专题24 以几何为背景的直角三角形的存在性问题-2024年中考数学重难点专项突破（全国通用）

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解题思路：
按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；
运用相似/全等、勾股定理等方法，计算出相应的边长．
【例题讲解】
1、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA = 4，OC = 2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）在点P从O向A运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求t的值．若
不能，请说明理由．
A
B
C
D
O
P
x
y
H
M
N
【答案】（1）D点坐标为；（2）t = 2或3．
【解析】解：（1）取CP中点M，作MN⊥OP于N，作DH⊥PA于H．
可得，．
∵，，P点坐标为，
∴D点坐标为；
（2）当时，，
∴．即，解得：或（舍）．
当时，，∴，即，∴PA = 1，∴t = 3
故当是直角三角形时，或3．
【总结】本题一方面考查三角形的旋转问题，另一方面考查相似三角形的性质的运用，注意利用旋转的性质进行求解．
2、如图，在中，CA = CB，AB = 8，．点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，联结CE、DE．
（1）求底边AB上的高；
（2）设CE与AB交于点F，当为直角三角形时，求AD的长；
（3）联结AE，当是直角三角形时，求AD的长．
A
B
C
D
E
H
【答案】（1）3；（2）AD的长为或；（3）的长为1．
【解析】解：（1）过C作CH⊥AB于H．
∵AC = BC，AB = 8，∴AH = BH = 4．
又∵，∴AC = BC = 5，CH = 3；
（2）分情况讨论：
①当时，F与H重合，∴EH = 2．
∵，∴．
∴；
②当时，作DM⊥AC于M，设CM = x，
∵，∴．
∴，∴，解得：．
∴；
综上：当为直角三角形时，AD的长为或；
（3）∵AD = DE，∴为直角三角形时，AD、DE只可能是直角边．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及判定直角三角形的存在性，解题时根据题意认真分析，注意进行分类讨论．
3、如图，已知为等边三角形，AB = 6，点P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上．
（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y与x的函数关系式及定义域；
（2）当BP = 2时，求CF的长；
（3）是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．
A
B
C
D
E
F
G
P
【答案】（1）（）； （2）；
（3）BP的长为或者为．
【解析】（1）∵为等边三角形，
∴，；
∵，，∴；
又∵四边形DEFG是正方形，
∴，，
∴；∴，
∴（）；
（2）当BP = 2时，，；
（3）能成为直角三角形．
eq \\ac(○,1)时，如图；
，，
解得：．
A
B
C
D
E
F
G
P
A
B
C
D
E
F
G
P
eq \\ac(○,2)时，如图；
则，，
解得：．
∴当为直角三角形，
BP的长为或者为．
【总结】本题综合性较强，主要考查动点背景下的正方形与直角三角形的存在性，注意对相关性质的准确运用．
4、如图，在中，，AC = 4 cm，BC = 5 cm，点D在BC上，并且
CD = 3 cm．现有两个动点P、Q分别从点A、B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE // BC交AD于点E，联结EQ．设动点运动时间为x（s）．
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当x为何值时，为直角三角形．
A
B
C
D
E
P
Q
【答案】（1），；
（2）当x为2.5 s或3.1 s时，为直角三角形．
A
B
C
D
E
P
Q
A
B
C
D
E
P
Q
【解析】（1）在中，AC = 4，CD = 3，则AD = 5．
∵EP // DC，
∴∽，
∴，即，
∴，；
（2）分两种情况讨论：
eq \\ac(○,1)当时，如图；
易得，又∵EQ // AC，
∴∽，
∴，即，
解得：x = 2.5；
eq \\ac(○,2)当时，如图；
∵，，
∴∽，
∴，即，
解得：x = 3.1；
综上所述：当x为2.5 s或3.1 s时，为直角三角形．
【总结】本题主要考查动点背景下的相似三角形的综合运用，注意得到相应的线段比，从而求出相应的线段长，第（2）问中的直角三角形注意进行两种情况的分类讨论．