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【讲通练透】重难点突破03 三角形中的范围与最值问题（十七大题型）-2024年高考数学重难点突破精讲
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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破03 三角形中的范围与最值问题
目录
1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
（1）求角的最值；
（2）求边和周长的最值及范围；
（3）求面积的最值和范围．
题型一：周长问题
例1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若为锐角三角形，，求周长范围．
【解析】（1）在中，由射影定理得，
则题述条件化简为，
由余弦定理得．
可得
所以.
（2）在中，
由正弦定理得，
则周长，
因为，则，
因为为锐角三角形，，
则得，
故．
例2．（2023·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，，，
（1）求角A；
（2）求△ABC的周长l的范围.
【解析】（1）∵，
，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
，所以.
（2），
所以,所以，，
所以
因为△ABC是锐角三角形，且，所以，解得，
所以，所以，
所以.
例3．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围．
【解析】（1）选①，由可得，
，则，可得，；
选②，由可得，
即，即，
，则，故，；
选③，由及正弦定理可得，
、，则，所以，，
故，
，，因此，.
（2）由正弦定理可得，则，，
，
因为为锐角三角形，则，可得，
所以，，则，
故.
变式1．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围.
【解析】（1）由正弦定理得：，
，，
，
，，，.
（2）由正弦定理：，则，，
，，
周长为
，
又锐角，，结合
，，，，即周长的范围是.
变式2．（2023·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．
(1)求角A的大小；
(2)求周长的范围．
【解析】（1）由余弦定理，即，
所以，因为，所以．
（2）由正弦定理：，则，，
由（1），故
因为，则，
所以，即周长范围是．
题型二：面积问题
例4．（2023·全国·模拟预测）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，．
(1)求角A的值；
(2)若，求面积的范围．
【解析】(1)∵，，，
∴
．
又，∴．又为锐角三角形，
∴或 ∴或（舍去），∴．
(2)由正弦定理知，
又∵，，∴，
∴．
故得到：，∴，
∴面积的范围为
例5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形内种植了两种花卉，其中区域内种植兰花，区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量可知边界，， ．
（1）求观赏小道BD的长及种植区域的面积；
（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域（四边形）的面积最大，并求出这个面积的最大值．
【解析】（1）设，则由余弦定理得，
．
由四边形是圆内接四边形得，
故，即，
解得（负值舍去），即．
从而，所以，，
故．
答：观赏小道BD的长为，种植区域的面积为．
（2）由（1）及“同弧所对的圆周角相等”得．
设，，
则．
在中，由余弦定理有
，
故（当且仅当时等号成立）．
而，
因此，种植区域改造后的新区域的面积的最大值为．
答：当为等边三角形时，新区域的面积最大，最大值为．
例6．（2023·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：，且______，求△ABC的面积的值（或最大值）．
【解析】∵，
∴，
∵，∴，
选择条件①：当a＝2时，根据余弦定理，，∴，
∵，
∴（当且仅当b＝c时取等），
∴；
选择条件②：当a＝b＝2时，∵，
∴，∴；
选择条件③：当b＝c＝2，．
变式3．（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中，，．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖，其中，都在边上（，均不与重合，在，之间），且．
(1)若在距离点处，求点，之间的距离；
(2)设，
①求出的面积关于的表达式；
②为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小，试确定的值，使得面积最小，并求出这个最小面积．
【解析】（1）∵，，，，∴，，
∴由余弦定理，，，
∴．
在中．
（2）①∵，∴，
在中，，
在中，，
∴，
又中边上的高为，
∴，．
②当，时，最小且．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）在中，．
（1）D为线段上一点，且，求长度；
（2）若为锐角三角形，求面积的范围．
【解析】（1）在中，依题意得：，
则有，于是得，而，则，
又，则，
在中，从而得等边，即，，
在中由余弦定理得，解得；
（2）在中，，设，由正弦定理得：
，
于是得，
因是锐角三角形，则，且，
于是有，则，即，，
从而得，
所以面积的取值范围是．
变式5．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）若，，求的大小；
（2）若，且是钝角，求面积的大小范围.
【解析】（1）在中，，由正弦定理得.
∵，∴，∴，
∴.
又∵，∴.
在中，由余弦定理得，即，
解得（舍去），.
∴.
（2）由（1）知，
∴.
由正弦定理，得，∴.
∵，为钝角，∴，
∴，∴，
∴.
即面积的大小范围是.
题型三：长度问题
例7．（2023·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知锐角内角的对边分别为.若.
(1)求；
(2)若，求的范围.
【解析】（1）由正弦定理，
又，得；
（2）因为，
所以，
，因为三角形为锐角三角形，
所以，解得，
令，所以，
所以.
例8．（2023·福建莆田·高三校考期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，
(1)求角B﹔
(2)求的范围．
【解析】（1），又，所以，因为，所以.
（2）在中，由（1）及，得，
故，
，
因为，则，
﹒
所以的范围为.
例9．（2023·重庆江北·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围.
【解析】（1）
，即，
，
，
.
（2）根据题意，由正弦定理得，则，
仅有一解，
或，即或，
或，
当时，，所以，所以；
当时，由正弦定理得，
，
，
，
，
，即，
综上，.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；，．
（I）求角A的值；
（Ⅱ）求的范围．
【解析】（I）由，
利用正弦定理可得，即
故，
又，
（Ⅱ），，利用正弦定理
故，
在中，，故
，，
所以的范围是
变式7．（2023·全国·高三专题练习）在中，分别是角的对边.
（1）求角的值；
（2）若，且为锐角三角形，求的范围.
【解析】（1）由题意知，∴，
由余弦定理可知，，
又∵，∴.
（2）由正弦定理可知，，
即，
∴
，
又∵为锐角三角形，∴，则即，
所以， 即，
综上的取值范围为.
变式8．（2023·山西运城·统考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，，求的范围.
【解析】（1）由两角差的正弦公式，可得，
又由正弦定理和余弦定理，可得
，
所以
（2）由（1）知
因为是锐角三角形，所以，可得，
又由，可得，所以，所以，
所以，可得，符合.
所以实数的取值范围是.
变式9．（2023·安徽亳州·高三统考期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）设为的垂心，且，求的范围.
【解析】（1）由，结合正弦定理得
，
整理得，
又为锐角，故.
（2）由是锐角三角形，则垂心必在内部，
不妨设，则.
由为的垂心，则.
在中使用正弦定理得，
，整理得：.
同理在中使用正弦定理得，.
，
结合
可得.
题型四：转化为角范围问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）因为，
所以，即.
因为，所以.
因为，所以.
（2）由（1）知
.
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即的取值范围是.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，且．
(1)判断的形状并给出证明；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）为等腰三角形或直角三角形，证明如下：
由及正弦定理得，，
即，
即，
整理得，所以，
故或，
又、、为的内角，所以或，
因此为等腰三角形或直角三角形．
（2）由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，
且，故，且，
所以，
因为，故，
得，所以，
因此的取值范围为．
例12．（2023·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）设的内角的对边分别为，已知．
(1)判断的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；
(2)求的最小值．
【解析】（1）是钝角三角形.
由题意可知，，得，
所以,于是有，得或，即或，
又，，
所以是钝角三角形.
（2）由（1）知，,,有，
所以
当且仅当，即（为锐角），等号成立，
所以的最小值为
变式10．（2023·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且；
(1)若，判断的形状并说明理由；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
【解析】（1）是等边三角形.理由如下：
在中，由得：，
由余弦定理得，即，
由正弦定理及，得，即，
而及，则或，
当时，即，有，此时，所以是等边三角形；
当，即时，，有，与矛盾，
所以是等边三角形.
（2）由（1）知，，由余弦定理得，为锐角，
而是锐角三角形，则，得，
，得，因此，
，令，则，
对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当或时，，于是，
因此，即有，
所以的取值范围是.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.
(1)若，求角A的大小；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）由正弦定理得：，
∵，∴或，
当时，此时，所以舍去，所以.
（2）
（或者用积化和差公式一步得到）
∵，∴，所以A为锐角，又，
所以，所以，
所以，
所以.
变式12．（2023·江西吉安·高二江西省峡江中学校考开学考试）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是，．
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围．
【解析】（1）∵，
结合余弦定理，可得，
∴，∴
又∵，∴；
（2）由（1）得，∴，
∴
，
∵是锐角三角形，∴，解得，
∴，，
∴.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，∴，
∴，∴
，∴，∴或（不符合题意舍去），
∴，
∴
，
设，
∵是锐角三角形，∴，∴，
∴，
∴，
令，则，
∴函数在上单调递增，
故，
∴.
故选：C．
题型五： 倍角问题
例13．（2023·浙江绍兴·高一诸暨中学校考期中）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若的三边边长为连续的正整数，求的面积．
【解析】(1)因为为锐角三角形，所以.
由正弦定理有，
又在中，所以有,
所以，
因此有，
化简整理得，
所以,
即.
(2)因为为锐角三角形，所以，即，
又，得，因此，得，
所以.
由（1）有，
若时，，
又因为，
所以.
(3)设的三边分别为.
当时，由，
所以有，解得，
因此三边分别为，所以，
所以，所以；
当时，同理有，解得，此时不能构成三角形，故不满足题意；
当时，同理有，化简得，此时无整数解，故不满足题意.
综上可知：.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，．若，且为锐角，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，即，．
为锐角，则
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为．
故选：A
例15．（2023·全国·高三专题练习）锐角的角所对的边为，，则的范围是_________．
【答案】
【解析】∵为锐角三角形， ，∴，∴ ，∴，即 ，由正弦定理得：，所以 的取值范围为）.所以答案应填： ．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为5，若，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】在中，，，
，
，即，
由余弦定理可得，，
故，
由正弦定理可得，，化简整理可得，，
故或（舍去），
则，
为锐角三角形，
，解得，
故，
故答案为：
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由于，作，则，
因为，，可得，
所以，
令，可得，
所以，
令，可得，
由，可得在单调递减，在上单调递增，
所以，
综上．
故答案为：．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，，的对边长分别是，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在锐角中,，,
而，，所以，
所以由正弦定理可知:,
故选：B.
变式17．（2023·福建三明·高一三明市第二中学校考阶段练习）在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在锐角中，，因为，，,
所以，，解得，
所以，，而，
，
所以，
所以由正弦定理可知：
，
因为，所以，所以，
即.
故选：A.
变式18．（2023·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，若A＝2B，则的最小值为（ ）
A．－1B．C．3D．
【答案】C
【解析】因为A＝2B，,所以由正弦定理，得
，
因为A＝2B，所以，
所以 ，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
题型六： 角平分线问题
例16．（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
则，
可得，
整理得
注意到，且，则，，且，
可得或
解得或（舍去），
故.
（2）若的平分线交于点，则，
因为，
则，
即，整理得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值.
例17．（2023·江苏淮安·高一统考期中）如图，中，，的平分线AD交BC于．
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求AD的取值范围．
【解析】（1）设A，B，C的对边分别是a，b，c,
因为AD是的平分线，所以到AB，AC的距离相等，
又，所以，所以．
由题意，．
中，①,
中， ②
联立①②得．又，则．
所以．
（2）因为，，．
所以
所以．
所以．
因为，所以．
所以．
例18．（2023·浙江杭州·高一校联考期中）在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， ．
(1)求角C的值；
(2)若角C的平分线交于点D，且，求的最小值．
【解析】（1）选择条件①：∵，
∴由正弦定理得，
∵，∴，
∴，∴，即，
∴，∵，∴，∴；
选择条件②：∵，∴，
∴，∴．
∵，∴；
选择条件③：
∵，∴，
∵，∴，
由正弦定理得，即，
∴，∵，∴．
（2）角C的平分线交AB于点D，在中，，
在中，，在中，∵，
∴，∴，∴，
∴．
当且仅当，时等号成立，
∴的最小值为．
变式19．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且，角A的平分线与边交于点.
(1)求角A；
(2)若，求的最小值.
【解析】（1）由正弦定理化简可得：
，
∴，
即，
由∴
又∵，∴，∴，
又，∴.
（2）
根据角A的平分线与边交于点，所以，
，即，
所以，即.
当且仅当时，即时，等号成立.
所以的小值为18.
变式20．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
【解析】（1）由题意得，即．
所以，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
所以，故，
故，整理得．
又为锐角三角形，则，，，
所以，因此．
（2）在中，由正弦定理得，所以．
所以．因为为锐角三角形，且，
所以，解得．
故，所以．因此线段长度的取值范围.
变式21．（2023·全国·高一专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理得：，
因为，所以，
所以，即，
所以，故．
（2）
由（1）知，，有，
而与的平分线交于点，即有，于是，
设，则，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以的周长为
，由，得，
则当，即时，的周长取得最大值，
所以周长的最大值为．
变式22．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点.
(1)当为边中点时，若，求的长度；
(2)当为的平分线时，若，求的最大值.
【解析】（1）因为，
所以，即.
由正弦定理，得.
因为，所以.
因为，所以.
又因为，所以，所以.
因为为边中点，所以，则.
又，
所以，即，即，
所以.
（2）在中，由余弦定理，得.
又，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以.
因为平分，
所以，
所以，
所以.
令，则.
因为在上单调递增，
所以当即时，取得最大值为，
所以的最大值为.
题型七： 中线问题
例19．（2023·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中）在锐角中，角的对边分别是，，，若
(1)求角的大小；
(2)若，求中线长的范围（点是边中点）.
【解析】（1）因为，由正弦定理可得：
即，所以，
因为，所以，所以，因为，所以.
（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，
因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得:
，
所以，
因为，又，，
所以,
又因为为锐角三角形， 所以，，得到，
所以，由的图像与性质知，，
所以，所以，得到
故.
例20．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求边中线的取值范围．
【解析】（1）由已知可得，
由余弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，又，
所以．
（2）因为M为的中点，所以，
则，
即．
因为，所以．
所以，
所以．
例21．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【解析】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因为，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
则，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由题意得，解得，则，
所以，所以，
所以，所以中线CD长的取值范围为．
变式23．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
(1)求角A的大小；
(2)若，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得：,
即，
,
因为，所以，
所以，
因为,所以.
（2）由（1）得，
则，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
因为点D是边BC中点，
所以,
两边平方可得：,
则，
所以，
中线AD长的最大值为.
变式24．（2023·广东广州·高二广州六中校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求边上的中线 长度的最小值．
【解析】（1）由得,
,
即.
（2）,
即
，当且仅当取等号．
题型八： 四心问题
例22．（2023·四川凉山·校联考一模）设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】因为重心、内心分别是，且，所以，（r为内切圆的半径），
又.且.
解得.
所以.
当且仅当时，即为等边三角形有最小值.
例23．（2023·全国·高三专题练习）在中，分别为内角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为的内心，求的最大值.
【解析】（1），
由正弦定理可得，，
即，
又，
，
，
又
.
（2）设，
为的内心，且，
，
，
在中，
由正弦定理得，，
，，
.
当且仅当，即为等边三角形时取等号，
故的最大值为2.
例24．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若为的垂心，，求面积的最大值.
【解析】（1）由题可得，
结合正弦定理可得，即，
∴，又，∴.
（2）设边，上的高分别为，则为与的交点，
则在四边形中，，
∵，∴，故，
在中，，，
则，即，
当且仅当时取等号.∴，故面积的最大值为.
变式25．（2023·江苏无锡·高一锡东高中校考期中）在中，分别是角的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且其面积为，点为重心，点为线段的中点，点在线段上，且，线段与线段相交于点，求的取值范围.
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，
又因为，则，
可得，即，所以.
（2）由题意可得，，
所以，
因为、、三点共线，故设，
同理、、三点共线，故设，
则，解得，
所以，
则，
因为，所以，
又因为为锐角三角形，
当为锐角，则，即，
即，所以；
当为锐角，则，即，
则，即，所以；
综上可得，
又因为，
则，
因为，则，
且在上单调递减，，
所以，即，
所以．
变式26．（2023·河北邢台·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且外接圆的半径为．
(1)求C的大小；
(2)若G是的重心，求面积的最大值．
【解析】(1)由正弦定理，得
因为，
所以，所以,因为,故．
(2)由（1）得，
所以，得，
当且仅当时，等号成立．
连接BG，并延长BG交AC于D，则D是AC的中点，且，
过G作于F，过B作于E，则，
所以．故面积的最大值为
变式27．（2023·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习）如图，记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A的角平分线交BC于点D，O为的重心，过O作，交AD于点P，过P作于点E.
(1)求的取值范围；
(2)若四边形BDPE与的面积之比为，求的取值范围.
【解析】(1)因为，且是锐角三角形，
所以，均为锐角，
所以
解得.
(2)如图，连接AO，延长AO交BC于点G.
因为О为的重心，
所以G为BC的中点，.
因为，所以，，
所以，所以.
设，，则.
因为，
，
，
所以由，得，即.
因为，
所以四边形的面积为：
，
.
由，得，
即，
所以.
变式28．（2023·浙江·高一路桥中学校联考期中）若O是的外心，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】如图所示：
设，， ，，
由，
得
化简得，由是的外心可知，
是三边中垂线交点，得，代入上式得
，所以，
根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，.
所以，
由柯西不等式可得：，
所以，所以，
所以，当且仅当“”时，等号成立.
所以的最大值为.
故选：C.
变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ）
A．6B．C．D．3
【答案】D
【解析】如图所示：设.
由题意可得，，化简可得，由是三角形的外心可得，是三边中垂线交点，
则，代入上式得，，即
依据题意，为外接圆半径，根据正弦定理可得，
代入得，则
结合不等式可得，的最大值为3
故选：D
题型九： 坐标法
例25．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，点在内部，，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】因为，，所以.
在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径），所以，解得：.
如图所示：设的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系.
设E为AC的中点，所以，.
所以点M的轨迹为：，可写出（为参数）.
因为点在内部，所以（其中满足，）.
所以
因为满足，，所以，
所以当时最小.
故答案为：2
例26．（2023·全国·高一专题练习）在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】以A为原点，AC所在直线为x轴，建系，如图所示，根据题意，可得A、B、C坐标，设，可得的坐标，根据数量积公式，可得的表达式，即可求得答案.以A为原点，AC所在直线为x轴，建立坐标系，如图所示：
因为，，，
所以，设，
则，
所以
=，
当时，有最小值，且为，
故答案为：
例27．（2023·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知B，C为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是___________.
【答案】
【解析】设的中点为，因为，
所以，化简得，
即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
所以
所以的取值范围是，
从而的取值范围是．
故答案为：．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）在中，，且所在平面内存在一点使得，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以的中点为坐标原点，建立直角坐标系，写出三点的坐标，利用两点间距离公式，以及圆与圆的位置关系，解不等式，得出的范围，再由三角形的面积公式以及二次函数的性质，即可得出面积的最大值.以的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系
设，，，则
设，由得
即，
即点既在为圆心，为半径的圆上，又在为圆心，1为半径的圆上
可得，由两边平方化简可得
则的面积为
由，可得，取得最大值，且为.
故选：B.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）在等边 中，为内一动点，，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，
以的BC边的中点O为原点，BC为x轴，过O点垂直于BC的直线为y轴，建立建立直角坐标系如图，
再将 延x轴翻折得 ，求得的外接圆的圆心为Q， ， M点的劣弧 上，
不妨设等边的边长为2，可得：，，，，
点所在圆的方程为：.
设参数方程为：，
，
，
其中 ，
即，解得，；
故选：C.
变式32．（2023·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：的几何意义为点到点的距离之和的最小值，
因为，，
，
所以，故三角形ABC为等腰直角三角形，，
取的中点，连接，与交于点，连接，故，，
因为，所以，故，则，
故点到三角形三个顶点距离之和最小，即取得最小值，
因为，所以，同理得：，，
，
故的最小值为.
故选：B
题型十： 隐圆问题
例28．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ ）
A．27B．16C．10D．25
【答案】A
【解析】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则,因为，，所以由平面几何知识得A点轨迹为圆弧（因为为平面四边形，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E,则由正弦定理可得圆半径为，
因此对角线的最大值为
故选：A
例29．（2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知中，，为的重心，且满足，则的面积的最大值为______.
【答案】/
【解析】以的中点为原点建立平面直角坐标系，，，
设，则，
当时要使，则在坐标原点，显然不成立，
当时要使，则，解得，显然不成立，
所以且，因为
所以，即
整理得，(且)
所以当点的纵坐标为时，的面积取得最大值为.
故答案为：
例30．（2023·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校考开学考试）已知等边的边长为2，点G是内的一点，且，点P在所在的平面内且满足，则的最大值为________.
【答案】
【解析】由，可知点G为的重心，以AB所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，表示出的坐标，设，由可知在以为圆心，为半径的圆上，根据点与圆上的点的距离最值求出的最大值.由，可知点G为的重心.
以AB所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，.
设，由可知P为圆上的动点，
所以的最大值为.
故答案为：
变式33．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____．
【答案】
【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.
则，，
设，则，，
因为
所以，即：
整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为2的圆上.
在轴上取，连接
可得，所以，所以
由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.
此时最小为.
故答案为．
变式34．（2023·全国·高三专题练习）若满足条件，，则面积的最大值为__.
【答案】
【解析】如图，以的中点为原点，为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，设，由，
得，
化简可得,
则点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
且去掉点，和，；
所以的面积的最大值为，
故答案为：.
变式35．（2023·江苏·高三专题练习）在中，为定长，，若的面积的最大值为，则边的长为____________．
【答案】
【解析】设，以为原点，为轴建系，则，，设，，
，利用求向量模的公式，可得，根据三角形面积公式进一步求出的值即为所求.设，以为原点，为轴建系，则，，设，，
则，
即，
由，可得.
则.
故答案为：.
变式36．（2023·全国·高三专题练习）中，所在平面内存在点P使得，，则的面积最大值为__________________．
【答案】
【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，则，
设，由，，可得，
即，
即点P既在以为圆心，半径为的圆上，也在为圆心，为半径的圆上，
可得，
由两边平方化简可得，
则的面积为，
由，可得．
故答案为：.
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】设，以所在直线为轴、其中垂线所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示），则，设，由，得，即，
则，
则，
即，
解得，即，
即面积的最大值为.
题型十一：两边夹问题
例31．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，且的周长为12．
(1)求证：为直角三角形；
(2)求面积的最大值．
【解析】（1）在中有，，
又，
则，
可得，
可得①，
又，，是三角形内角，
若，则，此时①式不成立；
若，则，此时①式不成立；
所以，则，则，
所以是直角三角形．
（2）设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，则直角三角形的面积，
又，则，
所以，
即，即，
所以，当且仅当时，取最大值，且最大值为．
例32．（2023·全国·高三专题练习）设的内角的对边长成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】 ，
，①
又成等比数列，，
由正弦定理可得，②
①-②得
，
，解得，
由，
得，
，为正三角形，
设正三角形边长为，
则，
，时等号成立．
即面积的最大值为，故答案为.
例33．（2023·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C的对边为，b，c．已知，b，c依次成等比数列，且，延长边BC到D，若，则面积的最大值为______．
【答案】
【解析】∵，
，
∴，①
∵a，b，c依次成等比数列，
∴，
由正弦定理可得，②
①-②可得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，即
∴为正三角形，设边长a，
当且仅当即时取等号
故答案为
题型十二：与正切有关的最值问题
例34．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为，由余弦定理得，所以，
，
由正弦定理得，所以，
因为为锐角三角形，所以，，，
由，得，，
，
，所以．
故答案为：．
例35．（2023·全国·高一阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A角的值；
(2)若为锐角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
因为，∵，
∴，∵，∴，∴，
因为，∴，∴.
（2）由正弦定理，
，
∵为锐角三角形，∴，即，，
∴}
∴的取值范围是.
例36．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：
(1)；
(2)的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以,
因为，
，
因为.
（2）由正弦定理，
，
因为，所以，所以，
所以，所以的取值范围是.
变式38．（2023·全国·高三专题练习）锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，
得，
由余弦定理，可得，
又由正弦定理，可得，
所以，
得，又，
所以，所以.
又，
所以，所以.
又，且，故，
所以.
又，所以，得，
所以，
故选：C.
变式39．（2023·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】△ABC中，，
由，得，∴；
即，∵，∴，
∴，∴ ，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，∴,∴，
∴，
∴,
∴，
故选：D．
变式40．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴所以
因此
设，∵是锐角三角形，∴，∴
∴，在上单调递增，
∴，
故选：C
题型十三：最大角问题
例37．（2023·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（ ）
A．1B．－7C．1或－7D．2或－7
【答案】A
【解析】，则线段的中点坐标为，易知，
则经过两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，
设圆心为，则圆的方程为，
当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得），
则此时P的坐标为，
代入圆的方程得
，解得或，
即对应的切点分别为和，
因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
又过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，
所以，故点为所求，即点的横坐标为.
故选：A
例38．（2023·全国·高三专题练习）设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在中，由正弦定理及得：，
即，整理得：，
即，因，则，否则为钝角，也为钝角，矛盾，
，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.
故选：D
例39．（2023·江西上饶·高三上饶中学校考期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，当tan(A－B)取最大值时，角C的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得，化简得.，当且仅当时等号成立，由于故为锐角，故，所以.故选A.
变式41．（2023·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶离地面12米，树上另一点离地面8米，若在离地面2米的处看此树，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，过点作，交于点，则．
设，在中，．
在中，，
所以，
当且仅当，即时取等号．
故选：C.
变式42．（2023·江苏扬州·高一统考期中）如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（ ）米时，看A、的视角最大.
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，则，设，
则，
则
又，且余弦函数在单调递减，
则当，即时最大.
即该人离此树6米时，看A、的视角最大.
故选：C
题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题
例40．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）内一点O，满足，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如，请你和他一起解决如下问题：
(1)若a，b，c分别是A，B，C的对边，，证明：；
(2)在（1）的条件下，若的周长为4，试把表示为a的函数，并求的取值范围．
【解析】（1）设，
在和中，由正弦定理得
又，，
，
，又，
，即．
（2）
，即，
又成等比数列，设（公比）（），
，解得：，又，得，
由且，则，故在上递增，
所以在上为减函数，易知，
例41．（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在中，已知，，，且点在线段上，且满足，若点为的费马点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，
由余弦定理可得，
由正弦定理，即，所以，
显然为锐角，所以，
设，则，即，
解得，即，
所以，
所以，
又，即为锐角，
所以的三个内角均小于，则为三角形的正等角中心，
所以
，
所以，
因为
.
故选：C
例42．（2023·全国·高三专题练习）点在所在平面内一点，当取到最小值时，则称该点为的“费马点”.当的三个内角均小于时，费马点满足如下特征：.如图，在中，，，则其费马点到三点的距离之和为（ ）
A．4B．2
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，为等腰三角形，
，，
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得：，
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得：，
，其费马点到，，三点距离之和为4．
故选：A
变式43．（2023·湖南邵阳·统考三模）拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC中，已知，且，，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的边长为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【解析】如图，连接，由题设，
因为以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，
所以，，故.
故选：B.
变式44．（2023·河南·高一校联考期末）几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在中，已知，，外接圆的半径为，现以其三边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】C
【解析】中，，故，，
故，，，
外接圆圆心为对应等边三角形的中心，如图所示，连接，，
则，故，
，，故，
，，则，
根据对称性知：，故为等边三角形，
其面积.
故选：C.
题型十五：托勒密定理及旋转相似
例43．（2023·江苏淮安·高一校联考期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．16C．D．12
【答案】C
【解析】设，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因为，，
因此，
.
故选：C.
例44．（2023·全国·高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因为，，
因此，
.
故选：C.
例45．（2023·全国·高三专题练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】连接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因为四边形ABCD内接于半径为的圆，
它的对角互补，所以，
所以,所以，
所以四边形ABCD的周长为．
故选：A．
变式45．（2023·江苏·高一专题练习）凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，，，，，当变化时，对角线BD的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，，，
在△ABC中，由余弦定理，得，
由正弦定理，得，∴.
∵，，，
在△BCD中，由余弦定理，得,
∴
，
当，即时，取得最大值，为，
即BD的最大值为.
故选：C.
变式46．（2023·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）在中，，，以为边作等腰直角三角形(为直角顶点，，两点在直线的两侧).当角变化时，线段长度的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．9
【答案】A
【解析】中，，，，
在中，由正弦定理得：，
，
在中，
，
当时最大为9，故最大值为3，
故选：A
变式47．（2023·全国·高一专题练习）在中，，，以为边作等腰直角三角形（ 为直角顶点， 、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】方法一：如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
， ，
在中，，，
， ，
，
在中， ，
当点 在 上时，即、、三点共线，此时有的最大值，
的最大值为： ，
，
的最大值为： .
故选：C.
方法二：如图，设 ， ，
在 中，由余弦定理可知： ，
在中，由余弦定理可知： ，
由同角关系可得： ，
，
令 ，
则
，
当时等号成立.
的最大值为： .
故选：C.
变式48．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD为正三角形，则BCD面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在ABC中，设， ，
由余弦定理得：，
∵ACD为正三角形，
∴，
，
，
在ABC中，由正弦定理：，
∴，
∴，
∴，
，
∵，∴为锐角，，
∴，
，
当时，．
题型十六：三角形中的平方问题
例46．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，两式平方相加得，而，两式结合有，再用基本不等式求解.因为a2+b2+2c2＝8，
所以，
由余弦定理得，
即①
由正弦定理得，
即②
由①，②平方相加得，
所以，
即，所以，
当且仅当且即时，取等号.
故选：B
例47．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由得： ，
故 ，
当且仅当 时取等号，
由于 ,故 ，
则 ，则 ，
故答案为：
例48．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是，其中a，b，c是的内角A，B，C的对边，若，且，则面积S的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，得，
所以
，当且仅当，时，等号成立.
故选：B
变式49．（2023·河南洛阳·高三校考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由余弦定理知，
因为且，可得，即，
又由，可得，
因为，所以，解得，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为，
所以的面积的最大值为．
故选：B.
变式50．（2023·云南·统考一模）已知的三个内角分别为、、.若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，
由余弦定理得，，
所以
，当且仅当时等号成立.
即为锐角，，，
，
所以的最大值为.
故选：B
变式51．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设的内角，，所对的边，，满足，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
设（），由得，
由得，两边除以得，解得（因为），
由得，两边同除以得，解得，
由得，两边除以得，此不等式恒成立，
综上．
故选：A．
变式52．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形 ABC 中，已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正弦定理，得：，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，
因为，所以，
化简，得：，解得：，
，，
，
＝
＝＝，
当且仅当时取得最小值.
故选：C
题型十七：等面积法、张角定理
例49．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16B．C．64D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，
当且仅当取等号，
所以.
故选：B.
例50．（2023·湖北武汉·高一校联考期中）已知△ABC的面积为, ∠BAC=, AD是△ABC的角平分线, 则AD长度的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】中，∠BAC=, AD是角平分线得
，，
而
因此
得
而，
所以
故选D项.
例51．（2023·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期中）给定平面上四点满足，则面积的最大值为_______.
【答案】
【解析】，，，
，
，
设到的距离为，则由等面积可得，
，
面积的最大值为．
故答案为：．
变式53．（2023·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
设角A，B，C的对边分别为a，b，c.
因为，所以.
由已知可得，.
又，，
即，
整理得，
当且仅当时，等号成立.
故AM的最大值为.
故答案为：.
变式54．（2023·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且.若，则面积的最小值是______.
【答案】
【解析】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，当且仅当取等号，
所以，
即面积的最小值是.
故答案为：
变式55．（2023·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为________.
【答案】
【解析】因为，为的角平分线，
所以，又，
故由三角形面积公式可得，
，
，
又，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以面积的最小值为.
故答案为：.
变式56．（2023·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中）已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为___．
【答案】
【解析】因为，的角平分线交于点，且，
因为，即，
即，即，所以，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
变式57．（2023·全国·高一专题练习）已知，内角所对的边分别是，的角平分线交于点D．若，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
对用正弦定理，可得，设，，由于为三角形内角，则，由可得，，整理得，，对，由余弦定理，，即，故，即，于是，根据基本不等式，，即，结合，解得，即，于是.
故答案为：
变式58．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知，，为上一点，且为的角平分线，则的最小值为___________.
【答案】16
【解析】
为的角平分线，，
由等面积法，
所以，
所以（当且仅当时等号成立），即最小值为16.
故答案为：16
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破03 三角形中的范围与最值问题
目录
1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
（1）求角的最值；
（2）求边和周长的最值及范围；
（3）求面积的最值和范围．
题型一：周长问题
例1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若为锐角三角形，，求周长范围．
【解析】（1）在中，由射影定理得，
则题述条件化简为，
由余弦定理得．
可得
所以.
（2）在中，
由正弦定理得，
则周长，
因为，则，
因为为锐角三角形，，
则得，
故．
例2．（2023·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，，，
（1）求角A；
（2）求△ABC的周长l的范围.
【解析】（1）∵，
，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
，所以.
（2），
所以,所以，，
所以
因为△ABC是锐角三角形，且，所以，解得，
所以，所以，
所以.
例3．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围．
【解析】（1）选①，由可得，
，则，可得，；
选②，由可得，
即，即，
，则，故，；
选③，由及正弦定理可得，
、，则，所以，，
故，
，，因此，.
（2）由正弦定理可得，则，，
，
因为为锐角三角形，则，可得，
所以，，则，
故.
变式1．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围.
【解析】（1）由正弦定理得：，
，，
，
，，，.
（2）由正弦定理：，则，，
，，
周长为
，
又锐角，，结合
，，，，即周长的范围是.
变式2．（2023·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．
(1)求角A的大小；
(2)求周长的范围．
【解析】（1）由余弦定理，即，
所以，因为，所以．
（2）由正弦定理：，则，，
由（1），故
因为，则，
所以，即周长范围是．
题型二：面积问题
例4．（2023·全国·模拟预测）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，．
(1)求角A的值；
(2)若，求面积的范围．
【解析】(1)∵，，，
∴
．
又，∴．又为锐角三角形，
∴或 ∴或（舍去），∴．
(2)由正弦定理知，
又∵，，∴，
∴．
故得到：，∴，
∴面积的范围为
例5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形内种植了两种花卉，其中区域内种植兰花，区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量可知边界，， ．
（1）求观赏小道BD的长及种植区域的面积；
（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域（四边形）的面积最大，并求出这个面积的最大值．
【解析】（1）设，则由余弦定理得，
．
由四边形是圆内接四边形得，
故，即，
解得（负值舍去），即．
从而，所以，，
故．
答：观赏小道BD的长为，种植区域的面积为．
（2）由（1）及“同弧所对的圆周角相等”得．
设，，
则．
在中，由余弦定理有
，
故（当且仅当时等号成立）．
而，
因此，种植区域改造后的新区域的面积的最大值为．
答：当为等边三角形时，新区域的面积最大，最大值为．
例6．（2023·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：，且______，求△ABC的面积的值（或最大值）．
【解析】∵，
∴，
∵，∴，
选择条件①：当a＝2时，根据余弦定理，，∴，
∵，
∴（当且仅当b＝c时取等），
∴；
选择条件②：当a＝b＝2时，∵，
∴，∴；
选择条件③：当b＝c＝2，．
变式3．（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中，，．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖，其中，都在边上（，均不与重合，在，之间），且．
(1)若在距离点处，求点，之间的距离；
(2)设，
①求出的面积关于的表达式；
②为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小，试确定的值，使得面积最小，并求出这个最小面积．
【解析】（1）∵，，，，∴，，
∴由余弦定理，，，
∴．
在中．
（2）①∵，∴，
在中，，
在中，，
∴，
又中边上的高为，
∴，．
②当，时，最小且．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）在中，．
（1）D为线段上一点，且，求长度；
（2）若为锐角三角形，求面积的范围．
【解析】（1）在中，依题意得：，
则有，于是得，而，则，
又，则，
在中，从而得等边，即，，
在中由余弦定理得，解得；
（2）在中，，设，由正弦定理得：
，
于是得，
因是锐角三角形，则，且，
于是有，则，即，，
从而得，
所以面积的取值范围是．
变式5．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）若，，求的大小；
（2）若，且是钝角，求面积的大小范围.
【解析】（1）在中，，由正弦定理得.
∵，∴，∴，
∴.
又∵，∴.
在中，由余弦定理得，即，
解得（舍去），.
∴.
（2）由（1）知，
∴.
由正弦定理，得，∴.
∵，为钝角，∴，
∴，∴，
∴.
即面积的大小范围是.
题型三：长度问题
例7．（2023·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知锐角内角的对边分别为.若.
(1)求；
(2)若，求的范围.
【解析】（1）由正弦定理，
又，得；
（2）因为，
所以，
，因为三角形为锐角三角形，
所以，解得，
令，所以，
所以.
例8．（2023·福建莆田·高三校考期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，
(1)求角B﹔
(2)求的范围．
【解析】（1），又，所以，因为，所以.
（2）在中，由（1）及，得，
故，
，
因为，则，
﹒
所以的范围为.
例9．（2023·重庆江北·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围.
【解析】（1）
，即，
，
，
.
（2）根据题意，由正弦定理得，则，
仅有一解，
或，即或，
或，
当时，，所以，所以；
当时，由正弦定理得，
，
，
，
，
，即，
综上，.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；，．
（I）求角A的值；
（Ⅱ）求的范围．
【解析】（I）由，
利用正弦定理可得，即
故，
又，
（Ⅱ），，利用正弦定理
故，
在中，，故
，，
所以的范围是
变式7．（2023·全国·高三专题练习）在中，分别是角的对边.
（1）求角的值；
（2）若，且为锐角三角形，求的范围.
【解析】（1）由题意知，∴，
由余弦定理可知，，
又∵，∴.
（2）由正弦定理可知，，
即，
∴
，
又∵为锐角三角形，∴，则即，
所以， 即，
综上的取值范围为.
变式8．（2023·山西运城·统考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，，求的范围.
【解析】（1）由两角差的正弦公式，可得，
又由正弦定理和余弦定理，可得
，
所以
（2）由（1）知
因为是锐角三角形，所以，可得，
又由，可得，所以，所以，
所以，可得，符合.
所以实数的取值范围是.
变式9．（2023·安徽亳州·高三统考期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）设为的垂心，且，求的范围.
【解析】（1）由，结合正弦定理得
，
整理得，
又为锐角，故.
（2）由是锐角三角形，则垂心必在内部，
不妨设，则.
由为的垂心，则.
在中使用正弦定理得，
，整理得：.
同理在中使用正弦定理得，.
，
结合
可得.
题型四：转化为角范围问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）因为，
所以，即.
因为，所以.
因为，所以.
（2）由（1）知
.
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即的取值范围是.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，且．
(1)判断的形状并给出证明；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）为等腰三角形或直角三角形，证明如下：
由及正弦定理得，，
即，
即，
整理得，所以，
故或，
又、、为的内角，所以或，
因此为等腰三角形或直角三角形．
（2）由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，
且，故，且，
所以，
因为，故，
得，所以，
因此的取值范围为．
例12．（2023·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）设的内角的对边分别为，已知．
(1)判断的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；
(2)求的最小值．
【解析】（1）是钝角三角形.
由题意可知，，得，
所以,于是有，得或，即或，
又，，
所以是钝角三角形.
（2）由（1）知，,,有，
所以
当且仅当，即（为锐角），等号成立，
所以的最小值为
变式10．（2023·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且；
(1)若，判断的形状并说明理由；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
【解析】（1）是等边三角形.理由如下：
在中，由得：，
由余弦定理得，即，
由正弦定理及，得，即，
而及，则或，
当时，即，有，此时，所以是等边三角形；
当，即时，，有，与矛盾，
所以是等边三角形.
（2）由（1）知，，由余弦定理得，为锐角，
而是锐角三角形，则，得，
，得，因此，
，令，则，
对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当或时，，于是，
因此，即有，
所以的取值范围是.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.
(1)若，求角A的大小；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）由正弦定理得：，
∵，∴或，
当时，此时，所以舍去，所以.
（2）
（或者用积化和差公式一步得到）
∵，∴，所以A为锐角，又，
所以，所以，
所以，
所以.
变式12．（2023·江西吉安·高二江西省峡江中学校考开学考试）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是，．
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围．
【解析】（1）∵，
结合余弦定理，可得，
∴，∴
又∵，∴；
（2）由（1）得，∴，
∴
，
∵是锐角三角形，∴，解得，
∴，，
∴.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，∴，
∴，∴
，∴，∴或（不符合题意舍去），
∴，
∴
，
设，
∵是锐角三角形，∴，∴，
∴，
∴，
令，则，
∴函数在上单调递增，
故，
∴.
故选：C．
题型五： 倍角问题
例13．（2023·浙江绍兴·高一诸暨中学校考期中）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若的三边边长为连续的正整数，求的面积．
【解析】(1)因为为锐角三角形，所以.
由正弦定理有，
又在中，所以有,
所以，
因此有，
化简整理得，
所以,
即.
(2)因为为锐角三角形，所以，即，
又，得，因此，得，
所以.
由（1）有，
若时，，
又因为，
所以.
(3)设的三边分别为.
当时，由，
所以有，解得，
因此三边分别为，所以，
所以，所以；
当时，同理有，解得，此时不能构成三角形，故不满足题意；
当时，同理有，化简得，此时无整数解，故不满足题意.
综上可知：.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，．若，且为锐角，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，即，．
为锐角，则
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为．
故选：A
例15．（2023·全国·高三专题练习）锐角的角所对的边为，，则的范围是_________．
【答案】
【解析】∵为锐角三角形， ，∴，∴ ，∴，即 ，由正弦定理得：，所以 的取值范围为）.所以答案应填： ．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为5，若，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】在中，，，
，
，即，
由余弦定理可得，，
故，
由正弦定理可得，，化简整理可得，，
故或（舍去），
则，
为锐角三角形，
，解得，
故，
故答案为：
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由于，作，则，
因为，，可得，
所以，
令，可得，
所以，
令，可得，
由，可得在单调递减，在上单调递增，
所以，
综上．
故答案为：．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，，的对边长分别是，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在锐角中,，,
而，，所以，
所以由正弦定理可知:,
故选：B.
变式17．（2023·福建三明·高一三明市第二中学校考阶段练习）在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在锐角中，，因为，，,
所以，，解得，
所以，，而，
，
所以，
所以由正弦定理可知：
，
因为，所以，所以，
即.
故选：A.
变式18．（2023·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，若A＝2B，则的最小值为（ ）
A．－1B．C．3D．
【答案】C
【解析】因为A＝2B，,所以由正弦定理，得
，
因为A＝2B，所以，
所以 ，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
题型六： 角平分线问题
例16．（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
则，
可得，
整理得
注意到，且，则，，且，
可得或
解得或（舍去），
故.
（2）若的平分线交于点，则，
因为，
则，
即，整理得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值.
例17．（2023·江苏淮安·高一统考期中）如图，中，，的平分线AD交BC于．
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求AD的取值范围．
【解析】（1）设A，B，C的对边分别是a，b，c,
因为AD是的平分线，所以到AB，AC的距离相等，
又，所以，所以．
由题意，．
中，①,
中， ②
联立①②得．又，则．
所以．
（2）因为，，．
所以
所以．
所以．
因为，所以．
所以．
例18．（2023·浙江杭州·高一校联考期中）在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， ．
(1)求角C的值；
(2)若角C的平分线交于点D，且，求的最小值．
【解析】（1）选择条件①：∵，
∴由正弦定理得，
∵，∴，
∴，∴，即，
∴，∵，∴，∴；
选择条件②：∵，∴，
∴，∴．
∵，∴；
选择条件③：
∵，∴，
∵，∴，
由正弦定理得，即，
∴，∵，∴．
（2）角C的平分线交AB于点D，在中，，
在中，，在中，∵，
∴，∴，∴，
∴．
当且仅当，时等号成立，
∴的最小值为．
变式19．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且，角A的平分线与边交于点.
(1)求角A；
(2)若，求的最小值.
【解析】（1）由正弦定理化简可得：
，
∴，
即，
由∴
又∵，∴，∴，
又，∴.
（2）
根据角A的平分线与边交于点，所以，
，即，
所以，即.
当且仅当时，即时，等号成立.
所以的小值为18.
变式20．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
【解析】（1）由题意得，即．
所以，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
所以，故，
故，整理得．
又为锐角三角形，则，，，
所以，因此．
（2）在中，由正弦定理得，所以．
所以．因为为锐角三角形，且，
所以，解得．
故，所以．因此线段长度的取值范围.
变式21．（2023·全国·高一专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理得：，
因为，所以，
所以，即，
所以，故．
（2）
由（1）知，，有，
而与的平分线交于点，即有，于是，
设，则，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以的周长为
，由，得，
则当，即时，的周长取得最大值，
所以周长的最大值为．
变式22．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点.
(1)当为边中点时，若，求的长度；
(2)当为的平分线时，若，求的最大值.
【解析】（1）因为，
所以，即.
由正弦定理，得.
因为，所以.
因为，所以.
又因为，所以，所以.
因为为边中点，所以，则.
又，
所以，即，即，
所以.
（2）在中，由余弦定理，得.
又，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以.
因为平分，
所以，
所以，
所以.
令，则.
因为在上单调递增，
所以当即时，取得最大值为，
所以的最大值为.
题型七： 中线问题
例19．（2023·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中）在锐角中，角的对边分别是，，，若
(1)求角的大小；
(2)若，求中线长的范围（点是边中点）.
【解析】（1）因为，由正弦定理可得：
即，所以，
因为，所以，所以，因为，所以.
（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，
因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得:
，
所以，
因为，又，，
所以,
又因为为锐角三角形， 所以，，得到，
所以，由的图像与性质知，，
所以，所以，得到
故.
例20．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求边中线的取值范围．
【解析】（1）由已知可得，
由余弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，又，
所以．
（2）因为M为的中点，所以，
则，
即．
因为，所以．
所以，
所以．
例21．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【解析】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因为，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
则，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由题意得，解得，则，
所以，所以，
所以，所以中线CD长的取值范围为．
变式23．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
(1)求角A的大小；
(2)若，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得：,
即，
,
因为，所以，
所以，
因为,所以.
（2）由（1）得，
则，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
因为点D是边BC中点，
所以,
两边平方可得：,
则，
所以，
中线AD长的最大值为.
变式24．（2023·广东广州·高二广州六中校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求边上的中线 长度的最小值．
【解析】（1）由得,
,
即.
（2）,
即
，当且仅当取等号．
题型八： 四心问题
例22．（2023·四川凉山·校联考一模）设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】因为重心、内心分别是，且，所以，（r为内切圆的半径），
又.且.
解得.
所以.
当且仅当时，即为等边三角形有最小值.
例23．（2023·全国·高三专题练习）在中，分别为内角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为的内心，求的最大值.
【解析】（1），
由正弦定理可得，，
即，
又，
，
，
又
.
（2）设，
为的内心，且，
，
，
在中，
由正弦定理得，，
，，
.
当且仅当，即为等边三角形时取等号，
故的最大值为2.
例24．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若为的垂心，，求面积的最大值.
【解析】（1）由题可得，
结合正弦定理可得，即，
∴，又，∴.
（2）设边，上的高分别为，则为与的交点，
则在四边形中，，
∵，∴，故，
在中，，，
则，即，
当且仅当时取等号.∴，故面积的最大值为.
变式25．（2023·江苏无锡·高一锡东高中校考期中）在中，分别是角的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且其面积为，点为重心，点为线段的中点，点在线段上，且，线段与线段相交于点，求的取值范围.
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，
又因为，则，
可得，即，所以.
（2）由题意可得，，
所以，
因为、、三点共线，故设，
同理、、三点共线，故设，
则，解得，
所以，
则，
因为，所以，
又因为为锐角三角形，
当为锐角，则，即，
即，所以；
当为锐角，则，即，
则，即，所以；
综上可得，
又因为，
则，
因为，则，
且在上单调递减，，
所以，即，
所以．
变式26．（2023·河北邢台·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且外接圆的半径为．
(1)求C的大小；
(2)若G是的重心，求面积的最大值．
【解析】(1)由正弦定理，得
因为，
所以，所以,因为,故．
(2)由（1）得，
所以，得，
当且仅当时，等号成立．
连接BG，并延长BG交AC于D，则D是AC的中点，且，
过G作于F，过B作于E，则，
所以．故面积的最大值为
变式27．（2023·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习）如图，记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A的角平分线交BC于点D，O为的重心，过O作，交AD于点P，过P作于点E.
(1)求的取值范围；
(2)若四边形BDPE与的面积之比为，求的取值范围.
【解析】(1)因为，且是锐角三角形，
所以，均为锐角，
所以
解得.
(2)如图，连接AO，延长AO交BC于点G.
因为О为的重心，
所以G为BC的中点，.
因为，所以，，
所以，所以.
设，，则.
因为，
，
，
所以由，得，即.
因为，
所以四边形的面积为：
，
.
由，得，
即，
所以.
变式28．（2023·浙江·高一路桥中学校联考期中）若O是的外心，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】如图所示：
设，， ，，
由，
得
化简得，由是的外心可知，
是三边中垂线交点，得，代入上式得
，所以，
根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，.
所以，
由柯西不等式可得：，
所以，所以，
所以，当且仅当“”时，等号成立.
所以的最大值为.
故选：C.
变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ）
A．6B．C．D．3
【答案】D
【解析】如图所示：设.
由题意可得，，化简可得，由是三角形的外心可得，是三边中垂线交点，
则，代入上式得，，即
依据题意，为外接圆半径，根据正弦定理可得，
代入得，则
结合不等式可得，的最大值为3
故选：D
题型九： 坐标法
例25．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，点在内部，，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】因为，，所以.
在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径），所以，解得：.
如图所示：设的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系.
设E为AC的中点，所以，.
所以点M的轨迹为：，可写出（为参数）.
因为点在内部，所以（其中满足，）.
所以
因为满足，，所以，
所以当时最小.
故答案为：2
例26．（2023·全国·高一专题练习）在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】以A为原点，AC所在直线为x轴，建系，如图所示，根据题意，可得A、B、C坐标，设，可得的坐标，根据数量积公式，可得的表达式，即可求得答案.以A为原点，AC所在直线为x轴，建立坐标系，如图所示：
因为，，，
所以，设，
则，
所以
=，
当时，有最小值，且为，
故答案为：
例27．（2023·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知B，C为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是___________.
【答案】
【解析】设的中点为，因为，
所以，化简得，
即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
所以
所以的取值范围是，
从而的取值范围是．
故答案为：．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）在中，，且所在平面内存在一点使得，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以的中点为坐标原点，建立直角坐标系，写出三点的坐标，利用两点间距离公式，以及圆与圆的位置关系，解不等式，得出的范围，再由三角形的面积公式以及二次函数的性质，即可得出面积的最大值.以的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系
设，，，则
设，由得
即，
即点既在为圆心，为半径的圆上，又在为圆心，1为半径的圆上
可得，由两边平方化简可得
则的面积为
由，可得，取得最大值，且为.
故选：B.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）在等边 中，为内一动点，，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，
以的BC边的中点O为原点，BC为x轴，过O点垂直于BC的直线为y轴，建立建立直角坐标系如图，
再将 延x轴翻折得 ，求得的外接圆的圆心为Q， ， M点的劣弧 上，
不妨设等边的边长为2，可得：，，，，
点所在圆的方程为：.
设参数方程为：，
，
，
其中 ，
即，解得，；
故选：C.
变式32．（2023·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：的几何意义为点到点的距离之和的最小值，
因为，，
，
所以，故三角形ABC为等腰直角三角形，，
取的中点，连接，与交于点，连接，故，，
因为，所以，故，则，
故点到三角形三个顶点距离之和最小，即取得最小值，
因为，所以，同理得：，，
，
故的最小值为.
故选：B
题型十： 隐圆问题
例28．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ ）
A．27B．16C．10D．25
【答案】A
【解析】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则,因为，，所以由平面几何知识得A点轨迹为圆弧（因为为平面四边形，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E,则由正弦定理可得圆半径为，
因此对角线的最大值为
故选：A
例29．（2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知中，，为的重心，且满足，则的面积的最大值为______.
【答案】/
【解析】以的中点为原点建立平面直角坐标系，，，
设，则，
当时要使，则在坐标原点，显然不成立，
当时要使，则，解得，显然不成立，
所以且，因为
所以，即
整理得，(且)
所以当点的纵坐标为时，的面积取得最大值为.
故答案为：
例30．（2023·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校考开学考试）已知等边的边长为2，点G是内的一点，且，点P在所在的平面内且满足，则的最大值为________.
【答案】
【解析】由，可知点G为的重心，以AB所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，表示出的坐标，设，由可知在以为圆心，为半径的圆上，根据点与圆上的点的距离最值求出的最大值.由，可知点G为的重心.
以AB所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，.
设，由可知P为圆上的动点，
所以的最大值为.
故答案为：
变式33．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____．
【答案】
【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.
则，，
设，则，，
因为
所以，即：
整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为2的圆上.
在轴上取，连接
可得，所以，所以
由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.
此时最小为.
故答案为．
变式34．（2023·全国·高三专题练习）若满足条件，，则面积的最大值为__.
【答案】
【解析】如图，以的中点为原点，为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，设，由，
得，
化简可得,
则点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
且去掉点，和，；
所以的面积的最大值为，
故答案为：.
变式35．（2023·江苏·高三专题练习）在中，为定长，，若的面积的最大值为，则边的长为____________．
【答案】
【解析】设，以为原点，为轴建系，则，，设，，
，利用求向量模的公式，可得，根据三角形面积公式进一步求出的值即为所求.设，以为原点，为轴建系，则，，设，，
则，
即，
由，可得.
则.
故答案为：.
变式36．（2023·全国·高三专题练习）中，所在平面内存在点P使得，，则的面积最大值为__________________．
【答案】
【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，则，
设，由，，可得，
即，
即点P既在以为圆心，半径为的圆上，也在为圆心，为半径的圆上，
可得，
由两边平方化简可得，
则的面积为，
由，可得．
故答案为：.
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】设，以所在直线为轴、其中垂线所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示），则，设，由，得，即，
则，
则，
即，
解得，即，
即面积的最大值为.
题型十一：两边夹问题
例31．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，且的周长为12．
(1)求证：为直角三角形；
(2)求面积的最大值．
【解析】（1）在中有，，
又，
则，
可得，
可得①，
又，，是三角形内角，
若，则，此时①式不成立；
若，则，此时①式不成立；
所以，则，则，
所以是直角三角形．
（2）设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，则直角三角形的面积，
又，则，
所以，
即，即，
所以，当且仅当时，取最大值，且最大值为．
例32．（2023·全国·高三专题练习）设的内角的对边长成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】 ，
，①
又成等比数列，，
由正弦定理可得，②
①-②得
，
，解得，
由，
得，
，为正三角形，
设正三角形边长为，
则，
，时等号成立．
即面积的最大值为，故答案为.
例33．（2023·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C的对边为，b，c．已知，b，c依次成等比数列，且，延长边BC到D，若，则面积的最大值为______．
【答案】
【解析】∵，
，
∴，①
∵a，b，c依次成等比数列，
∴，
由正弦定理可得，②
①-②可得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，即
∴为正三角形，设边长a，
当且仅当即时取等号
故答案为
题型十二：与正切有关的最值问题
例34．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为，由余弦定理得，所以，
，
由正弦定理得，所以，
因为为锐角三角形，所以，，，
由，得，，
，
，所以．
故答案为：．
例35．（2023·全国·高一阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A角的值；
(2)若为锐角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
因为，∵，
∴，∵，∴，∴，
因为，∴，∴.
（2）由正弦定理，
，
∵为锐角三角形，∴，即，，
∴}
∴的取值范围是.
例36．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：
(1)；
(2)的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以,
因为，
，
因为.
（2）由正弦定理，
，
因为，所以，所以，
所以，所以的取值范围是.
变式38．（2023·全国·高三专题练习）锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，
得，
由余弦定理，可得，
又由正弦定理，可得，
所以，
得，又，
所以，所以.
又，
所以，所以.
又，且，故，
所以.
又，所以，得，
所以，
故选：C.
变式39．（2023·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】△ABC中，，
由，得，∴；
即，∵，∴，
∴，∴ ，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，∴,∴，
∴，
∴,
∴，
故选：D．
变式40．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴所以
因此
设，∵是锐角三角形，∴，∴
∴，在上单调递增，
∴，
故选：C
题型十三：最大角问题
例37．（2023·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（ ）
A．1B．－7C．1或－7D．2或－7
【答案】A
【解析】，则线段的中点坐标为，易知，
则经过两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，
设圆心为，则圆的方程为，
当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得），
则此时P的坐标为，
代入圆的方程得
，解得或，
即对应的切点分别为和，
因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
又过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，
所以，故点为所求，即点的横坐标为.
故选：A
例38．（2023·全国·高三专题练习）设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在中，由正弦定理及得：，
即，整理得：，
即，因，则，否则为钝角，也为钝角，矛盾，
，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.
故选：D
例39．（2023·江西上饶·高三上饶中学校考期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，当tan(A－B)取最大值时，角C的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得，化简得.，当且仅当时等号成立，由于故为锐角，故，所以.故选A.
变式41．（2023·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶离地面12米，树上另一点离地面8米，若在离地面2米的处看此树，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，过点作，交于点，则．
设，在中，．
在中，，
所以，
当且仅当，即时取等号．
故选：C.
变式42．（2023·江苏扬州·高一统考期中）如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（ ）米时，看A、的视角最大.
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，则，设，
则，
则
又，且余弦函数在单调递减，
则当，即时最大.
即该人离此树6米时，看A、的视角最大.
故选：C
题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题
例40．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）内一点O，满足，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如，请你和他一起解决如下问题：
(1)若a，b，c分别是A，B，C的对边，，证明：；
(2)在（1）的条件下，若的周长为4，试把表示为a的函数，并求的取值范围．
【解析】（1）设，
在和中，由正弦定理得
又，，
，
，又，
，即．
（2）
，即，
又成等比数列，设（公比）（），
，解得：，又，得，
由且，则，故在上递增，
所以在上为减函数，易知，
例41．（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在中，已知，，，且点在线段上，且满足，若点为的费马点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，
由余弦定理可得，
由正弦定理，即，所以，
显然为锐角，所以，
设，则，即，
解得，即，
所以，
所以，
又，即为锐角，
所以的三个内角均小于，则为三角形的正等角中心，
所以
，
所以，
因为
.
故选：C
例42．（2023·全国·高三专题练习）点在所在平面内一点，当取到最小值时，则称该点为的“费马点”.当的三个内角均小于时，费马点满足如下特征：.如图，在中，，，则其费马点到三点的距离之和为（ ）
A．4B．2
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，为等腰三角形，
，，
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得：，
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得：，
，其费马点到，，三点距离之和为4．
故选：A
变式43．（2023·湖南邵阳·统考三模）拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC中，已知，且，，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的边长为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【解析】如图，连接，由题设，
因为以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，
所以，，故.
故选：B.
变式44．（2023·河南·高一校联考期末）几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在中，已知，，外接圆的半径为，现以其三边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】C
【解析】中，，故，，
故，，，
外接圆圆心为对应等边三角形的中心，如图所示，连接，，
则，故，
，，故，
，，则，
根据对称性知：，故为等边三角形，
其面积.
故选：C.
题型十五：托勒密定理及旋转相似
例43．（2023·江苏淮安·高一校联考期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．16C．D．12
【答案】C
【解析】设，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因为，，
因此，
.
故选：C.
例44．（2023·全国·高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因为，，
因此，
.
故选：C.
例45．（2023·全国·高三专题练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】连接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因为四边形ABCD内接于半径为的圆，
它的对角互补，所以，
所以,所以，
所以四边形ABCD的周长为．
故选：A．
变式45．（2023·江苏·高一专题练习）凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，，，，，当变化时，对角线BD的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，，，
在△ABC中，由余弦定理，得，
由正弦定理，得，∴.
∵，，，
在△BCD中，由余弦定理，得,
∴
，
当，即时，取得最大值，为，
即BD的最大值为.
故选：C.
变式46．（2023·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）在中，，，以为边作等腰直角三角形(为直角顶点，，两点在直线的两侧).当角变化时，线段长度的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．9
【答案】A
【解析】中，，，，
在中，由正弦定理得：，
，
在中，
，
当时最大为9，故最大值为3，
故选：A
变式47．（2023·全国·高一专题练习）在中，，，以为边作等腰直角三角形（ 为直角顶点， 、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】方法一：如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
， ，
在中，，，
， ，
，
在中， ，
当点 在 上时，即、、三点共线，此时有的最大值，
的最大值为： ，
，
的最大值为： .
故选：C.
方法二：如图，设 ， ，
在 中，由余弦定理可知： ，
在中，由余弦定理可知： ，
由同角关系可得： ，
，
令 ，
则
，
当时等号成立.
的最大值为： .
故选：C.
变式48．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD为正三角形，则BCD面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在ABC中，设， ，
由余弦定理得：，
∵ACD为正三角形，
∴，
，
，
在ABC中，由正弦定理：，
∴，
∴，
∴，
，
∵，∴为锐角，，
∴，
，
当时，．
题型十六：三角形中的平方问题
例46．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，两式平方相加得，而，两式结合有，再用基本不等式求解.因为a2+b2+2c2＝8，
所以，
由余弦定理得，
即①
由正弦定理得，
即②
由①，②平方相加得，
所以，
即，所以，
当且仅当且即时，取等号.
故选：B
例47．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由得： ，
故 ，
当且仅当 时取等号，
由于 ,故 ，
则 ，则 ，
故答案为：
例48．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是，其中a，b，c是的内角A，B，C的对边，若，且，则面积S的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，得，
所以
，当且仅当，时，等号成立.
故选：B
变式49．（2023·河南洛阳·高三校考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由余弦定理知，
因为且，可得，即，
又由，可得，
因为，所以，解得，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为，
所以的面积的最大值为．
故选：B.
变式50．（2023·云南·统考一模）已知的三个内角分别为、、.若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，
由余弦定理得，，
所以
，当且仅当时等号成立.
即为锐角，，，
，
所以的最大值为.
故选：B
变式51．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设的内角，，所对的边，，满足，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
设（），由得，
由得，两边除以得，解得（因为），
由得，两边同除以得，解得，
由得，两边除以得，此不等式恒成立，
综上．
故选：A．
变式52．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形 ABC 中，已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正弦定理，得：，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，
因为，所以，
化简，得：，解得：，
，，
，
＝
＝＝，
当且仅当时取得最小值.
故选：C
题型十七：等面积法、张角定理
例49．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16B．C．64D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，
当且仅当取等号，
所以.
故选：B.
例50．（2023·湖北武汉·高一校联考期中）已知△ABC的面积为, ∠BAC=, AD是△ABC的角平分线, 则AD长度的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】中，∠BAC=, AD是角平分线得
，，
而
因此
得
而，
所以
故选D项.
例51．（2023·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期中）给定平面上四点满足，则面积的最大值为_______.
【答案】
【解析】，，，
，
，
设到的距离为，则由等面积可得，
，
面积的最大值为．
故答案为：．
变式53．（2023·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
设角A，B，C的对边分别为a，b，c.
因为，所以.
由已知可得，.
又，，
即，
整理得，
当且仅当时，等号成立.
故AM的最大值为.
故答案为：.
变式54．（2023·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且.若，则面积的最小值是______.
【答案】
【解析】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，当且仅当取等号，
所以，
即面积的最小值是.
故答案为：
变式55．（2023·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为________.
【答案】
【解析】因为，为的角平分线，
所以，又，
故由三角形面积公式可得，
，
，
又，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以面积的最小值为.
故答案为：.
变式56．（2023·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中）已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为___．
【答案】
【解析】因为，的角平分线交于点，且，
因为，即，
即，即，所以，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
变式57．（2023·全国·高一专题练习）已知，内角所对的边分别是，的角平分线交于点D．若，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
对用正弦定理，可得，设，，由于为三角形内角，则，由可得，，整理得，，对，由余弦定理，，即，故，即，于是，根据基本不等式，，即，结合，解得，即，于是.
故答案为：
变式58．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知，，为上一点，且为的角平分线，则的最小值为___________.
【答案】16
【解析】
为的角平分线，，
由等面积法，
所以，
所以（当且仅当时等号成立），即最小值为16.
故答案为：16
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