．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.
【详解】∵，
故选：D.
7．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要使函数是减函数，须满足 求不等式组的解即可.
【详解】若函数在上单调递减，则
得，
故选：B.
8．悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（ ）
A．B．函数的值域
C．，恒成立D．方程有且只有一个实根
【答案】C
【分析】直接计算即可判断A；分离常数，再根据指数函数及反比例函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；令，根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，
因为，所以，所以，
所以，
所以函数的值域，故B正确；
对于C，因为，
即，故C错误；
对于D，，
令，函数为增函数，且，
而函数在上为增函数，
所以函数是增函数，
令，
因为函数都是增函数，
所以函数是增函数，
又，
所以函数有唯一零点，且在上，
即方程有且只有一个实根，故D正确.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．以下四个命题，其中是真命题的有（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是
C．函数且的图象过定点
D．若某扇形的周长为6cm，面积为2，圆心角为，则
【答案】ACD
【分析】对A：对原命题改量词，否结论，即可求得结果；对B：求得的最小正周期，再求结果即可；对C：根据对数函数恒过的定点，结合解析式，即可求得结果；对D：根据扇形的面积公式，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】对A：命题“”的否定是“”，故A正确；
对B：的最小正周期为，故相邻两条对称轴之间的距离是，B错误；
对C：，令，故可得，此时，故其恒过定点，C正确；
对D：设扇形的半径为，由题可得，
消去可得，解得或，又，故可得，故D正确.
故选：ACD.
10．若正实数a，b满足，则下列选项中正确的是（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．的最小值是10D．
【答案】AD
【分析】利用可判断A；利用可判断B；
展开后再利用基本不等式可判断C，由再利用指数函数的单调性可判断D．
【详解】对于A，∵，且，∴，当且仅当时取到等号，∴，∴有最大值，∴选项A正确；
对于B，，∴，
当且仅当时取到等号，∴B错误；
对于C，，
当且仅当即时取到等号，所以C不正确；
对于D，∵，∴，∴D正确．
故选：AD.
11．已知函数，其中，，，是常数，若对任意恒有，则下列判断一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】取特殊值判断A，B，D，结合数量积的性质证明，判断C.
【详解】因，且对任意恒有，
所以，A正确；
当时，对任意恒有，但，，B错误，D错误；
令，
则，
，
，
所以，
所以，所以，故，C正确；
故选：AC.
【点睛】对于不等式恒成立问题，常利用一般与特殊的关系，通过取特殊值解决问题.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数，则的解析式为 .
【答案】
【分析】令，则，代入可得的解析式.
【详解】解：令，则，，
所以，即.
故答案为：.
13．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，点转一周的时间为12秒，若点的初始位置为，则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为 ．
【答案】
【解析】
【分析】计算出运动秒钟时动点转动的角，再利用诱导公式即可得解.
【详解】解：点转一周的时间为12秒
则经过3秒钟，转了，
设点的初始位置坐标为，则，
则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为，
即，
所以经过秒钟，动点所处的位置的坐标为.
14． 对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“成功函数”.已知函数，若函数是上的“4成功函数”，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先分析出为偶函数，为奇函数，所以为偶函数，且在R上单调递增，分，与三种情况，结合函数的单调性和对称性，得到实数的取值范围.
【详解】设，则定义域为R，
且，故为偶函数，
定义域为R，且，
故为奇函数，
所以为偶函数，
且在上单调递增，
故在R上单调递增，
若，则画出的图象如下：
即在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以有，满足4成功函数，
若，画出的图象如下：
则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，
所以只需任取，使得，
由对称性可知，存在，使得，且，
故满足，故满足4成功函数，
若时，画出的图象如下：
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，
故只需满足任取，使得，
由对称性可知：存在，使得，
所以要满足，结合，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】复合函数的单调性，先考虑函数的定义域，再拆分为内层函数和外层函数，利用同增异减来判断复合函数的单调性；
复合函数的奇偶性，先考虑函数定义域是否关于原点对称，再拆分为内层函数和外层函数，利用“内偶则偶，内奇同外”进行判断，即若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，若内层函数为奇函数，则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数，若外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知.
(1)化简；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)；
(2)3.
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得；
（2）根据同角关系式结合条件即得.
【详解】（1）
. 分
（2）因为，所以，
∴. 分

16．函数.
（1）请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）
（2）设，，当时，试研究函数的零点的情况.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将表示为分段函数的形式，然后利用列表法画出的图象.
（2）由转化为与的公共点个数，对进行分类讨论，由此求得零点的情况.
【详解】
（1）， 分
按五个关键点列表：
分
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：
分
（2）因为，
所以的零点个数等价于与图象交点的个数，分
设，，则
当，即时，有2个零点； 分
当，即时，有1个零点； 分
当，即时，有0个零点. 分
17．已知函数的图象经过点．
(1)求的值，判断的单调性并说明理由；
(2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；是上的单调递增函数，理由见解析；
(2),
【分析】（1）由函数经过点求的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性；
（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在,上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数的取值范围．
【详解】（1）函数经过点，
所以，解得， 分
即，，
则是上的单调递增函数，理由如下：
任取、x2∈R，且，则，
则，
所以，即，
所以是定义域上的单调递增函数． 分
（2）因为，
故是奇函数且在上单调递增， 分
则不等式等价于，
所以，即，
即存在,不等式有解，
即在,上有解， 分
由,，可得，
由对勾函数性质易知：在单调递减，在单调递增，
且，故在的最大值为，
所以，即
所以，
即实数的取值范围是,． 分
18．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形中，米，米，图中区域为诊断区（、分别在和边上），、及区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求的大小为.
（1）若按照米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？
（2）按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积最大，并求出最大值.
【答案】（1）不符合要求
（2）按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）
【解析】
【分析】(1)依题意求即可判断.
(2)设，用表示诊疗区域的面积即可.
【详解】
(1)当时，， 分
所以
因此诊断区不符合要求 分
(2)设，则， 分
分
在中，，
在中，，,
所以 分
，其中，
所以，当且仅当即取等号
故按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）. 分
0
0
1
0
0
0
3
0
1
0