专题12 二次函数综合题

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1．（2023·天津·统考中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．
(1)若．
①求点和点的坐标；
②当时，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．
2．（2022·天津·统考中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
(1)若，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
(2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．
3．（2021·天津·统考中考真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．
（Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．
4．（2023·天津河西·统考一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点．
(1)若已知．
①求抛物线的顶点坐标；
②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段轴，交直线于点F，当线段取得最大值时，求此时点P的坐标；
(2)若取线段的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段，得到线段，求的最小值，并求此时点的坐标．
5．（2023·天津和平·统考一模）已知：经过点，．
(1)求函数解析式；
(2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．
①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；
②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．
6．（2023·天津南开·统考一模）抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为D，与x轴相交于点，是y轴上的一个定点．
(1)若，且抛物线过定点M，求抛物线解析式和顶点D的坐标；
(2)已知抛物线的顶点D在x轴上方，且点D在直线上．
①若，求抛物线解析式和顶点D的坐标；
②若点E是直线上的动点，点F是x轴上的动点，当的周长的最小值时，直接写出抛物线的顶点D的坐标．
7．（2023·天津红桥·统考一模）抛物线（a，b为常数，）交x轴于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点，D是线段上的动点（点D不与点A，C重合）．
①点D关于x轴的对称点为，当点在该抛物线上时，求点D的坐标；
②E是线段上的动点（点E不与点A，B重合），且，连接，，当取得最小值时，求点D的坐标．
8．（2023·天津东丽·统考一模）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求拋物线的解析式及顶点坐标：
(2)连接，点是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标．
9．（2023·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为P，与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．
(1)求点P的坐标；
(2)点K是抛物线上的动点，当时，求出点K的坐标；
(3)直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
10．（2023·天津·校联考一模）抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)点在拋物线对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)是拋物线对称轴上的一点，是对称轴右侧拋物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，求出符合条件的所有点的坐标．
11．（2023·天津滨海新·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．点在轴正半轴上，且，分别是线段，上的动点（点不与点重合，点不与点重合）．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)连接．
①将沿轴翻折得到，点的对应点分别是点和点，当点在拋物线上时，求点的坐标；
②连接，当时，求的最小值．
12．（2023·天津西青·统考一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为．
(1)当时，求该抛物线顶点的坐标；
(2)若该抛物线与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点．
①点是该抛物线对称轴上一个动点，当的最小值为时，求该抛物线的解析式和点的坐标．
②连接，与抛物线的对称轴交于点，过点作，垂足为，若，求该抛物线的解析式．
13．（2023·天津河北·统考一模）已知抛物线（b，c是常数）的顶点为P，经过点，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若将该抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为，求的最大值；
(3)若抛物线的对称轴为直线，M，N为抛物线对称轴上的两个动点（M在N上方），，，连接，，当取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N，求新抛物线的函数解析式．
14．（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）已知：抛物线（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
15．（2023·天津和平·统考二模）已知抛物线（，，是常数，，）的顶点为，与轴相交于点和点，与轴交于点．动点和以相同的速度从坐标原点同时出发，分别在线段，上向点，方向运动．
(1)若，；
①求点的坐标；
②过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形为矩形时，求点的坐标；
(2)若点，过点作直线平行于轴，直线与抛物线交于点（不与点重合），连接，，当的最小值为时，求点，的坐标．
16．（2023·天津红桥·统考二模）抛物线 为常数，经过点和点，与轴相交于点，顶点为．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)是第一象限内该抛物线上的动点．
①当时，求点的坐标；
②与该抛物线的对称轴相交于点，是线段上一点，当点在对称轴的右侧时，若是等腰直角三角形，求点的坐标．
17．（2023·天津南开·统考二模）已知抛物线（，，是常数）的开口向上且经过点，．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若二次函数在时，的最大值为2，求的值；
(3)若射线与抛物线仅有一个公共点，求的取值范围．
18．（2023·天津河东·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为P，与x轴交于点．

(1)若，求点P的坐标；
(2)若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴交于点C，点(n是常数，且)是抛物线上一点，直线与y轴交于点D，连接，的面积为12．
①求n的值．
②点E是线段上的动点，点B关于直线的对称点为点，连接，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标．
19．（2023·天津河北·统考二模）已知抛物线（为常数），抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为．
(1)当时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)若点是抛物线在第一象限内的点，有一点，当时，求的值；
(3)在（1）的条件下，连接，点是第一象限内的抛物线上的一动点，过点作于点，连接，当最大时，求的长．
20．（2023·天津·统考二模）已知抛物线（为常数，）与轴相交于点，点（点在点的左侧），与轴相交于点，点是该抛物线的顶点．
(1)当时，求点，的坐标；
(2)直线（是常数）与抛物线相交于第二象限的点，与相交于点，当的最大值为时，求抛物线的解析式；
(3)将线段沿轴方向平移至，为点的对应点，为点的对应点，连接，．当为何值时，的最小值为，并求此时点的坐标．
21．（2023·天津河西·统考二模）在平面直角坐标系中，点，，．已知抛物线（为常数，），与轴相交于点，为顶点．
(1)当抛物线过点时，求该抛物线的顶点的坐标；
(2)若点在轴上方，当时，求的值；
(3)在（1）的情况下，连接，，点，点分别是线段，上的动点，且，连接，，求的最小值，并求此时点和点的坐标．
22．（2023·天津东丽·统考二模）抛物线与轴交于点，，与轴交于点，抛物线顶点为，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线解析式及顶点的坐标；
(2)为抛物线对称轴上一点，为轴上一点，且，当点在线段上（含端点）运动时，求的取值范围．
23．（2023·天津滨海新·统考二模）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点，对称轴为直线．
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)作直线BC，点P是抛物线上一动点．
①作直线PC，当时，求点P的坐标；
②当点P在第一象限的抛物线上运动时，过点P作直线BC的垂线交BC于点E，作轴交BC于点F，有最大值吗？若有，请直接写出该值；若没有，请写出理由．
24．（2023·天津西青·统考二模）已知抛物线（，为常数，）过点，顶点为点．
(1)当时，求此抛物线顶点的坐标；
(2)当时，若的面积为，求此抛物线的解析式；
(3)将抛物线向左平移1个单位，向下平移个单位，得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，求平移后抛物线的解析式．
25．（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过A(-1，0)和B(3，0)两点，点C(0，-3)，连接BC，点Q为线段BC上的动点．
(1)若抛物线经过点C；
①求抛物线的解析式和顶点坐标；
②连接AC，过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，AQ，△PAQ与△PBQ面积记为S1，S2，若S=S1+S2，当S最大时，求点P坐标；
(2)若抛物线与y轴交点为点H，线段AB上有一个动点G，AG=BQ，连接HG，AQ，当AQ+HG最小值为时，求抛物线解析式．
26．（2023·天津和平·统考三模）已知抛物线（，是常数）的顶点为P，与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．
(1)若，A点坐标为，对称轴为直线，
①求点P的坐标：
②将直线BC沿y轴向下平移个单位长度，并且与抛物线总有公共点，求n的取值范围；
(2)若，A点坐标为，对称轴为直线，在平面内有一个动点Q，当m为何值时，的最小值是？
27．（2023·天津红桥·统考三模）已知拋物线（为常数，）经过点，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，在该拋物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)为轴上方拋物线上的动点，过点作直线，分别交抛物线的对称轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，调求出该定值；若不是，请说明理由．
28．（2023·天津河北·统考三模）已知抛物线交x轴于A，B两点，且点B的坐标为，其对称轴交x轴于点C．
（I）求该抛物线的顶点D的坐标；
（Ⅱ）设P是线段CD上的一个动点（点P不与点C，D重合）．
①过点P作y轴的垂线l交抛物线（对称轴右侧）于点Q，连接QB，OD，求面积的最大值；
②连接PB，求的最小值．
29．（2023·天津河西·天津市新华中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，在y轴正半轴上有一点C，．点D，E分别是线段，上的动点，且均不与端点重合．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图①，连接，将沿x轴翻折得到，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
(3)如图②，连接，当时，求的最小值．
30．（2023·天津河西·统考模拟预测）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．
(1)当时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)当时，点，，求该抛物线的解析式；
(3)当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为？
31．（2023·天津河东·天津市第七中学校考模拟预测）如图，已知点在二次函数的图像上，且．
(1)若二次函数的图像经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②若，求顶点到的距离；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
32．（2023·天津西青·校考模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）的顶点为P，与x轴的一个交点为，与y轴相交于点．
(1)求该抛物线的解析式和顶点P的坐标：
(2)直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，请写出MG的长w关于m的函数关系式；
(3)当m取何值时，w取得最大值，并求出此时点M，G的坐标．
33．（2023·天津武清·校考模拟预测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与的正半轴交于点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）点是线段上一点，过点作轴的平行线，与交于点，与抛物线交于点，连接，探究：是否存在点，使得?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点在二次函数图象上，且以为圆心的圆与直线相切与点且，请求出点的坐标．