江苏省2024届中考数学易错模拟卷（二）

这是一份江苏省2024届中考数学易错模拟卷（二），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．2023年2月，中国旅游研究院发布的《中国旅游经济蓝皮书》预测，2023年我国国内旅游人数将达到45.5亿人次，同比增长约73%，恢复到2019年的；实现国内旅游收入约4万亿元，同比增长约89%，恢复到2019年的．将45.5亿用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
3．不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模型并描述它的特征．小乐：它有4个面是三角形；小欣：它有6条棱．则该几何体模型的形状可能是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
4．漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是李明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h值为（ ）
A．2.0B．2.4C．3.0D．3.6
5．在二次函数图像上的两点、，若，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（ ）
A．B．12C．D．
二、填空题
7．的立方根是 ．
8．2022年我国国内生产总值约为1210000亿元，将数字1210000用科学记数法表示为 ．
9．分解因式：= ．
10．请写出一个函数表达式，其图像经过原点，这个函数的表达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可）．
11．已知一个扇形的圆心角为，半径为3，将这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为 ．
12．命题“如果，那么”，则它的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
13．已知在正方形网格中的位置如图所示，点、、、均在格点上，有下列结论：①点在的角平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③点是的外心；④点是的重心．其中正确的有 ．（直接填写序号）
14．如图，在正方形中，，点、分别在边、上，沿翻折，使点的对应点恰好落在边的中点处，若点的对应点为，则线段的长为 ；若线段的垂直平分线分别交、于点、，则 .
三、解答题
15．计算或解方程：
(1)；
(2)．
16．设A＝．
(1)化简A；
(2)当a＝3时，记此时A的值为f（3）；当a＝4时，记此时A的值为f（4）；…解关于x的不等式：﹣≤f（3）＋f（4）＋…＋f（11），并将解集在数轴上表示出来．
17．已知：，，且，．
(1)求证：；
(2) （直接写出即可）．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上．
(1)的周长为______．
(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹）
19．小明在学校画室里作画，在一个密闭的口袋里装有四管没有标签的外观完全相同的颜料，只知道这四管颜料中有1管是红色颜料，1管是白色颜料，2管是蓝色颜料．
(1)小明从口袋中随机摸出1管颜料，恰好是红色的概率为______；
(2)小明随机一次从口袋中摸出两管颜料，试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求两次摸到颜料的颜色能配成紫色的概率；（红色和蓝色在一起可配成紫色）
(3)在口袋里再放入一管完全相同的白色颜料，先摸出一管颜料放回，摇匀后在随机摸出一管颜料，那么两次摸到的颜料的颜色能配成紫色的概率是______．
20．如图，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点固定在窗户底边上，且与转轴底端之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点在窗框边上的滑槽上移动，滑槽的长度为17cm，、、构成一个三角形．当窗钩端点与点之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角的度数为．求窗钩的长度（精确到1cm）．（参考数据：，，）
21．如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，．
(1)求k的值：
(2)点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长．
22．如图，内接于，平分交于，过点作分别交、延长线于、，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若、的长是关于的方程的两实根，且，求的半径．
23．问题提出
（1）如图1，在中，点D在BC上，连接AD，，则与的面积之比为______；
问题探究
（2）如图2，在矩形ABCD中，，，点P为矩形内一动点，在点P运动的过程中始终有，求面积的最大值；（结果保留根号）
问题解决
（3）如图3，某市欲规划一块形如平行四边形ABCD的休闲旅游观光区，点A为观光区的入口，并满足，要求在边BC上确定一点E为观光区的南门，为了方便市民游览，修建一条观光通道AE（观光通道的宽度不计），且，米，为了容纳尽可能多的游客，要求平行四边形ABCD的面积最大，请问是否存在满足上述条件的面积最大的平行四边形ABCD？若存在，求出平行四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
24．【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．
设窗子的边框、分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为cm．
【初步探究】
（1）若（即点E到的距离为4）．
①与之间的距离为1m，求此时的面积；
②与之间的距离为xm，试将通风口的面积表示成关于x的函数；
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【拓展提升】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 （用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）
t（min）
…
2
3
5
6
…
h（cm）
…
2.0
2.4
3.0
3.6
…
参考答案：
1．D
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方计算法则及同底数幂除法计算法则分别计算判断．
【详解】解：A、，故该项不符合题意；
B、，故该项不符合题意；
C、，故该项不符合题意；
D、，故该项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了整式的计算，正确掌握合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方计算法则及同底数幂除法计算法则是解题的关键．
2．C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：45.5亿，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．
3．A
【分析】根据几何体有4个面是三角形，有6条棱，进行判断即可．
【详解】解：∵几何体有4个面是三角形，
∴几何体不能是棱柱（棱柱侧面均为四边形，只有三棱柱上下底面是三角形）；
又∵几何体有6条棱，
∴选项中只有A选项符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查几何体的判断．熟练掌握常见几何体的特征，是解题的关键．
4．C
【分析】不妨设过点和点的函数解析式为，然后求出函数解析式，再将和代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题．
【详解】设过点和点的函数解析式为，
则，
解得，
即，
当时，，
当时，，
由上可得，点不在该函数图象上，与题目中有一个的值记录错误相符合，
故选：．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
5．B
【分析】将、代入二次函数求解即可．
【详解】将、代入二次函数，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式．
6．D
【分析】如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、，根据菱形及等边三角形得性质可得，，可得出，可得必经过点，根据，可得点在以为直径的圆上，根据、的速度及菱形性质可得当点达到点时，点达到点，，可得点点运动路径长是的长，利用勾股定理可求出的长，根据圆周角定理可得，利用弧长公式即可得答案．
【详解】如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、，
∵菱形的边长为，，
∴，是等边三角形，
∵点为边的中点，
∴，，，
∵点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴必经过点，
∵，，
∴点在以为直径的圆上，且、、、四点共圆，
∵当点达到点时，点达到点，，
∴点点运动路径长是的长，
∵，，
∴，
∴，即点点运动路径长是．
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧长公式，正确得出点的运动轨迹是解题关键．
7．-2
【分析】根据立方根的定义进行求解即可得．
【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
8．
【分析】首先思考科学记数法的形式，再确定a和n的值，即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法表示较大数字，其形式为，其中，n为正整数．
9．x（x+2）（x﹣2）
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
=
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键．
10．（答案不唯一）
【分析】根据函数的性质，函数图象过点，写出一个符合题意的函数表达式即可．
【详解】解：函数图象过点，
函数表达式可以是：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了函数的图象及性质，掌握函数不同表示方式之间的联系是本题的关键．
11．/
【分析】由已知得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径．
【详解】解：∵扇形的弧长，
∴圆锥的底面半径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，熟练掌握其公式是解决此题的关键．
12．假
【分析】先写出该命题的逆命题，再进行真假判断即可得到答案．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题为：“如果，那么”，
由于如果，那么，
故此命题为假命题，
故答案为：假．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，先写出该命题的逆命题是解题的关键．
13．①②④
【分析】①取的中点，连接，根据勾股定理解得的长，再证明，由全等三角形对应角相等解得，据此解题即可；②根据中线的性质，即可解题；③根据题意可得，从而得到点P不在的垂直平分线上，即可；④由三角形的重心定义结合中线的性质解题即可．
【详解】解：①取的中点，连接，则点A，P，E三点共线，点B，P，F三点共线，
由图可知，，
，
∵分别是的中点，
又，
，
，
平分
点在的角平分线上，故①正确；
②∵是的中点，点B，P，F三点共线，
∴是的中线，
即直线把分成面积相等的两个部分，故②正确；
③∵，
∴，
∴点P不在的垂直平分线上，
∴点P不是三边垂直平分线的交点，
∴点不是的外心，故③错误；
④分别是的中点，
分别是的中线，
点P是的重心，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查网格与勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的外心，重心等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14． 5
【分析】先根据正方形性质和中点定义求出的长，再由折叠性质得到，设，根据勾股定理列方程即可求出的长；过点作于，连接，通过勾股定理列出方程求出的长，从而求得的长， 再根据垂直平分线的性质得出，，，从而再根据勾股定理列方程求出求出的长，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
由折叠性质可知，
设，则，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴；
如图，过点作于，连接，
易知，，
由折叠性质可知，，，
设，则，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，，
设，则，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
故答案为：5；．
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，熟练运用折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，并能够正确的作出辅助线是解题的关键，难度校大．
15．(1)0
(2)
【分析】（1）分别计算算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数，负指数幂，再合并；
（2）观察方程可得最简公分母是：，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程，再求解，最后检验．
【详解】（1）解：
；
（2），
方程两边同乘以，
得，
解得，
经检验：是原方程的解．
【点睛】本题考查了实数的混合运算和解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根；（3）去分母时要注意符号的变化．
16．(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据分式的除法和减法可以解答本题；
（2）根据（1）中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解集．
【详解】（1）A＝÷（a﹣）
＝
＝
＝
＝
＝；
（2）
即a＝3时，f（3）＝，
a＝4时，f（4）＝，
a＝5时，f（5）＝，
…
∴-f（3）＋f（4）＋…＋f（11），
即-＋＋…＋
∴-＋…＋，
∴-≤，
∴-，
解得，，
∴原不等式的解集是，在数轴上表示如下所示，
【点睛】本题考查了分式的化简，求解一元一次不等式的解集以及在数轴上表示不等式的解集等知识，正确对分式化简是解答本题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角的和差及全等三角形的判定定理，即可证得，即可证得结论；
（2）首先根据全等三角形的性质，即可证得，再根据直角三角形的性质，即可求得
【详解】（1）证明：，，
，
，即，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图：
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
18．(1)12
(2)见解析
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定定理作图即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得：，
则的周长，
故答案为：12；
（2）延长至，使，连接，取的中点，连接交于点，
则点即为所求．
【点睛】本题考查的是勾股定理、切线的判定定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）画出树状图，共有12个等可能的结果，两次摸到颜料的颜色能配成紫色的结果有4个，再由概率公式求解即可；
（3）画出树状图，共有25个等可能的结果，两次摸到颜料的颜色能配成紫色的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：小明从口袋中随机摸出1管颜料，恰好是红色的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两次摸到颜料的颜色能配成紫色的结果有4个，
两次摸到颜料的颜色能配成紫色的概率为；
（3）画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两次摸到颜料的颜色能配成紫色的结果有4个，
两次摸到颜料的颜色能配成紫色的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20．窗钩的长度约等于15cm．
【分析】由锐角三角函数可求出OH与AH，然后利用BH=OH-OB与勾股定理即可求解．
【详解】解： 过点作，垂足为点．
根据题意，可知，，．
在中，∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，．
答：窗钩的长度约等于15cm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，添加恰当辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
21．(1)8
(2)
【分析】（1）利用正切函数的定义可求出OB的长度，进而根据反比例函数中k值的几何意义可求得k值．
（2）连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M，根据（1）中结论利用矩形的性质可求出OH，CH的长度，进而利用勾股定理可得OC长度．
【详解】（1）解：
根据k值的几何意义可知：
（2）解：如图所示，连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M．
四边形AMHB是矩形
设，则，
解得：（舍去）
则
【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，涉及到勾股定理、矩形的判定与性质、以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的k值的几何意义是解决本题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）欲证明是切线，只要证明即可；
（2）连接，根据等腰三角形的判定得到，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据题意得到，得到，由（1）知是的切线，由切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，设，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：证明：，
，
，
，
如图，连接，，交于，
，
则，，
在中，，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
由（1）知是的切线，，
，
，
∵四边形内接于，
∴，
，
，
，即，
；
（3）、的长是关于的方程的两实根，
，
由（2）得，
，
，
由（1）知是的切线，
，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
的半径．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键，属于中考压轴题．
23．（1）；（2）；（3）存在，平方米
【分析】（1）利用三角形的面积公式进行计算，从而可得答案；
（2）如图2，作的外接圆，连接OA、OB，过点O作于点H，延长HO交于点，当点P与重合时，的面积最大，再求解AB上的高，从而可得最大面积；
（3）连接AC，由平行四边形的性质可得：，证明，可得当面积最大时，面积最大．如图3，作的外接圆，连接OA、OE，过点O作于点H，延长HO交于点，则得当B与重合时，面积最大．再求解米，米，从而可得答案．
【详解】解：（1）中上的高与中上的高相等，

，
故答案为：
（2）如图2，作的外接圆，连接OA、OB，过点O作于点H，
延长HO交于点，
∵保持不变，
∴AB边上的高越大，则的面积越大，故当点P与重合时，的面积最大，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
连接AC，由平行四边形的性质可得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故当面积最大时，面积最大．
如图3，作的外接圆，连接OA、OE，过点O作于点H，
延长HO交于点，则得当B与重合时，面积最大．
则

，（米），
∴（米），（米），
∴（米），
∴（平方米），
∴（平方米）．
综上，存在满足条件的面积最大的平行四边形ABCD，平行四边形ABCD的最大面积为平方米．
【点睛】本题考查的是三角形面积的计算，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的外接圆，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的构建三角形的外接圆，再利用圆的性质解决问题是解本题的关键．
24．（1）①；②；③金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是；（2）①，；②见解析
【分析】（1）①直接利用面积公式进行计算即可；②过E作，垂足为F，分别与、相交于点G、H，当时，；当时，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，再证明，运用相似三角形性质即可得出结论．③根据②的结论进行分析计算即可；
（2）①在中有内接矩形，易证当为中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半；延长、交直线于F、G，则为的中位线时，矩形的面积最大；要想金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需与边平行的中位线在上方即可，作于S交于J，证明，利用相似三角形性质即可得到结论； ②按要求进行尺规作图即可．
【详解】解：（1）①由题意，得：
∵与之间的距离为，
∴；
②当时，，
当时，如图1，过E作，垂足为F，分别与、相交于点G、H，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
又、分别是、的对应高，
∴，即，
化简，得：．
∴；
综上可知，；
③当时，，
因此，当时，y最大，最大值是3．
当时，，
因此，当时，y最大，最大值是3．
综上所述，当时，y最大，最大值是3．
因此，金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是．
（2）①如图2，已知在中有内接矩形，其中M、N在、边上，P、Q在边上，过点作于点，交于点，则：，，
设，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
，
∴当时，矩形的面积最大，
此时：，即：，
∴当为三角形中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半，即：底高，
在图3中，延长、交直线于F、G，
则为的中位线时，矩形的面积最大，
∴当在上方时，即，此时通风口的面积最大，面积为的面积的一半．
作于S交于J，
∵，
∴，
∴，即
∴（m），
∴通风口的面积矩形面积的最大值面积的一半．
故答案为：； ．
②如图4，过点E作的垂线交于点F，作的垂直平分线交、于点M、N，线段即为所求．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质，最值问题，二次函数与几何问题，勾股定理等知识．综合性强，难度大，读懂题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．