山东省烟台市福山区2023-2024学年七年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．数学考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．
6．写在试卷上和答题卡指定区城外的答案无效．
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握无理数的定义是解答本题的关键．
判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，进而判断即可．
【详解】解：A. 是有理数，故此选项不符合题意；
B. 是无理数，故此选项符合题意；
C、是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
D、是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故选： B．
2. 下列四种图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、C、D中的图形是轴对称图形，故A、C、D不符合题意；
B中的图形不是轴对称图形，故B符合题意．
故选：B．
3. 若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案．
【详解】解：，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．
4. 利用课本上如图所示的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 显示结果为（ ）

A. 32B. 8C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了计算器-基础知识，解答此题的关键是熟练掌握科学计算器的使用方法．
根据科学计算器的使用方法，求出64的立方根即可．
【详解】解：，
故选：C．
5. 已知点，，点C在y正半轴上，且的面积是8，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查坐标系中的坐标与图形，根据点A和点B在x轴上，距离可用横坐标之差的绝对值求出，C点在y轴的正半轴上，用面积列等式求解即可．
【详解】解：点C在y轴的正半轴上，点和点在x轴上，
，
的面积为8，得
，
解得，
点，
故选：C．
6. 如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两定点之间的距离是解答本题的关键．
依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：如图，
画出点关于的对称点，则：
连接，交直线于点，
，
此时，最小，
故选：．
7. 如图，线段把分为面积相等的两部分，则线段是（）

A. 三角形的角平分线B. 三角形的中线
C. 三角形的高D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】作三角形的高，根据三角形面积公式，分别表示出和，即可得出，即线段是三角形的中线．
【详解】解：作，
∴，，
∵，即，
∴，
即线段是三角形的中线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积和三角形的中线，三角形的中线可分三角形为面积相等的两部分．
8. 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知 PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的 周长为 8，可得到 x、y之间的关系式．
【详解】如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、，
设点坐标为，
点在第一象限，
，，
矩形的周长为8，
，
，
即该直线的函数表达式是，
故选．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的
坐标都满足函数关系式 y＝kx+b．根据坐标的意义得出 x、y之间的关系是解题的关键．
9. 已知关于x的多项式是一个完全平方式，则在平面直角坐标系中，一次函数的图象一定经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、二象限D. 第三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
根据多项式是一个完全平方式，可以得到k的值，然后即可写出一次函数的图象经过哪几个象限，再观察，即可写出一次函数的图象一定经过哪几个象限．
【详解】解：∵多项式是一个完全平方式，
，
当时，一次函数，它的图象经过第一、二、三象限，
当时，一次函数，它的图象经过第一、二、四象限，
由上可得，一次函数的图象一定经过第一、二象限，
故选：C．
10. 一次函数（m，n为常数且）与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的性质和正比例函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意．
【详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项A不符合题意；
选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项B不符合题意；
选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意；
选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项D不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共计18分）
11. 请写出一个正整数n，使得是整数，______．
【答案】6（答案不唯一）．
【解析】
【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
根据算术平方根的定义进行解题即可．
【详解】解：，，
，或，
故答案为：6（答案不唯一）．
12. 在平面直角坐标系内，点到轴的距离是______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系内点到坐标轴的距离．掌握点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，点到轴的距离是其横坐标的绝对值是解题关键．
【详解】解：点到轴的距离是9．
故答案为：9．
13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若轴，且，则点B的坐标为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的特征，分类讨论是解本题的关键．根据平行于轴的点的纵坐标相同，即可确定的纵坐标，然后根据即可确定点的横坐标．
【详解】解：，轴，
点的纵坐标为1，
又，
点的横坐标为或，
点的坐标为或．
故答案：或．
14. 如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则______．
【答案】##94度
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数．
由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解．
【详解】解：∵线段为折痕，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落边上的E点，折痕为．若的周长为，，，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，
，，
，
的周长为，
，
，
．
故答案为：6．
16. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．

【答案】17
【解析】
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
【详解】解：∵，
由勾股定理得，
故答案为：17．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本题共8个题，满分72分）
17. 已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为．
（1）求a，b的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．
（1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数，列出方程解出a，再根据的立方根为，列出方程解出b；
（2）把、代入计算出代数式的值，然后求它的平方根．
小问1详解】
解：∵正数的两个不同的平方根是和，
，
解得，
的立方根为，
，
解得，
；
【小问2详解】
解：把、代入
得，
∴的平方根是．
18. 格点的正方形网格中的位置如图所示．

（1）在图中画出关于直线对称的；
（2）若网格中每个小正方形的边长为1，求的面积．
【答案】（1）作图见详解；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线的对称点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
【小问1详解】
解：（1）如图，为所作；
【小问2详解】
解：的面积．
19. 如图，D是的边AB上一点，，交于点E，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）3
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，得到是解题的关键．
（1）证明，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
，
，
即的长为3．
20. 春节将近，小明决定将家里长的圆柱体不锈钢护栏上均匀的缠满彩色丝带．已知圆柱体的不锈钢护栏的底面周长为，彩色丝带的宽度不计，若相邻两圈丝带间隔．请你帮小明计算一下，最少需要多长的丝带．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键在于将实际问题抽象成勾股定理进行计算．
根据题意首先求出丝带需要缠绕的圈数，在根据勾股定理求出每圈丝带的长度，即可求出结果．
【详解】解：丝带需要缠绕的圈数：（圈）
每圈丝带的长度为．
最少需要的丝带长度：．
答：最少需要的丝带．
21. 已知直线的表达式为，点A，B分别在x轴、y轴上．
（1）求出点的A，B的坐标，并在下图中画出直线的图象；
（2）将直线向上平移4个单位得到直线，点C，D分别在x轴、y轴上．求出点C，D的坐标及直线的表达式，并在下图中画出直线的图象；
（3）若点P到x轴的距离为4，且在直线上，求的面积．
【答案】（1），点；图象见解答过程；
（2），点，直线的表达式为；
（3）4或12．
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键．
（1）对于，当时，，当时，，由此可得点A，点B坐标，然后画出直线即可；
（2）根据一次函数平移的规律得直线的解析式为，然后再分别求出点C，D的坐标，画出直线即可；
（3）根据点P在直线上，可设点P的坐标为再根据点P到x轴的距离为4得，由此解出t，进而得点P的坐标，然后再求出的面积即可．
【小问1详解】
解：对于，当时，，当时，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，直线如图1所示：
【小问2详解】
解：对于直线，向上平移4个单位得：，
即直线的解析式为，
对于，当时，，当时，，
∴点C的坐标为，点D的坐标为，直线如图2所示：
【小问3详解】
解：∵点P在直线上，
∴可设点P的坐标为，
∵点P到x轴的距离为4，
，
或，
由解得：，此时点P的坐标为，
由解得：，此时点P的坐标为，
①当点P的坐标为时，如图4所示：
∵点，，
轴，，
，
∵点D的坐标为，
，
；
②当点P的坐标为时，过点P作轴于H，如图3所示：
，
由（1）可知：，
．
综上所述：面积为4或12．
22. 如图，在中，，，平分．
（1）求的度数；
（2）若，垂足为点D，，，，求的长．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理，勾股定理及直角三角形的性质，掌握三角形内角和定理及直角三角形的性质是解题的关键．
（1）在中，，，根据三角形内角和定理，可求得度数，由平分，根据角平分线的定义，可求得的度数；
（2）根据勾股定理即可解答．
【小问1详解】
解：，，
，
平分，
．
【小问2详解】
解：，
为直角三角形，
．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的图象是第一、三象限的角平分线．
（1）实验与探究：由图观察易知关于直线l的对称点的坐标为，请在图中分别表明、关于直线l的对称点的位置，并写出它们的坐标：________、_______；
（2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任何一点关于第一、第三象限的角平分线l的对称点的坐标为__________．
（3）类比与猜想：坐标平面内任一点关于第二、四象限的角平分线l的对称点的坐标为__________；
（4）运用与拓广：已知两点、，试在第一、三象限的角平分线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，请求出这个最小的距离之和．
【答案】（1）；
（2）
（3）
（4）点Q的确定见解析，点Q的坐标为；最小距离为
【解析】
【分析】（1）根据对称轴为第一、三象限的角平分线，结合图形得出两点坐标；
（2）由（1）的结论，并与B、C两点坐标进行比较，得出一般规律；
（3）类比关于第一、三象限的角平分线对称点的特点，得出关于第二、四象限的角平分线对称点的坐标特点即可；
（4）本题是典型的将军饮马问题，求点到两点之间距离之和最小，只需根据对称性作两点之间线段最短，即可解决问题．
【小问1详解】
解：、关于直线l的对称点、的位置，如图：
由图可知，；．
故答案为：；．
【小问2详解】
解：坐标平面内任何一点关于第一、第三象限的角平分线l的对称点的坐标为．
故答案为：．
【小问3详解】
解：坐标平面内任一点关于第二、四象限的角平分线l的对称点的坐标为．
故答案为：．
【小问4详解】
解：在图中标出点关于直线l的对称点，连接交直线l于一点，该点就是所求的点Q，如图：
∵点关于直线l的对称点，
∴，
∴，
根据“ 两点之间线段最短”可知：的最小值为线段的长，
设直线的解析式为，
把，两点的坐标代入到中，
得
解得
∴直线的解析式为
∵直线l是第一、三象限的角平分线，
∴直线l的解析式为：，
联立
解得
∴ Q点坐标为：，
此时最小距离和为．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的求解问题，以及求最短距离的问题．平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线的解析式为：；第二、四象限的角平分线的解析式为：．求解将军饮马之类问题即某点与两点之间距离之和最短问题时，应依据两点之间线段最短的原则．
24. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是线段上一点（不与点A，B重合），以边作如图所示的，且，，连接．
（1）请判断线段与的关系，并说明理由；
（2）当时，求点D的坐标．
【答案】（1），理由见详解；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）先根据直线求出点A的坐标和B的坐标，进而得出，，利用勾股定理求出即可；证明，根据全等三角形的性质得到，，得到，得到答案；
（2）过点C作于E，过点D作于F，设，在中，根据勾股定理求出，可得，证明，根据全等三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：猜想：；
证明：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令，则，
，
，
令，则，
，
；
，，
，
∵点，点，
，
在和中，
，
，，
，
，即，
，
，；
【小问2详解】
解：过点C作于E，过点D作于F，如图所示：
设，
，，
，
，，
，
在中，，
，
解得，

，，
，
，，
，
，
，
，
∴点D的坐标为．