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【讲通练透】重难点突破03 原函数与导函数混合还原问题 （十三大题型）-2024年高考数学重难点突破精讲
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这是一份【讲通练透】重难点突破03 原函数与导函数混合还原问题 （十三大题型）-2024年高考数学重难点突破精讲，文件包含重难点突破03原函数与导函数混合还原问题十三大题型原卷版docx、重难点突破03原函数与导函数混合还原问题十三大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破03 原函数与导函数混合还原问题
目录
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于，构造，
4、对于，构造
5、对于，构造，
6、对于，构造
7、对于，构造，
8、对于，构造
9、对于，构造，
10、对于，构造
11、对于，构造，
12、对于，构造
13、对于，构造
14、对于，构造
15、；；；
16、；．
题型一：利用构造型
例1．（安徽省马鞍山第二中学2022-2023学年高三上学期10月段考数学试题）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，构造函数，，则，
所以函数的图象在上单调递减.
又因为，所以，
所以，解得或（舍）.
所以不等式的解集是.
故选：B.
例2．（河南省温县第一高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，即在上递增，
又，则等价于，即，
所以，解得，原不等式解集为.
故选：C
例3．（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
即，
所以，即，
又，所以，故 ，
，可得，
在上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以的极大值为.简图如下：
所以，，.
故选：D.
变式1．（2023届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，，所以当时，，
令，则当时，，
故在上单调递增，
又因为在上为偶函数，所以在上为奇函数，
故在上单调递增，因为，所以，
当时，可变形为，即，
因为在上单调递增，所以，解得，故；
当时，可变形为，即，
因为在上单调递增，所以，解得，故无解.
综上不等式的解集为.
故选：C.
变式2．（四川省绵阳市盐亭中学2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，所以在单调递减，
不等式可以转化为，即，所以.
故选：D.
变式3．（河南省豫北重点高中2022-2023学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题）已知函数的定义域为，其导函数是，且．若，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，其中，
则，
故函数在上为增函数，且，
因为，由可得，即，解得.
故选：B.
变式4．（广西15所名校大联考2023届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学试题）已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，
则在R上为奇函数，且.
又，
当时，，所以在上为增函数，
因此在R上为增函数.
又，当时，不等式化为，
即，
所以；
当时，不等式化为，即，
解得，故无解，
故不等式的解集为.
故选：C
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型二：利用构造型
例4．（河南省信阳市息县第一高级中学2022-2023学年高三上学期9月月考数学试题）已知定义在的函数满足：，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，
因为，
所以在上，
所以在上单调递增，
由已知，的定义域为，
所以，
所以等价于，
即，
所以，解得，
所以原不等式的解集是.
故选：A.
例5．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，若g(x)＝，则不等式g(x)A．(－∞，1)B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0,1)
【答案】D
【解析】因为f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，所以f(－x)＝f(x).对任意正实数x满足，
所以,
因为 ，所以g(x)也是偶函数.
当x∈(0，＋∞)时，,
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)单调递减，
若g(x)故g(x)故选：D
例6．（江苏省苏州市2023届高三下学期3月模拟数学试题）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】成立设，
则，即时是增函数，
当时，，此时；
时，，此时．
又是奇函数，所以时，；
时
则不等式等价为或，
可得或，
则不等式的解集是，
故选：．
变式5．（西藏昌都市第四高级中学2023届高三一模数学试题）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，
当时，，
当时，，
在上单调递减；
又为的奇函数，
，即为偶函数，
在上单调递增；
又由不等式得，
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递减得，解得，故；
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递增得，解得，故；
综上所述，不等式的解集为：．
故选：D．
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型三：利用构造型
例7．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考文科数学试题）已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
∴在R上单调递增.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故选：A.
例8．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考数学试题）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
所以函数在上单调递增，又，所以．
又等价于，即，所以，
即所求不等式的解集为．
故选：B
例9．（广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2023届高三模拟仿真数学试题）已知是函数的导函数，对于任意的都有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】法一：构造特殊函数.令，则满足题目条件，把代入得解得，
故选：.
法二：构造辅助函数.令，则，
所以在上单调递增，
又因为，所以，所以，
故选：D.
变式6．（宁夏吴忠市2023届高三一轮联考数学试题）函数的定义域是，，对任意，，则不等式：的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【解析】构造函数，则，
，则函数在上单调递增，
由可得，可得，
因此，不等式的解集为.
故选：A.
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型四：用构造型
例10．（安徽省六安市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题）定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则可得
所以是上的奇函数，
，
当时，，所以，
是上单调递增，
所以是上单调递增，
因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得 解得：，
所以不等式的解集为，
故选：A.
例11．（广东省汕头市2023届高三三模数学试题）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
所以不等式等价转化为不等式，即
构造函数，则，
由题意，，所以为R上的增函数，
又，所以，
所以，解得，即，
所以，
故选：D.
例12．（陕西省安康市2023届高三下学期4月三模数学试题）已知函数的定义域为，且对任意，恒成立，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，该函数的定义域为，
则，所以在上单调递增．
由可得，即，
又在上单调递增，所以，解得，
所以原不等式的解集是，
故选：D．
变式7．（新疆克拉玛依市2023届高三三模数学试题）定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（ ）
A．（1，+∞）B．（1，+∞）C．（∞，1）D．（∞，1）
【答案】A
【解析】因为的图像关于点（，1）对称，
所以是奇函数，
因为对任意的实数均有成立，
所以对任意的实数均有成立，
令，
则 ，
所以 在上递增，
因为，
又，
所以，
故选：A
变式8．（浙江省绍兴市新昌中学2023届高三下学期5月适应性考试数学试题）若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题可设，因为，
则，
所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
∴，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：A.
变式9．（吉林省长春市吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期第四次摸底考试数学试题）设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
因为，
所以，
所以函数在上为增函数，
不等式即不等式，
又，，
所以不等式即为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
变式10．（四川省绵阳市南山中学2022-2023学年高三二诊热身考试数学试题）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以的图像关于直线对称，所以，
设，则 ，因为，所以,所以在上为减函数，
又 ，因为，所以 ，所以.
故选：.
变式11．（山东省烟台市2023届高三二模数学试题）已知函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由得，即，
可设，
当时，因得，
所以，
可化为，
即，
设，
因，故为偶函数
，
当时，因，，
故，所以在区间上单调递增，
因，
所以当时的解集为，
又因为偶函数，故的解集为.
故选：C
变式12．（江西省九江十校2023届高三第二次联考数学试题）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，
，即，
，
在上单调递减，又，
不等式，
即，，
原不等式的解集为.
故选：D
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型五：利用、与构造型
例13．（江西省2023届高三教学质量监测数学试题）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，化简得，
构造函数，
即当时，单调递增，
所以由，
则，
即.因为为偶函数且在上单调递增，
所以，解得.
故选：C.
例14．（天津市南开中学2023届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得
故选：D
例15．函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，
又由已知可得，，所以，
所以在上单调递增
因为，所以，
故，D正确，
故选：D
变式13．已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得
故选：D
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型六：利用与构造型
例16．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，
，
所以函数在单调递增，
因为函数为偶函数，所以函数也为偶函数，
且函数在单调递增，所以函数在单调递减，
因为，所以，
关于x的不等式可变为，也即，
所以，则解得或，
故选:C.
例17．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，设，则，
当时，因为，则有，
所以在上单调递减，
又因为在上是偶函数，可得，
所以是偶函数，
由，可得，即，即
又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，
解得或，
即不等式的解集为，
故选：B.
例18．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，
∵，即，即，故是奇函数，
由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续.
∵在上有，∴，
故在单调递增，
又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，
∵，
∴，
即，∴，故，
故选：B．
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型七：复杂型：与等构造型
例19．（广西柳州市2023届高三11月第一次模拟考试数学试题）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，构造，则，
且，故在上单调递减；
又为上的奇函数，故可得，
即，则.
则不等式等价于，
又因为是上的单调减函数，故解得.
故选：A.
例20．（河南省多校联盟2023届高考终极押题（C卷）数学试题）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设函数，
所以，因为，
所以，即，所以在上单调递减，因为，
所以，因为，整理得，
所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
例21．（2023届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知函数与定义域都为，满足，且有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得.
而，∴，∴在上单调递减，
又，则，
所以，则，
故不等式的解集为．
故选：D．
变式14．（陕西省渭南市华州区咸林中学2022-2023学年高三上学期开学摸底考试数学试题）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，所以，因为，所以，化简得，
所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，
得，即，
由在上单调递增，得解得，
所以不等式的解集为，
故选：B.
变式15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，可得，
因为，可得，
所以，所以函数为上的单调递增函数，
由不等式，可得，
所以，即
因为，令，可得，
又因为，可得，所以
所以不等式等价于，
由函数为上的单调递增函数，所以，即不等式的解集为.
故选：A.
变式16．（新疆新源县第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题）定义在R上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】将左右两边同乘得：，
令，则，所以在R上单调递增，且；不等式等价于，即，所以
故选：A
变式17．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2023届高三下学期第十二次适应性考试数学试题）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，则，
所以，函数为上的增函数，，
由可得，所以，.
故选：B.
【解题方法总结】
对于，构造
题型八：复杂型：与型
例22．（专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用—备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，设，则，则有，，即有，故函数的图象关于对称，则有，
当时，，，又由当时，，即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，即，，
函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，且在上恒成立，由可得，即，此时不存在.
综上：不等式解集为.
故选：A
例23．（辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则恒成立，故函数在上单调递增.
，则，即，故.
，即，即，故，解得.
故选：B.
例24．（山东省泰安肥城市2023届高三下学期5月高考适应性训练数学试题（三））定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，即，
即，即对恒成立，
令，则在上单调递增，
∵，∴，
由即，即，
因为在上单调递增，∴
故选：B.
【解题方法总结】
写出与的加、减、乘、除各种形式
题型九：复杂型：与结合型
例25．（2023届高三数学临考冲刺原创卷（四））已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据，得．
设（），则，
则函数在上单调递增，且，
则不等式，可化为，
则，解得.
故选：C．
例26．（华大新高考联盟2023届高三3月教学质量测评文科数学试题）已知函数的定义域为，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，其中，
则，
所以，函数在上单调递减，
易知，当时，，，此时，
当时，，，此时，
因为函数的定义域为，图象关于原点对称，即函数为奇函数，
若或时，，且，
由可得，
当时，即，可得或，此时，可得；
当时，即，可得，此时，可得.
因此，不等式的解集为.
故选：C.
例27．（2023届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，则的定义域为
且，所以在上单调递减.
因为，所以当时，；
当时，.
又当时，，当时，，
所以当时，恒有.
因为是上的奇函数，所以当时，，
所以等价于或
解得或，
所以不等式的解集是.
故选：D.
变式18．（广东省梅州市2023届高三二模数学试题）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，
则，
所以函数在上递增，
又因，
所以当时，，
当时，，
又因当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
又因为，所以当时，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，
由不等式，
得或，
解得，
所以不等式的解集是.
故选：B.
变式19．定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
则，由于,
故,故在单调递增，
而 ，
由，得 ，
∴ ，即 ,
∴不等式的解集为,
故选：D．
【解题方法总结】
1、对于，构造
2、写出与的加、减、乘、除各种结果
题型十：复杂型：基础型添加因式型
例28．（辽宁省名校联盟2023届高考模拟调研卷数学（三））已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
构造函数，当时，，
所以函数在区间内单调递增，且，
又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，
所以在区间内单调递减，且．
不等式整理可得：，
即，当时，，则，解得；当时，，则，
解得，又，所以．
综上，不等式的解集为．
故选：A．
例29．定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，则，所以等价于，
由，可得
则，
所以在上单调递增，所以由，得．
故选：D
例30．定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】构造函数，则，
因为，所以，所以单调递减，
又，所以，
不等式变形为，即，
由函数单调性可得：
故选：D
变式20．已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，当时，恒成立，即恒成立，
又由，可得，
令，可得，则函数为偶函数，
且当时，单调递增，
结合偶函数的对称性可得在上单调递减，
由，
化简得到，
即，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
【解题方法总结】
在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度
题型十一：复杂型：二次构造
例31．（福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题）函数满足：，，则当时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以，
令，则，且，
所以，
令，则，
令，解得：，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
则，故在上恒成立，
所以在上单调递减，
则当时，既无极大值，也无极小值.
故选：D
例32．（江西省百所名校2022-2023学年高三第四次联考数学试题）已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可.由，可得，
即，令，
则.
令，，
所以在上是单调递减函数.
不等式，
等价于，
即，，
所求不等式即，
由于在上是单调递减函数，
所以，解得，
且，即，
故不等式的解集为.
故选：D
例33．（河南省濮阳市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数为定义域在R上的偶函数，且当时，函数满足，，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，当时，．令，则，
，令，，
令，解得．可知函数在上单调递减﹐在上单调递增．
又，所以，，所以函数在上单调递减，
，可化为，又函数关于对称，
故或，
所以不等式的解集为．
故选：A
变式21．（宁夏平罗中学2023届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，，∴，
令，∴在上单调递减，
又是定义在上的连续偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，
∵，∴，
当，即时，，∴；
当，即时，，∴，则.
故不等式的解集为.
故选：A.
变式22．（江西省九江市2023届高三三模数学（理）试题）已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（ ）
A．单调递增B．单调递减C．有极大值D．有极小值
【答案】A
【解析】构造函数，则，
所以，，则，
设，则，，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，对任意的恒成立，
因此，函数在上单调递增.
故选：A.
变式23．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题）定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为，且，
所以，①
令，则，
又，记，
所以.
当时，，递减；当时，，递增.
结合①当时，，所以的最小值为0，即，
因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
变式24．（福建省泉州市2022-2023学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学（理）试题）设函数满足：，，则时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，又无极小值
【答案】B
【解析】，
令，则，
所以，
令，则，
即，
当时，，单调递增，而，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
故有极小值，无极大值，故选B.
变式25．（辽宁省大连市中山区第二十四中学2022-2023学年高三上学期11月月考数学试题）函数满足：， ．则时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以,
令，则 ，
所以，
令 ，则，
则当时， ，当时，
即函数在为增函数，在为减函数，
所以，
即，即函数在为减函数，
即时，既无极大值，也无极小值，
故选D.
变式26．设函数的导数为，且，，，则当时，
A．有极大值，无极小值B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设，所以，，所以存在使得，又 ，所以在上单调递增.
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
因此，当时，取极小值，但无极大值，故选B.
【解题方法总结】
二次构造：，其中等
题型十二：综合构造
例34．（福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，
，
，
当时，，则，
在上单增；
当时，，则，
在上单减；
，
不等式即为不等式，
关于直线对称，
，
解得或，
故选：．
例35．（贵州省铜仁市2023届高三适应性考试数学试题（—））已知定义在上的函数，为其导函数，满足①，②当时，.若不等式有实数解，则其解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】构造函数，
当时，递增，
由于，
所以，即，
所以是偶函数，所以当时，递减.
不等式等价于：
，
即，所以，
两边平方并化简得，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
例36．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三第一次模拟数学（文科）试题）已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，
因为是定义在R上的偶函数，
所以，
则，
所以函数也是偶函数，
，
因为当时，，
所以当时，，
所以函数在上递增，
不等式即为不等式，
由，得，
所以，
所以，解得或，
所以的解集是.
故选：B.
变式27．（贵州省绥阳县育才中学2023届高三信息压轴卷数学试题）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知可推得，.
令，则，
所以，
所以，为偶函数.
又，
因为当时，，
所以，，所以在上单调递增.
又为偶函数，所以在上单调递减.
由可得，
.
因为，
所以，.
因为在上单调递减，为偶函数，
所以有，
平方整理可得，，
解得.
故选：C.
变式28．（安徽省淮南市2023届二模数学试题）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
令，则，
∴在上为奇函数，
又∵当时，，
∴当时，，
∴在上单调递增，
又∵在上为奇函数，
∴在上单调递增，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵在上单调递增，
∴，解得：.
故选：A.
变式29．（安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质量检查数学试题）已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则在上是减函数.，
所以
得，又，所以.
故选：A.
【解题方法总结】
结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者（为常见函数）
题型十三：找出原函数
例37．（甘肃省武威市第六中学2023届高三上学期第二次阶段性过关考试数学（文）试题）已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是
A．(0,e)B．(0, )C．( ,e)D．(e,+∞)
【答案】A
【解析】令，则有， ,
,又 ,得
，,再令,则 ,故函数在上递减,
不等式 等价于,所以 ,故选A
例38．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值．由题意可知，，即，
所以，
令，则，
因为函数在处存在导数，所以为定值，，，
所以，
令，当时，，
构建函数，则有，
所以函数在上单调递增，
当，，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以当时函数必有一解，
令这一解为，，则当时，
当时，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
例39．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】因为，，
所以，所以，
因为函数是连续函数，所以由，可得，
代入，可得，
所以，
当时，，
令，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以函数在上单调递增，
所以既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【解题方法总结】
熟悉常见导数的原函数.
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破03 原函数与导函数混合还原问题
目录
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于，构造，
4、对于，构造
5、对于，构造，
6、对于，构造
7、对于，构造，
8、对于，构造
9、对于，构造，
10、对于，构造
11、对于，构造，
12、对于，构造
13、对于，构造
14、对于，构造
15、；；；
16、；．
题型一：利用构造型
例1．（安徽省马鞍山第二中学2022-2023学年高三上学期10月段考数学试题）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，构造函数，，则，
所以函数的图象在上单调递减.
又因为，所以，
所以，解得或（舍）.
所以不等式的解集是.
故选：B.
例2．（河南省温县第一高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，即在上递增，
又，则等价于，即，
所以，解得，原不等式解集为.
故选：C
例3．（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
即，
所以，即，
又，所以，故 ，
，可得，
在上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以的极大值为.简图如下：
所以，，.
故选：D.
变式1．（2023届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，，所以当时，，
令，则当时，，
故在上单调递增，
又因为在上为偶函数，所以在上为奇函数，
故在上单调递增，因为，所以，
当时，可变形为，即，
因为在上单调递增，所以，解得，故；
当时，可变形为，即，
因为在上单调递增，所以，解得，故无解.
综上不等式的解集为.
故选：C.
变式2．（四川省绵阳市盐亭中学2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，所以在单调递减，
不等式可以转化为，即，所以.
故选：D.
变式3．（河南省豫北重点高中2022-2023学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题）已知函数的定义域为，其导函数是，且．若，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，其中，
则，
故函数在上为增函数，且，
因为，由可得，即，解得.
故选：B.
变式4．（广西15所名校大联考2023届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学试题）已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，
则在R上为奇函数，且.
又，
当时，，所以在上为增函数，
因此在R上为增函数.
又，当时，不等式化为，
即，
所以；
当时，不等式化为，即，
解得，故无解，
故不等式的解集为.
故选：C
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型二：利用构造型
例4．（河南省信阳市息县第一高级中学2022-2023学年高三上学期9月月考数学试题）已知定义在的函数满足：，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，
因为，
所以在上，
所以在上单调递增，
由已知，的定义域为，
所以，
所以等价于，
即，
所以，解得，
所以原不等式的解集是.
故选：A.
例5．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，若g(x)＝，则不等式g(x)
C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0,1)
【答案】D
【解析】因为f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，所以f(－x)＝f(x).对任意正实数x满足，
所以,
因为 ，所以g(x)也是偶函数.
当x∈(0，＋∞)时，,
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)单调递减，
若g(x)
例6．（江苏省苏州市2023届高三下学期3月模拟数学试题）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】成立设，
则，即时是增函数，
当时，，此时；
时，，此时．
又是奇函数，所以时，；
时
则不等式等价为或，
可得或，
则不等式的解集是，
故选：．
变式5．（西藏昌都市第四高级中学2023届高三一模数学试题）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，
当时，，
当时，，
在上单调递减；
又为的奇函数，
，即为偶函数，
在上单调递增；
又由不等式得，
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递减得，解得，故；
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递增得，解得，故；
综上所述，不等式的解集为：．
故选：D．
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型三：利用构造型
例7．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考文科数学试题）已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
∴在R上单调递增.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故选：A.
例8．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考数学试题）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
所以函数在上单调递增，又，所以．
又等价于，即，所以，
即所求不等式的解集为．
故选：B
例9．（广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2023届高三模拟仿真数学试题）已知是函数的导函数，对于任意的都有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】法一：构造特殊函数.令，则满足题目条件，把代入得解得，
故选：.
法二：构造辅助函数.令，则，
所以在上单调递增，
又因为，所以，所以，
故选：D.
变式6．（宁夏吴忠市2023届高三一轮联考数学试题）函数的定义域是，，对任意，，则不等式：的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【解析】构造函数，则，
，则函数在上单调递增，
由可得，可得，
因此，不等式的解集为.
故选：A.
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型四：用构造型
例10．（安徽省六安市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题）定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则可得
所以是上的奇函数，
，
当时，，所以，
是上单调递增，
所以是上单调递增，
因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得 解得：，
所以不等式的解集为，
故选：A.
例11．（广东省汕头市2023届高三三模数学试题）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
所以不等式等价转化为不等式，即
构造函数，则，
由题意，，所以为R上的增函数，
又，所以，
所以，解得，即，
所以，
故选：D.
例12．（陕西省安康市2023届高三下学期4月三模数学试题）已知函数的定义域为，且对任意，恒成立，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，该函数的定义域为，
则，所以在上单调递增．
由可得，即，
又在上单调递增，所以，解得，
所以原不等式的解集是，
故选：D．
变式7．（新疆克拉玛依市2023届高三三模数学试题）定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（ ）
A．（1，+∞）B．（1，+∞）C．（∞，1）D．（∞，1）
【答案】A
【解析】因为的图像关于点（，1）对称，
所以是奇函数，
因为对任意的实数均有成立，
所以对任意的实数均有成立，
令，
则 ，
所以 在上递增，
因为，
又，
所以，
故选：A
变式8．（浙江省绍兴市新昌中学2023届高三下学期5月适应性考试数学试题）若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题可设，因为，
则，
所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
∴，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：A.
变式9．（吉林省长春市吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期第四次摸底考试数学试题）设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
因为，
所以，
所以函数在上为增函数，
不等式即不等式，
又，，
所以不等式即为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
变式10．（四川省绵阳市南山中学2022-2023学年高三二诊热身考试数学试题）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以的图像关于直线对称，所以，
设，则 ，因为，所以,所以在上为减函数，
又 ，因为，所以 ，所以.
故选：.
变式11．（山东省烟台市2023届高三二模数学试题）已知函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由得，即，
可设，
当时，因得，
所以，
可化为，
即，
设，
因，故为偶函数
，
当时，因，，
故，所以在区间上单调递增，
因，
所以当时的解集为，
又因为偶函数，故的解集为.
故选：C
变式12．（江西省九江十校2023届高三第二次联考数学试题）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，
，即，
，
在上单调递减，又，
不等式，
即，，
原不等式的解集为.
故选：D
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型五：利用、与构造型
例13．（江西省2023届高三教学质量监测数学试题）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，化简得，
构造函数，
即当时，单调递增，
所以由，
则，
即.因为为偶函数且在上单调递增，
所以，解得.
故选：C.
例14．（天津市南开中学2023届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得
故选：D
例15．函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，
又由已知可得，，所以，
所以在上单调递增
因为，所以，
故，D正确，
故选：D
变式13．已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得
故选：D
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型六：利用与构造型
例16．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，
，
所以函数在单调递增，
因为函数为偶函数，所以函数也为偶函数，
且函数在单调递增，所以函数在单调递减，
因为，所以，
关于x的不等式可变为，也即，
所以，则解得或，
故选:C.
例17．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，设，则，
当时，因为，则有，
所以在上单调递减，
又因为在上是偶函数，可得，
所以是偶函数，
由，可得，即，即
又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，
解得或，
即不等式的解集为，
故选：B.
例18．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，
∵，即，即，故是奇函数，
由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续.
∵在上有，∴，
故在单调递增，
又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，
∵，
∴，
即，∴，故，
故选：B．
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型七：复杂型：与等构造型
例19．（广西柳州市2023届高三11月第一次模拟考试数学试题）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，构造，则，
且，故在上单调递减；
又为上的奇函数，故可得，
即，则.
则不等式等价于，
又因为是上的单调减函数，故解得.
故选：A.
例20．（河南省多校联盟2023届高考终极押题（C卷）数学试题）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设函数，
所以，因为，
所以，即，所以在上单调递减，因为，
所以，因为，整理得，
所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
例21．（2023届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知函数与定义域都为，满足，且有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得.
而，∴，∴在上单调递减，
又，则，
所以，则，
故不等式的解集为．
故选：D．
变式14．（陕西省渭南市华州区咸林中学2022-2023学年高三上学期开学摸底考试数学试题）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，所以，因为，所以，化简得，
所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，
得，即，
由在上单调递增，得解得，
所以不等式的解集为，
故选：B.
变式15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，可得，
因为，可得，
所以，所以函数为上的单调递增函数，
由不等式，可得，
所以，即
因为，令，可得，
又因为，可得，所以
所以不等式等价于，
由函数为上的单调递增函数，所以，即不等式的解集为.
故选：A.
变式16．（新疆新源县第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题）定义在R上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】将左右两边同乘得：，
令，则，所以在R上单调递增，且；不等式等价于，即，所以
故选：A
变式17．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2023届高三下学期第十二次适应性考试数学试题）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，则，
所以，函数为上的增函数，，
由可得，所以，.
故选：B.
【解题方法总结】
对于，构造
题型八：复杂型：与型
例22．（专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用—备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，设，则，则有，，即有，故函数的图象关于对称，则有，
当时，，，又由当时，，即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，即，，
函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，且在上恒成立，由可得，即，此时不存在.
综上：不等式解集为.
故选：A
例23．（辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则恒成立，故函数在上单调递增.
，则，即，故.
，即，即，故，解得.
故选：B.
例24．（山东省泰安肥城市2023届高三下学期5月高考适应性训练数学试题（三））定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，即，
即，即对恒成立，
令，则在上单调递增，
∵，∴，
由即，即，
因为在上单调递增，∴
故选：B.
【解题方法总结】
写出与的加、减、乘、除各种形式
题型九：复杂型：与结合型
例25．（2023届高三数学临考冲刺原创卷（四））已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据，得．
设（），则，
则函数在上单调递增，且，
则不等式，可化为，
则，解得.
故选：C．
例26．（华大新高考联盟2023届高三3月教学质量测评文科数学试题）已知函数的定义域为，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，其中，
则，
所以，函数在上单调递减，
易知，当时，，，此时，
当时，，，此时，
因为函数的定义域为，图象关于原点对称，即函数为奇函数，
若或时，，且，
由可得，
当时，即，可得或，此时，可得；
当时，即，可得，此时，可得.
因此，不等式的解集为.
故选：C.
例27．（2023届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，则的定义域为
且，所以在上单调递减.
因为，所以当时，；
当时，.
又当时，，当时，，
所以当时，恒有.
因为是上的奇函数，所以当时，，
所以等价于或
解得或，
所以不等式的解集是.
故选：D.
变式18．（广东省梅州市2023届高三二模数学试题）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，
则，
所以函数在上递增，
又因，
所以当时，，
当时，，
又因当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
又因为，所以当时，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，
由不等式，
得或，
解得，
所以不等式的解集是.
故选：B.
变式19．定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
则，由于,
故,故在单调递增，
而 ，
由，得 ，
∴ ，即 ,
∴不等式的解集为,
故选：D．
【解题方法总结】
1、对于，构造
2、写出与的加、减、乘、除各种结果
题型十：复杂型：基础型添加因式型
例28．（辽宁省名校联盟2023届高考模拟调研卷数学（三））已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
构造函数，当时，，
所以函数在区间内单调递增，且，
又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，
所以在区间内单调递减，且．
不等式整理可得：，
即，当时，，则，解得；当时，，则，
解得，又，所以．
综上，不等式的解集为．
故选：A．
例29．定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，则，所以等价于，
由，可得
则，
所以在上单调递增，所以由，得．
故选：D
例30．定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】构造函数，则，
因为，所以，所以单调递减，
又，所以，
不等式变形为，即，
由函数单调性可得：
故选：D
变式20．已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，当时，恒成立，即恒成立，
又由，可得，
令，可得，则函数为偶函数，
且当时，单调递增，
结合偶函数的对称性可得在上单调递减，
由，
化简得到，
即，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
【解题方法总结】
在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度
题型十一：复杂型：二次构造
例31．（福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题）函数满足：，，则当时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以，
令，则，且，
所以，
令，则，
令，解得：，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
则，故在上恒成立，
所以在上单调递减，
则当时，既无极大值，也无极小值.
故选：D
例32．（江西省百所名校2022-2023学年高三第四次联考数学试题）已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可.由，可得，
即，令，
则.
令，，
所以在上是单调递减函数.
不等式，
等价于，
即，，
所求不等式即，
由于在上是单调递减函数，
所以，解得，
且，即，
故不等式的解集为.
故选：D
例33．（河南省濮阳市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数为定义域在R上的偶函数，且当时，函数满足，，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，当时，．令，则，
，令，，
令，解得．可知函数在上单调递减﹐在上单调递增．
又，所以，，所以函数在上单调递减，
，可化为，又函数关于对称，
故或，
所以不等式的解集为．
故选：A
变式21．（宁夏平罗中学2023届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，，∴，
令，∴在上单调递减，
又是定义在上的连续偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，
∵，∴，
当，即时，，∴；
当，即时，，∴，则.
故不等式的解集为.
故选：A.
变式22．（江西省九江市2023届高三三模数学（理）试题）已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（ ）
A．单调递增B．单调递减C．有极大值D．有极小值
【答案】A
【解析】构造函数，则，
所以，，则，
设，则，，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，对任意的恒成立，
因此，函数在上单调递增.
故选：A.
变式23．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题）定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为，且，
所以，①
令，则，
又，记，
所以.
当时，，递减；当时，，递增.
结合①当时，，所以的最小值为0，即，
因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
变式24．（福建省泉州市2022-2023学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学（理）试题）设函数满足：，，则时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，又无极小值
【答案】B
【解析】，
令，则，
所以，
令，则，
即，
当时，，单调递增，而，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
故有极小值，无极大值，故选B.
变式25．（辽宁省大连市中山区第二十四中学2022-2023学年高三上学期11月月考数学试题）函数满足：， ．则时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以,
令，则 ，
所以，
令 ，则，
则当时， ，当时，
即函数在为增函数，在为减函数，
所以，
即，即函数在为减函数，
即时，既无极大值，也无极小值，
故选D.
变式26．设函数的导数为，且，，，则当时，
A．有极大值，无极小值B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设，所以，，所以存在使得，又 ，所以在上单调递增.
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
因此，当时，取极小值，但无极大值，故选B.
【解题方法总结】
二次构造：，其中等
题型十二：综合构造
例34．（福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，
，
，
当时，，则，
在上单增；
当时，，则，
在上单减；
，
不等式即为不等式，
关于直线对称，
，
解得或，
故选：．
例35．（贵州省铜仁市2023届高三适应性考试数学试题（—））已知定义在上的函数，为其导函数，满足①，②当时，.若不等式有实数解，则其解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】构造函数，
当时，递增，
由于，
所以，即，
所以是偶函数，所以当时，递减.
不等式等价于：
，
即，所以，
两边平方并化简得，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
例36．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三第一次模拟数学（文科）试题）已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，
因为是定义在R上的偶函数，
所以，
则，
所以函数也是偶函数，
，
因为当时，，
所以当时，，
所以函数在上递增，
不等式即为不等式，
由，得，
所以，
所以，解得或，
所以的解集是.
故选：B.
变式27．（贵州省绥阳县育才中学2023届高三信息压轴卷数学试题）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知可推得，.
令，则，
所以，
所以，为偶函数.
又，
因为当时，，
所以，，所以在上单调递增.
又为偶函数，所以在上单调递减.
由可得，
.
因为，
所以，.
因为在上单调递减，为偶函数，
所以有，
平方整理可得，，
解得.
故选：C.
变式28．（安徽省淮南市2023届二模数学试题）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
令，则，
∴在上为奇函数，
又∵当时，，
∴当时，，
∴在上单调递增，
又∵在上为奇函数，
∴在上单调递增，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵在上单调递增，
∴，解得：.
故选：A.
变式29．（安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质量检查数学试题）已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则在上是减函数.，
所以
得，又，所以.
故选：A.
【解题方法总结】
结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者（为常见函数）
题型十三：找出原函数
例37．（甘肃省武威市第六中学2023届高三上学期第二次阶段性过关考试数学（文）试题）已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是
A．(0,e)B．(0, )C．( ,e)D．(e,+∞)
【答案】A
【解析】令，则有， ,
,又 ,得
，,再令,则 ,故函数在上递减,
不等式 等价于,所以 ,故选A
例38．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值．由题意可知，，即，
所以，
令，则，
因为函数在处存在导数，所以为定值，，，
所以，
令，当时，，
构建函数，则有，
所以函数在上单调递增，
当，，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以当时函数必有一解，
令这一解为，，则当时，
当时，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
例39．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】因为，，
所以，所以，
因为函数是连续函数，所以由，可得，
代入，可得，
所以，
当时，，
令，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以函数在上单调递增，
所以既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【解题方法总结】
熟悉常见导数的原函数.
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