中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题8二次函数与矩形存在性问题（原卷版+解析）

这是一份中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题8二次函数与矩形存在性问题（原卷版+解析），共91页。试卷主要包含了矩形的判定，题型分析，5时，w最大＝20，5）；等内容，欢迎下载使用。


1.矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角为直角的四边形是矩形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下：
同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标.

【例1】．(2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】(2023•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
【例3】(2023•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【例4】．(2023•梁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
1．(2023•武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A（﹣6，0）、B（2，0）两点．
（1）求抛物线L1的函数表达式；
（2）将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．(2023•东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B．△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，连接DE．当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：四边形OBED是矩形；
（3）在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当△DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP．使得∠OPD+∠DOE＝90°，求点P的坐标．
3．(2023•石家庄二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC．
（1）点C的纵坐标为 （用含b的式子表示），∠OBC＝ 度；
（2）当b＝1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为（3，2）．
①抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；
②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围．
4．(2023•滨海县一模）如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
（1）求抛物线的表达式：
（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：
（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN＝QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
5．(2023•石家庄模拟）某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米．
（1）请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；
（2）若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；
（3）现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN（如图2），对观景桥表面进行维护，P，N点在抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下．
6．(2023•朝阳区校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣m与y轴交于点M，直线y＝m+5与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，直线y＝﹣2m与y轴交于点D（A与D不重合），与直线x＝4交于点C，构建矩形ABCD．
（1）当点M在线段AD上时，求m的取值范围．
（2）求证：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m+5恒有两个交点．
（3）当抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
（4）当抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取值范围．
7．(2023•长春一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1．
（1）写出抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1的顶点坐标（用含m的式子表示）．
（2）当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
（3）当﹣1≤x≤2时，函数y＝x2﹣2mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0．当y0＝﹣1时，求m的值．
（4）当m＞0时，分别过点A（2，1）、B（2，4）作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象（包括边界）的最低点到直线y＝﹣2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值．
8．(2023•咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点Q与点M重合时，求m的值；
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
9．(2023•白山模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+b（b为常数，b≠0）与y轴交于点A，且点A的坐标为（0，3），过点A作垂直于y轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其横坐标为﹣m+1．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值；
（2）当点Q与点M重合时，求m的值；
（3）当矩形PQMN为正方形时，求m的值；
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
10．(2023•吉林四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣与x轴交于点A（5，0），与该抛物线的对称轴l交于点B，作直线AB．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AB的解析式；
（3）当该抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标；
（4）当该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等时，直接写出m的值．
11．(2023•南关区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．
（1）当（﹣，m）在抛物线上，求m的值．
（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值．
（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．
①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．
12．(2023•吉林二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A，过点A的直线y＝kx+b（k≠0）与该抛物线的另一个交点B的横坐标为2，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使PD＝1，以CD为边作矩形CDEF，设点E的横坐标为2m．
（1）求直线AB对应的函数关系式；
（2）当点P与点A重合时，求点E的坐标；
（3）当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF的距离；
（4）当矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
13．(2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
14．(2023•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，﹣1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．
（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．
（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．
①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．
②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．
（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．
15．(2023•丹东）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
16．如图，已知抛物线C1：y＝a1x2+b1x+1c和C2：y＝a2x2+b2x+c2（|a1|＝|a2|）都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线．
（1）观察图象，写出对称抛物线两条特征；（如：抛物线开口大小相同）
（2）若抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2x，确定对称抛物线C2的解析式．
（3）若MN＝4，且四边形ANBM是矩形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式．
17．(2023•福田区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于点A，B，直线y＝x+1与抛物线交于点A，C（3，n）．点P为对称轴左侧抛物线上一动点，其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标．
（2）已知直线l：x＝m+5与直线AC交于点D，过点P（横坐标为m），作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF．
①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，m的取值范围为 （请直接写出）
②在①的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值．
18．(2023•绿园区模拟）已知二次函数y＝﹣n2+2n﹣3，点A、点B均在此二次函数的图象上，点A的横坐标为n﹣1，点B的横坐标为2n﹣2，在点A和点B之间的图象为G．
（1）当n＝2时，
①求二次函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
（2）AB所在的直线交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，直接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时n的值．
（3）当图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3，直接写出满足条件的n的取值范围．
19．(2023•罗湖区二模）【实践与探究】九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 ．
（2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．
Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．(2023•安徽模拟）如图；已知抛物线y＝ax2+3x+c与直线y＝x+1交于两点A，B（3，n），且点A在x轴上．
（1）求a，c，n的值；
（2）设点P在抛物线上，其横坐标为m．直线l：x＝m+5与直线AB交于点C，过点P作PD⊥l于点D，以PD，CD为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部．
①直接写出：m的取值范围是 ；
②求PD+CD的最小值．
21．(2023春•朝阳区校级月考）已知抛物线L：y＝﹣x2+4x+a（a≠0）．
（1）抛物线L的对称轴为直线 ．
（2）当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围．
（3）当a＜0时，直线x＝a、x＝﹣3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴．若抛物线L在矩形ABCD内部（包含边界）最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．
（4）点M的坐标为（4，﹣1），点N的坐标为（﹣1，﹣1），当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
22．(2023•烟台一模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；
（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．(2023•海口模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．点D（2，3）在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点．
（1）求该抛物线对应的二次函数的关系式；
（2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；
（3）如图，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为（0，n），点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形．
①求n的值；
②若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．
24．(2023•锦州二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）和点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
（3）若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
专题8二次函数与矩形存在性问题
1.矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角为直角的四边形是矩形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下：
同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标.

【例1】(2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中列方程组解出即可；
（2）利用待定系数可得直线AB的解析式，再设直线DE的解析式为：y＝mx，点D是直线DE和AB的交点，列方程可得点D的横坐标，根据△BDO与△OCE的面积相等列等式可解答；
（3）设P（t，﹣t2+t+4），分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等角的三角函数列等式可解答．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+4，
设直线DE的解析式为：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝，
当x＝3时，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴•3•（﹣3m）＝•4•，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m1＝﹣，m2＝（舍），
∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；
（3）存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P（t，﹣t2+t+4），
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，
∵四边形BPGF是矩形，
∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，
∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，
∵∠PHB＝∠FCG＝90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），
∴PH＝CF，
∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，
∵∠PBH＝∠OFB，
∴＝，即＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝1，
∴F（2，0）；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，
同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，
∵∠OFB＝∠FPM，
∴tan∠OFB＝tan∠FPM，
∴＝，即＝，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴F（，0）；
综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．
【例2】(2023•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x＝2，可得出抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣2，0），列出交点式，再将点A（0，﹣4）可得出抛物线的解析式；
（2）根据可得出△ABD是等腰直角三角形，再根据点E的运动和正方形的性质可得出点H，F，G的坐标，根据点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，将点G代入直线BC的解析式即可；
（3）若存在，则△BGC是直角三角形，则需要分类讨论，当点B为直角顶点，当点G为直角顶点，当点C为直角顶点，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），
∴抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣6），
将点A（0，﹣4）解析式可得，﹣12a＝﹣4，
∴a＝．
∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣x﹣4．
（2）∵AB⊥y轴，A（0，﹣4），
∴点B的坐标为（4，﹣4）．
∵D（4，0），
∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∵AE＝m，
∴AF＝EF＝m，
∴E（m，﹣4+m），F（m，﹣4）．
∵四边形EGFH是正方形，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴FH是∠AFE的角平分线，点H是AE的中点．
∴H（m，﹣4+m），G（m，﹣4+m）．
∵B（4，﹣4），C（6，0），
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣12．
当点G随着E点运动到达BC上时，有2×m﹣12＝﹣4+m．
解得m＝．
∴G（，﹣）．
（3）存在，理由如下：
∵B（4，﹣4），C（6，0），G（m，﹣4+m）．
∴BG2＝（4﹣m）2+（m）2，
BC2＝（4﹣6）2+（﹣4）2＝20，
CG2＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2．
若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则△BGC是直角三角形，
∴分以下三种情况：
①当点B为直角顶点时，BG2+BC2＝CG2，
∴（4﹣m）2+（m）2+20＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2，
解得m＝，
∴G（，﹣）；
②当点C为直角顶点时，BC2+CG2＝BG2，
∴20+（6﹣m）2+（﹣4+m）2＝（4﹣m）2+（m）2，
解得m＝，
∴G（，﹣）；
③当点G为直角顶点时，BG2+CG2＝BC2，
∴（4﹣m）2+（m）2+（6﹣m）2+（﹣4+m）2＝20，
解得m＝或2，
∴G（3，﹣3）或（，﹣）；
综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G的坐标为（，﹣）或（，﹣）或（3，﹣3）或（，﹣）．
【例3】(2023•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线经过点B（3，0），可得A（﹣1，0），用待定系数法即可求解；
（2）求出直线BC的解析式，设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），利用勾股定理表示出AC2，AN2，CN2，然后分①当AC＝AN时，②当AC＝CN时，③当AN＝CN时三种情况进行讨论，列出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标；
（3）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），
∴A（﹣1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝12+32＝10，
AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，
CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，
①当AC＝AN时，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t+10，
解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（2，1）；
②当AC＝CN时，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，
解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（，3﹣）；
③当AN＝CN时，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t+10＝2t2，
解得t＝，
∴点N的坐标为（，）；
综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）；
（3）设E（1，a），F（m，n），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3，
①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，
∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，
解得：a＝，或a＝，
∴E（1，）或（1，），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，
∴m＝2，n＝或n＝，
∴点F的坐标为（2，）或（2，）；
②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，
∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E（1，4）或（1，﹣2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），
综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．
【例4】(2023•梁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a即可；
（2）由△CMD∽△FMP，可得m＝＝，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时；
【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），
∵OC＝2OA，OA＝2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．
（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m＝＝，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，
∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，
有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，
∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），
由△DOE∽△QOD可得＝，
∴OD2＝OE•OQ，
∴1＝•OQ，
∴OQ＝，
∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，
∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2＝PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
1．(2023•武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A（﹣6，0）、B（2，0）两点．
（1）求抛物线L1的函数表达式；
（2）将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）存在，根据题意求得抛物线L2的表达式，再与抛物线L1联立，求得点C的坐标，进而求得点D的坐标；要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，分当M在x轴上方时和当M在x轴下方时，两种情况讨论，根据矩形的性质列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）把A（﹣6，0）、B（2，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解得，
∴抛物线L1的函数表达式为y＝﹣x2﹣4x+12；
（2）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16，
∴抛物线L2的函数表达式为y＝﹣（x+2﹣4）2+16＝﹣（x﹣2）2+16＝﹣x2+4x+12，
令﹣x2﹣4x+12＝﹣x2+4x+12，
解得：x＝0，
当x＝0时，y＝﹣x2﹣4x+12＝12，
∴点C的坐标为（0，12），
∵点D是点C关于x轴的对称点，
∴点D坐标为（0，﹣12），
①当M在x轴上方时，
要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，
则yM＝yC，即﹣x2+4x+12＝12，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴M1（4，12）；
②当M在x轴下方时，
要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，
则yM＝yD，即﹣x2+4x+12＝﹣12，
解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，
M2（2+2，﹣12），M3（2﹣2，﹣12）．
综上所述，在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，点M的坐标为（4，12）或（2+2，﹣12）或（2﹣2，﹣12）．
2．(2023•东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B．△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，连接DE．当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：四边形OBED是矩形；
（3）在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当△DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP．使得∠OPD+∠DOE＝90°，求点P的坐标．
【分析】（1）由题意可知抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（﹣，0），再将两个点代入解析式即可求解；
（2）由旋转是性质，可得OB＝AB，则设A（﹣m，m），求出A点坐标，由此可得BE＝OD，再由BE∥OD，OB⊥OD即可证明；
（3）设N（n，0），则F（n，n），则S＝﹣（n﹣1）2+，可知当n＝1时，S有最大值，此时N（1，0），F（1，），通过已知可推导出∠OPN＝∠POE，从而得到PF＝OF，设P（1，t），则|t﹣|＝，求出t的值即可求点P的坐标．
【解答】（1）解：∵当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2，
∴抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（﹣，0），
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣1；
（2）证明：由（1）可知D（2，0），C（0，﹣1），
∴OD＝2，OC＝1，
∵AB⊥y轴，
∴△ABC是直角三角形，
∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，
∴OB⊥BE，AB＝OB，
设A（﹣m，m），
∴m＝m2﹣m﹣1，
解得m＝﹣1或m＝，
∴A（﹣1，1），
∴BO＝1，
∴BC＝BE＝2，
∴BE＝OD，
∵∠BOD＝90°，
∴BE∥OD，
∴四边形OBED是矩形；
（3）∵E（2，1），
∴直线OE的解析式为y＝x，
设N（n，0），则F（n，n），
∴S＝×DN×FN＝×（2﹣n）×n＝﹣（n﹣1）2+，
∵N在线段OD上，
∴0≤n≤2，
∴当n＝1时，S有最大值，
此时N（1，0），F（1，），
∵∠PNO＝90°，
∴∠EOD+∠POE＝90°，
∵∠OPD+∠DOE＝90°，
∴∠POE+∠OPN＝∠OPD，
∵O点与D点关于l对称，
∴∠OPN＝∠NPD，
∴∠OPN＝∠POE，
∴PF＝OF，
设P（1，t），
∴|t﹣|＝，
∴t＝+或t＝﹣+，
∴P点坐标为（1，+）或（1，﹣+）．
3．(2023•石家庄二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC．
（1）点C的纵坐标为 b+1 （用含b的式子表示），∠OBC＝ 45 度；
（2）当b＝1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为（3，2）．
①抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；
②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）将（﹣1，0）代入解析式可得c与b的关系，从而可得OB＝OC，进而求解．
（2）由b＝1可得抛物线解析式及点B，C坐标，根据待定系数法求出直线BC解析式，设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），作PE⊥x轴交BC于点E，连接PC，PB，由S△BCP＝S△CEP+S△BEP求解．
（3）①将二次函数解析式化为顶点式可得点Q坐标，由点A，Q坐标可得A，Q中点坐标，进而求解．
②根据抛物线与y轴交点的位置及抛物线对称轴的位置，结合图象求解．
【解答】解：（1）将（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得0＝﹣1﹣b+c，
解得c＝b+1，
∴y＝﹣x2+bx+b+1，
设点B坐标为（x2，0），则抛物线对称轴为直线x＝＝，
解得x2＝b+1，
∴点B坐标为（b+1，0），
∴OC＝OB＝b+1，
∴∠OBC＝45°，
故答案为：b+1，45．
（2）当b＝1时，y＝﹣x2+x+2，
作PE⊥x轴交BC于点E，连接PC，PB，
设直线BC解析式为y＝kx+b，
将B（2，0），（0，2）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣x+2．
设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），则点E坐标为（m，﹣m+2），
∴PE＝﹣m2+2m，
∵S△BCP＝S△CEP+S△BEP＝PE•xP+PE（xB﹣xP）＝PE•xB＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，
∴m＝1时，△BCP面积的最大为1，此时点P坐标为（1，2）．
（3）①∵y＝﹣x2+bx+b+1＝﹣（x﹣）2++b+1，
∴点Q坐标为（，+b+1），
∵A（﹣1，0），
∴点A，Q中点坐标为（﹣+，++），
∴++＝2，
解得b＝2或b＝﹣6，
当b＝2时，点Q坐标为（1，4），
当b＝﹣6时，点Q坐标为（﹣3，4）．
②∵E（3，2），
∴点F坐标为（0，2），
将（0，2）代入y＝﹣x2+bx+b+1得b+1＝2，
解得b＝1，
将E（3，2）代入y＝﹣x2+bx+b+1得2＝﹣9+4b+1，
解得b＝，
∴1≤b＜，满足题意．
当抛物线顶点Q（，+b+1）落在y轴上时，＝0，
解得b＝0，
当抛物线经过原点时，0＝b+1，
解得b＝﹣1，
∴﹣1＜b≤0符合题意．
综上所述，1≤b＜或﹣1＜b≤0．
4．(2023•滨海县一模）如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
（1）求抛物线的表达式：
（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：
（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN＝QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，即知抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；
（2）由y＝﹣x2+x+2求出P（，），由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为y＝﹣x+2，从而可得E（，），PE＝﹣＝，即可得△PBC的面积是；
（3）①过点N作NG⊥EF于点G，求得直线BM的表达式为：y＝2x﹣8即知M（0，﹣8），设E（a，﹣a+2），则F（a，2a﹣8），证明△NEG≌△BFH（AAS），可得NG＝BH，EG＝FH，即有a＝4﹣a，解得F（2，﹣4），E（2，1），从而可得N（0，﹣3）；
②取MN的中点D，由QN＝QM，知点Q在MN的垂直平分线上，又C△QNB＝BQ+NQ+BN＝BQ+NQ+5＝BQ+MQ+5，故要使C△QNB最小，只需BQ+MQ最小，即点B、Q、M共线，此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，由N（0，﹣3），M（0，﹣8），得D（0，﹣），即可得Q（，﹣）．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；
（2）如图：
∵点P落在抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴上，
∴P为抛物线y＝﹣x2+x+2的顶点，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴P（，），
在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2）
由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
把x＝代入y＝﹣x+2得y＝，
∴E（，），
∴PE＝﹣＝，
∴S△PBC＝PE•|xB﹣xC|＝××4＝，
答：△PBC的面积是；
（3）①过点N作NG⊥EF于点G，如图：
∵y＝2x+m过点B（4，0），
∴0＝2×4+m，
解得m＝﹣8，
∴直线BM的表达式为：y＝2x﹣8，
∴M（0，﹣8），
设E（a，﹣a+2），则F（a，2a﹣8），
∵四边形BENF为矩形，
∴∠NEG＝∠BFH，NE＝BF，
又∠NGE＝90°＝∠BHF，
∴△NEG≌△BFH（AAS），
∴NG＝BH，EG＝FH，
而NG＝a，BH＝OB﹣OH＝4﹣a，
∴a＝4﹣a，
解得a＝2，
∴F（2，﹣4），E（2，1），
∴EH＝1，
∵EG＝FH，
∴EF﹣EG＝EF﹣FH，即GF＝EH＝1，
∵F（2，﹣4），
∴G（2，﹣3），
∴N（0，﹣3）；
②取MN的中点D，如图：
∵QN＝QM，
∴点Q在MN的垂直平分线上，
又∵B（4，0），N（0，﹣3），
∴BN＝5，
∴C△QNB＝BQ+NQ+BN＝BQ+NQ+5＝BQ+MQ+5，
∴要使C△QNB最小，只需BQ+MQ最小，
∴当点B、Q、M共线时，△QNB的周长最小，
此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，
∵N（0，﹣3），M（0，﹣8），
∴D（0，﹣），
在y＝2x﹣8中，令y＝﹣得：
﹣＝2x﹣8，
解得x＝，
∴Q（，﹣）．
5．(2023•石家庄模拟）某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米．
（1）请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；
（2）若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；
（3）现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN（如图2），对观景桥表面进行维护，P，N点在抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下．
【分析】（1）以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，用待定系数法求解即可；
（2）确定立柱的纵坐标，解方程可得答案；
（3）设N（m，﹣m2+8），则PN＝2m，MN＝PQ＝﹣m2+8，三根支杆的总长度w＝﹣m2+2m+16，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图，以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，
由题意得，E（0，8），A（﹣6，4），
设抛物线的解析式为y＝ax2+c，
代入可得，解得，
∴y＝﹣x2+8；
（2）依题意可得﹣x2+8＝7，
解得x＝±3，
∴3﹣（﹣3）＝6（米），
答：这两根立柱之间的水平距离是6米；
（3）设N（m，﹣m2+8），则PN＝2m，MN＝PQ＝﹣m2+8，
∴三根支杆的总长度w＝PQ+PN+MN+2m+2（﹣m2+8）＝﹣m2+2m+16，
∵a＝﹣＜0，
∴m＝﹣＝4.5时，w最大＝20.5，
∴三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值为20.5米．
6．(2023•朝阳区校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣m与y轴交于点M，直线y＝m+5与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，直线y＝﹣2m与y轴交于点D（A与D不重合），与直线x＝4交于点C，构建矩形ABCD．
（1）当点M在线段AD上时，求m的取值范围．
（2）求证：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m+5恒有两个交点．
（3）当抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
（4）当抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由题意得：M（0，﹣m），A（0，m+5），D（0，﹣2m），分两种情况：当m+5＞﹣2m，即m＞﹣时，当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，分别根据“点M在线段AD上”，列出不等式求解即可；
（2）由题意得：x2﹣2mx﹣2m﹣5＝0，根据根的判别式即可证得结论；
（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣m2﹣m），开口向上，分三种情况：①当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，②当m+5＞﹣2m，即﹣＜m≤0时，③当16﹣9m≤﹣2m，即m≥时，分别画出图形讨论即可；
（4）由题意得：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0≤x≤4，点B（4，m+5）到x轴的距离为|m+5|，根据“抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的”分三种情况：①当m＜﹣5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（﹣m﹣，﹣2m），②当﹣5≤m＜时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，﹣2m），③当m＞﹣，且16﹣9m≥m+5，即﹣＜m≤时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，m+5），分别代入抛物线解析式求解即可．
【解答】（1）解：由题意得：M（0，﹣m），A（0，m+5），D（0，﹣2m），
当m+5＞﹣2m，即m＞﹣时，
∵点M在线段AD上，
∴﹣2m＜﹣m＜m+5，
∴m＞0；
当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，
∵点M在线段AD上，
∴m+5＜﹣m＜﹣2m，
∴m＜；
综上所述，m的取值范围为m＞0或m＜．
（2）证明：当x2﹣2mx﹣m＝m+5时，
整理得：x2﹣2mx﹣2m﹣5＝0，
Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣2m﹣5）＝4（m+1）2+16，
∵4（m+1）2≥0，
∴4（m+1）2+16＞0，
∴抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m+5恒有两个交点．
（3）解：∵y＝x2﹣2mx﹣m＝（x﹣m）2﹣m2﹣m，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣m2﹣m），开口向上，与y轴的交点M（0，﹣m），
①当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，如图1，
此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；
②当m+5＞﹣2m，即﹣＜m≤0时，如图2，
此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；
③当m＞0时，如图3，
令x＝4，则y＝16﹣8m﹣m＝16﹣9m，
当16﹣9m≤﹣2m，即m≥时，抛物线在矩形内部（不包括边界）的函数值y随着x的增大而减小；
综上，m的取值范围为m＜﹣或﹣＜m≤0或m≥．
（4）解：由题意得：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0≤x≤4，
点B（4，m+5）到x轴的距离为|m+5|，
当x＝4时，y＝16﹣9m，
∵抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的，
∴抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标为|m+5|，
①当m＜﹣5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（﹣m﹣，﹣2m），
∴﹣2m＝（﹣m﹣）2﹣2m（﹣m﹣）﹣m，
解得：m＝，
∵m＜﹣5，
∴m＝﹣；
②当﹣5≤m＜时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，﹣2m），
∴﹣2m＝（m+）2﹣2m（m+）﹣m，
解得：m＝﹣1，
∵﹣5≤m＜，
∴m＝﹣1﹣；
③当m＞﹣，且16﹣9m≥m+5，即﹣＜m≤时，
抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，m+5），
∴m+5＝（m+）2﹣2m（m+）﹣m，
解得：m＝﹣3，
∵﹣＜m≤，
∴m＝﹣3+；
综上所述，m的值为﹣或﹣1﹣或﹣3+．
7．(2023•长春一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1．
（1）写出抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1的顶点坐标（用含m的式子表示）．
（2）当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m≤1 ．
（3）当﹣1≤x≤2时，函数y＝x2﹣2mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0．当y0＝﹣1时，求m的值．
（4）当m＞0时，分别过点A（2，1）、B（2，4）作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象（包括边界）的最低点到直线y＝﹣2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值．
【分析】（1）由y＝（x﹣m）2﹣m2+2m+1，即可求解；
（2）由抛物线的图象可得m≤1时，y随x的增大而增大；
（3）分三种情况讨论：当m＜﹣1时，y0＝2+4m＝﹣1，解得m＝﹣（舍）；当m＞2时，x＝2，函数有最小值，y0＝5﹣2m＝﹣1，解得m＝3；当﹣1≤m≤2时，y0＝﹣m2+2m+1＝﹣1，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；
（4）分五种情况讨论：当0＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当＜m≤1时，﹣m2+2m+1+2＝4﹣2m+1，解得m＝+2（舍）或m＝﹣+2；当1＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，解得m＝或m＝﹣（舍）；当＜m≤2时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当m＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，此时不符合题意．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+2m+1＝（x﹣m）2﹣m2+2m+1，
∴顶点坐标为（m，﹣m2+2m+1）；
（2）∵抛物线开口向上，
∴m≤1时，y随x的增大而增大，
故答案为：m≤1；
（3）当m＜﹣1时，x＝﹣1，函数有最小值，
∴y0＝2+4m，
∵y0＝﹣1，
∴2+4m＝﹣1，
解得m＝﹣（舍）；
当m＞2时，x＝2，函数有最小值，
∴y0＝5﹣2m，
∵y0＝﹣1，
∴5﹣2m＝﹣1，
解得m＝3；
当﹣1≤m≤2时，x＝m，函数有最小值，
∴y0＝﹣m2+2m+1，
∵y0＝﹣1，
∴﹣m2+2m+1＝﹣1，
解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；
综上所述：m的值为3或﹣+1；
（4）当0＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝4，
解得m＝1（舍）；
当＜m≤1时，﹣m2+2m+1+2＝4﹣2m+1，
解得m＝+2（舍）或m＝﹣+2；
当1＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，
解得m＝或m＝﹣（舍）；
当＜m≤2时，﹣m2+2m+1+2＝4，
解得m＝1（舍）；
当m＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，
∴3≠4，
∴此时不符合题意；
综上所述：m的值为或2﹣．
8．(2023•咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点Q与点M重合时，求m的值；
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可．
（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．
（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中．当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中．
【解答】解：（1）∵抛物线的图象经过点A（3，0），
∴＝0，
解得b＝1．
∴抛物线解析式为：．
（2）∵P点的横坐标为m，且P点在抛物线y＝的图象上，
∴P点的坐标为（m，），
∵PQ⊥l，l过A点且垂直于x轴，
∴Q点的坐标为（3，），
∵M点的坐标为（3，﹣m+），
∵Q点与M点重合，
∴＝﹣m+，
解方程得：m＝0或m＝4．
（3）∵抛物线＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）．
∵N点的坐标为N（m，﹣m+），
要使顶点（1，2）在正方形PQMN内部，
∴﹣m+＞2，得m＜﹣．
∴PN＝﹣m+﹣（）＝m2﹣2m，PQ＝3﹣m．
∵四边形PQMN是正方形，
∴m2﹣2m＝3﹣m，
解得m＝1+（舍去）或m＝1﹣．
∴当m＝1﹣时，抛物线顶点在正方形PQMN内部．
（4）∵M点的纵坐标﹣m+，随P点的横坐标m的增大而减小，根据（1）的结果得：
当m＝0时，M，Q两点重合；m＝3时，P，Q重合；m＝4时，M，Q重合，矩形PQMN不存在；
当m＜0时，直线MN在直线PQ上方，抛物线顶点在矩形PQMN内部，不合题意．
当0＜m＜4时，直线MN在直线PQ下方，如图4﹣1，
当3＜m＜4时，矩形内部没有抛物线图象，不合题意；
当m＞4时，直线MN在直线PQ上方，矩形内部有抛物线，且为对称轴右侧，y随x的增大而减小，如图4﹣2；
综上：当0＜m＜3或m＞4时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小．
9．(2023•白山模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+b（b为常数，b≠0）与y轴交于点A，且点A的坐标为（0，3），过点A作垂直于y轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其横坐标为﹣m+1．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值；
（2）当点Q与点M重合时，求m的值；
（3）当矩形PQMN为正方形时，求m的值；
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）根据点Q与点M的横坐标相等构建方程求解即可．
（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．
（4）当点P在直线l的下边，点M在点Q右侧时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，则有﹣m+1≤2，解得﹣1≤m＜0；当点Q在点M右边时，存在两段，不合题意；当0＜m＜2时，点P在l的上方，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，有＜m＜2．
【解答】解：（1）把点A（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b，得到b＝3．
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴P（m，﹣m2+2m+3），
∵PQ⊥l，且l⊥y轴，
∴PQ∥y，
∴Q（m，3）；
∵点M（﹣m+1，3）与点Q重合，
∴﹣m+1＝m，
解得m＝．
（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
由题意PQ＝MQ，
∴|﹣m2+2m+3﹣3|＝|﹣m+1﹣m|
解得，m＝1或m＝﹣1或m＝2+或m＝2﹣．
（4）根据题意可知，需要分类讨论：
当点P在直线l的下边，点M在点Q右侧时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，如图1，
此时﹣m+1≤2，解得﹣1≤m＜0；
当点P在直线l的下边，点Q在点M右边时，如图2，存在两段，不合题意；
当点P在l上方时，如图3和4，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，
当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，有＜m＜2．
综上，当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，﹣1≤m＜0或＜m＜2．
10．(2023•吉林四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣与x轴交于点A（5，0），与该抛物线的对称轴l交于点B，作直线AB．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AB的解析式；
（3）当该抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标；
（4）当该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等时，直接写出m的值．
【分析】（1）把点A（5，0）代入抛物线y＝x2+bx﹣中可解答；
（2）根据配方法可得抛物线顶点B的坐标，利用待定系数法可得直线AB的解析式；
（3）分两种情况：①点P在对称轴的左侧；②点P在对称轴的右侧；根据该抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2列方程可解答；
（4）先求抛物线与y轴交点的坐标，根据该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等可知：点Q的纵坐标为﹣，将y＝﹣代入直线AB的解析式可得答案．
【解答】解：（1）把点A（5，0）代入抛物线y＝x2+bx﹣中得：
+5b﹣＝0，
解得：b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣＝（x﹣2）2﹣，
∴B（2，﹣），
设直线AB的解析式为：y＝kx+n，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣；
（3）由题意得：P（m，m2﹣2m﹣），
∴Q（m，m﹣），
分两种情况：
①如图1，当点P在对称轴的左侧时，
∵抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2，
∴m2﹣2m﹣+＝2，
解得：m1＝0，m2＝4（舍），
∴P（0，﹣）；
②如图2，当点P在对称轴的右边时，
∵抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2，
∴m2﹣2m﹣﹣m+＝2，
解得：m1＝6，m2＝1（舍），
∴P（6，3.5）；
综上，点P的坐标为（0，﹣）或（6，3.5）；
（4）如图3，当x＝0时，y＝﹣
∵该抛物线与坐标轴的交点到直线MQ的距离相等，即点D与C到直线MQ的距离相等，
∴点Q的纵坐标为﹣，
当y＝﹣时，m﹣＝﹣，
解得：m＝．
11．(2023•南关区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．
（1）当（﹣，m）在抛物线上，求m的值．
（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值．
（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．
①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．
【分析】（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a求解．
（2）求出顶点坐标，通过顶点纵坐标为±求解．
（3）①通过数形结合，讨论抛物线对称轴与矩形边的位置关系与抛物线经过临界点时的值求解．
②分类讨论点B在A上方与点B在A下方两种情况，分别求出最高点与最低点坐标作差求解．
【解答】解：（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a可得：
m＝+a﹣a，
∴m＝．
（2）∵y＝x2﹣2ax﹣a＝（x﹣a）2﹣a2﹣a，
∴抛物线顶点坐标为（a，﹣a2﹣a），
当﹣a2﹣a＝时，
解得a＝﹣，
当﹣a2﹣a＝﹣时，
解得a＝或a＝．
∴a＝﹣或a＝或a＝．
（3）①AB所在直线解析式为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入y＝x2﹣2ax﹣a得y＝1+a，
∴点P坐标为（﹣1，1+a），
当点B在点A上方时，2a﹣＞1+a＞﹣1，
解得a＞，
∵PB＝PM＝2a﹣﹣（1+a）＝a﹣，
∴点M横坐标为﹣1+a﹣＝a﹣，
∵a＞a﹣，
∴抛物线对称轴在点M右侧，满足题意，
∴a＞．
当点B在点A下方时，﹣1＞1+a＞2a﹣，
解得a＜0，
∵PB＝PM＝1+a﹣（2a﹣）＝﹣a，
∴点M横坐标为﹣1﹣（﹣a）＝a﹣，
当抛物线经过点M时，a＝，
解得a＝﹣，
∴﹣＜a＜0满足题意．
综上所述，﹣＜a＜0或a＞．
②由①得Q的横坐标为a﹣，
∴Q的坐标为（a﹣，1），
当a＞，抛物线经过点Q时，将（a﹣，1）代入抛物线解析式得：
1＝（a﹣）2﹣2a（a﹣）﹣a，
解得a＝或a＝（舍），
抛物线与直线x＝a﹣交点为（a﹣，﹣a2﹣a+），
当＜a＜时，抛物线与矩形交点最高点为点P（﹣1，1+a），最低点纵坐标为1，
（1+a）﹣1＝时，解得a＝（舍）．
当点P为最高点，抛物线与MQ交点E为最低点时，
（1+a）﹣（﹣a2﹣a+）＝，
解得a＝﹣1﹣（舍）或a＝﹣1+．
当a＜0时，抛物线经过点Q时，a＝，
∴≤a＜0时，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1，最低点纵坐标为点P纵坐标为1+a，
当1﹣（1+a）＝时，a＝﹣．
当a＜时，抛物线与直线MQ交点（a﹣，﹣a2﹣a+）为最高点，点P为最低点，
当﹣a2﹣a+﹣（1+a）＝时，解得a＝﹣1+（舍）或a＝﹣1﹣．
综上所述，a＝﹣1﹣或a＝﹣或a＝﹣1+．
12．(2023•吉林二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A，过点A的直线y＝kx+b（k≠0）与该抛物线的另一个交点B的横坐标为2，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使PD＝1，以CD为边作矩形CDEF，设点E的横坐标为2m．
（1）求直线AB对应的函数关系式；
（2）当点P与点A重合时，求点E的坐标；
（3）当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF的距离；
（4）当矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）求出A，B两点坐标，利用待定系数法求解即可．
（2）构建方程求解即可．
（3）由题意，得点E的坐标为．代入抛物线的解析式，构建方程求解即可．
（4）求出三种特殊情形m的值，利用图象法判断即可．
【解答】解：（1）当x＝2时，．
∴点B的坐标为（2，），
当y＝0时，．
解得x1＝﹣1，x2＝3．
∵抛物线与x轴正半轴交于点A，
∴点A的坐标为（3，0）．
由题意，得，
解得，
∴直线AB对应的函数关系式为．
（2）当点P与点A重合时，m+1＝3．
解得m＝2．
∴2m＝4．
∵点D的纵坐标为1．
∴点E的坐标为（4，1）．
（3）将配方，得．
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）．
由题意，得点E的坐标为．
∵点E在该抛物线上，
∴．
解得，．
当2m＜1时，即，顶点（1，﹣2）在EF的右边．
∵，
∴抛物线的顶点到EF的距离为．
当2m＞1时，即，顶点（1，﹣2）在EF的左边．
∵，
∴抛物线的顶点到EF的距离为．
综上所述，抛物线的顶点到EF的距离为或．
（4）当点F（2m，m﹣3）在抛物线上时，m﹣3＝2m2﹣2m﹣，
解得m＝或1，
当E在抛物线上时，m＝，
当点P与A重合时，m＝2，
观察图1，图2，图3可知，当或或m≥2时，矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交．
也可以写成：当或m≠1或m≥2时，矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交．
13．(2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可．
（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．
（3）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中．当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中．
【解答】解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，
解得b＝1．
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，
∴P（m，﹣m2+m+），
∵M，Q重合，
∴﹣m+＝﹣m2+m+，
解得m＝0或4．
（3）y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2），
由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，
∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣
解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），
∴m＝1﹣．
（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
则有﹣m+＜﹣m2+m+，
∴m2﹣4m＜0，
解得0＜m＜4，
观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，
当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，
当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，
综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．
14．(2023•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，﹣1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．
（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．
（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．
①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．
②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．
（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式化成顶点式，即可求解；
（2）①先根据等腰三角形的性质求出A、B、C三点坐标，再根据三角形面积公式求解即可；
②按第一种情况：当点A是最高点，可得m＞1或m＜﹣，第二种情况：当点B是最高点，得m的取值范围，再计算纵坐标的差h即可解答；
（3）分情况讨论：①当m＜﹣1时，②当﹣1≤m≤1时时，③当1＜m＜2时，④当2＜m＜3时，⑤当3≤m＜4时，⑥当m＝4时，⑦当m＞4时，分别画出图形求解即可．
【解答】解：（1）把（0，﹣1）和（2，7）代入y＝x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+2x﹣1，
∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴顶点C的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）①当x＝﹣1﹣2m时，y＝（﹣1﹣2m+1）2﹣2＝4m2﹣2，
∴B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．
当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，
则AC＝BC，
又∵点C在抛物线对称轴x＝﹣1上，
∴点A、点B关于直线x＝﹣1对称，
∴A（2m﹣1，4m2﹣2），
∵点A的横坐标为m，
∴2m﹣1＝m，
解得：m＝1，
∴A（1，2），B（﹣3，2），
∵由（1）得，C（﹣1，﹣2），
∴S△ABC＝[1﹣（﹣3）]×[2﹣（﹣2）]＝8；
②∵A（m，（m+1）2﹣2），B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．
∴当点A是最高点，即m＞1或m＜﹣时，
则h＝（m+1）2﹣2﹣（﹣2）＝（m+1）2；
当点B是最高点，即﹣＜m＜1时，则h＝4m2﹣2﹣（﹣2）＝4m2，
综上，h与m之间的函数关系式为：h＝（m+1）2（m＞1或m＜﹣）或 h＝4m2（﹣＜m＜1）；
（3）①当m＜﹣1时，则2﹣m＞3，1﹣m＞2，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有3个交点；
②当﹣1≤m≤1时，则1≤2﹣m≤3，0≤1﹣m≤2，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；
③当1＜m＜2时，则0＜2﹣m＜1，﹣1＜1﹣m＜0，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；
④当2＜m＜3时，则﹣1＜2﹣m＜0，﹣2＜1﹣m＜﹣1，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；
⑤当3≤m＜4时，则﹣2＜2﹣m≤﹣1，﹣3＜1﹣m≤﹣2，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有4个交点；
⑥当m＝4时，则2﹣m＝﹣2，1﹣m＝﹣3，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有3个交点（ED经过抛物线的顶点）；
⑦当m＞4时，则2﹣m＜﹣2，1﹣m＜﹣3，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点．
综上，当m≤﹣1或m＝4时，抛物线与矩形有3个交点．
15．(2023•丹东）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），即可得出h＝m2+m；
（3）如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，可证得△BOC∽△PFE，得出＝，可求得EF＝（m2+m），再由△CEH∽△CBO，可得＝，求得CE＝m，结合CF＝EF，可得EF＝CE＝m，建立方程求解即可得出答案；
（4）设Q（2，t），分两种情况：①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，分别求出点Q的坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+x+3；
（2）∵抛物线y＝x2+x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜6，
∴h＝m2+m（0＜m＜6）；
（3）如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，
∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2+m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴＝，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，
∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH∥x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴＝，即＝，
∴CE＝m，
∵CF＝EF，
∴EF＝CE＝m，
∴m＝（m2+m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
（4）∵抛物线y＝x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，
则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，
∴＝tan∠PCQ＝，
∴＝，
解得：t＝，
∴Q（2，）；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH∥OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH∥OC∥PD，
∴点K是CD的中点，
∴K（2，），
∴GK＝，
∴CK＝KQ＝﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
∴22+（）2＝（﹣t）2，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴O′K＝，CK＝，
∴OK＝OC+CK＝3+＝，
∴O′（﹣，），
∵点M是OO′的中点，
∴M（﹣，），
设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线CQ的解析式为y＝x+3，
当x＝2时，y＝×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．
16．如图，已知抛物线C1：y＝a1x2+b1x+1c和C2：y＝a2x2+b2x+c2（|a1|＝|a2|）都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线．
（1）观察图象，写出对称抛物线两条特征；（如：抛物线开口大小相同）
（2）若抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2x，确定对称抛物线C2的解析式．
（3）若MN＝4，且四边形ANBM是矩形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式．
【分析】（1）观察函数图象，任意找出对称抛物线两条特征即可得出结论；
（2）利用二次函数的性质可得出点A的坐标，进而可得出点B的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，结合点M，N关于原点O对称，即可得出点N的坐标，根据点B，N的坐标，利用待定系数法即可求出对称抛物线C2的解析式；
（3）由MN的长可得出点M，N的坐标及抛物线C1的对称轴，设点A的坐标为（1，m），则AM2＝（1﹣2）2+m2，AN2＝[1﹣（﹣2）]2+m2，利用勾股定理可求出m的值，由点A，M的坐标，利用待定系数法即可求出对称抛物线C1的解析式，由点A，B关于原点O对称，可得出点B的坐标，同理（待定系数法）可求出对称抛物线C2的解析式．
【解答】解：（1）观察函数图象，可得出对称抛物线的特征：点M，N关于原点O对称；两抛物线的顶点坐标关于原点O对称．
（2）∵抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2x，
∴点A的坐标为（1，1），
∴点B的坐标为（﹣1，﹣1）；
当y＝0时，﹣x2+2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴点M的坐标为（2，0），
∴点N的坐标为（﹣2，0）.
将B（﹣1，﹣1），N（﹣2，0）代入y＝a2x2+b2x中，
得：，解得：，
∴对称抛物线C2的解析式为y＝x2+2x．
（3）∵MN＝4，
∴OM＝MN＝×4＝2，
∴抛物线C1的对称轴为直线x＝1，点M的坐标为（2，0），
∴点N的坐标为（﹣2，0）．
设点A的坐标为（1，m），则AM2＝（1﹣2）2+m2，AN2＝[1﹣（﹣2）]2+m2．
∵四边形ANBM是矩形，
∴△AMN为直角三角形，
∴AM2+AN2＝MN2，
即（1﹣2）2+m2+[1﹣（﹣2）]2+m2＝42，
解得：m1＝，m2＝﹣，
∴点A的坐标为（1，）或（1，﹣）．
当点A的坐标为（1，）时，将A（1，），M（2，0）代入y＝a1x2+b1x，
得：，解得：，
∴对称抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2x；
当点A的坐标为（1，﹣）时，将A（1，﹣），M（2，0）代入y＝a1x2+b1x，
得：，解得：，
∴对称抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2x；
∵点A，B关于原点O对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣1，），
同理，可得出对称抛物线C2的解析式为y＝x2+2x或y＝﹣x2﹣2x．
综上所述，对称抛物线C1和C2的解析式为y＝﹣x2+2x，y＝x2+2x或y＝x2﹣2x，y＝﹣x2﹣2x．
17．(2023•福田区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于点A，B，直线y＝x+1与抛物线交于点A，C（3，n）．点P为对称轴左侧抛物线上一动点，其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标．
（2）已知直线l：x＝m+5与直线AC交于点D，过点P（横坐标为m），作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF．
①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，m的取值范围为 （请直接写出）
②在①的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值．
【分析】（1）根据c点在直线y＝x+1上，把C（3，n）代入，得到n，再把A，C代入抛物线上，解方程组即可得到抛物线的解析式．
（2）①根据矩形左边点的横坐标小于顶点的横坐标、矩形右边点的横坐标大于顶点的横坐标，矩形上边点的纵坐标大于顶点的纵坐标，就可得到不等式组，解之即可．
②把矩形的长转化为二次函数的解析式，求它的最小值，再加上宽即可．
【解答】解：（1）∵y＝x+1，当y＝0时，x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∵直线y＝x+1与抛物线交于点A，C（3，n）．
将C（3，n）代入y＝x+1，得n＝3+1＝4，
∴C（3，4）．
将A（﹣1，0），C（3，4）分别代入y＝ax2+3x+c，
得，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）①，
由题意可知，P（m，﹣m2+3m+4），E（m+5，﹣m2+3m+4），D（m+5，m+6）．
∵抛物线的顶点在矩形PEDF内部，
可得：，
解得：，
故答案为：；
②DF＝PE＝（5+m）﹣m＝5，DE＝m+6﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣2m+2＝（m﹣1）2+1．
∵，
∴当m＝1时，DE最小，最小值为1，
∴矩形PEDF周长的最小值为2×1+2×5＝12．
18．(2023•绿园区模拟）已知二次函数y＝﹣n2+2n﹣3，点A、点B均在此二次函数的图象上，点A的横坐标为n﹣1，点B的横坐标为2n﹣2，在点A和点B之间的图象为G．
（1）当n＝2时，
①求二次函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
（2）AB所在的直线交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，直接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时n的值．
（3）当图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3，直接写出满足条件的n的取值范围．
【分析】（1）①求出函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1，即可求解；
②由题意可知当x＝﹣1时，函数有最小值﹣，当x＝2时，函数有最大值1，即可求y的取值范围；
（2）求出顶点为（n，2n﹣3），A（n﹣1，2n﹣），B（2n﹣2，n2+4n﹣5），D（0，2n﹣），C（0，n2﹣2），当n﹣1＞0时，顶点在直线AE的右侧，此时顶点不能落在矩形ADCE的边上；当n﹣1＜0，即n＜1，顶点在CD边上时，n＝0；
（3）当2n﹣2≥n，即n≥2时，2n﹣≥n2+4n﹣5，解得n≥3，此时3n﹣4﹣2n+≥3，3n﹣4﹣2n+3＜3，解得≤n＜4时，图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3；当n﹣1＞2n﹣2时，此时2n﹣﹣3n+4≥3，3n﹣4﹣（n2+4n﹣5）≥3，解得n≤﹣．
【解答】解：（1）①当n＝2时，y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点为（2，1）；
②∵﹣1≤x≤3，
∴当x＝﹣1时，函数有最小值﹣，
当x＝2时，函数有最大值1，
∴﹣≤y≤1；
（2）∵y＝﹣n2+2n﹣3＝﹣（x﹣n）2+2n﹣3，
∴顶点为（n，2n﹣3），
∵点A的横坐标为n﹣1，
∴A（n﹣1，2n﹣），
∵点B的横坐标为2n﹣2，
∴B（2n﹣2，n2+4n﹣5），
∵AD⊥y轴，
∴D（0，2n﹣），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝（﹣n）x+n2﹣2，
∴C（0，n2﹣2），
∵以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，
∴E（n﹣1，n2﹣2），
当n﹣1＞0时，顶点在直线AE的右侧，此时顶点不能落在矩形ADCE的边上；
当n﹣1＜0，即n＜1，顶点在CD边上时，n＝0；
（3）如图1，当2n﹣2≥n，即n≥2时，
2n﹣≥n2+4n﹣5，解得n≥3或n≤1，
∴当n≥3时，3n﹣4﹣2n+≥3，3n﹣4﹣2n+3＜3时，
解得≤n＜4时，图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3；
如图2，当n﹣1＞2n﹣2时，即n＜1，
2n﹣﹣3n+4≥3，3n﹣4﹣（n2+4n﹣5）≥3，
解得n≤﹣；
综上所述：≤n＜4或n≤﹣时，图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3．
19．(2023•罗湖区二模）【实践与探究】九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25 ．
（2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．
Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用顶点式将顶点坐标（5，6.25）代入，求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出当x＝2时，正好是汽车宽度，代入函数解析式求出即可；
（3）I．首先用未知数表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；
Ⅱ•利用等腰直角三角形的性质得出QN＝AB＝AO，以及P在y＝x的图象上，即可得出P点的坐标．
【解答】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，
代入顶点式得：
y＝a（x﹣5）2+6.25，
∴0＝a（10﹣5）2+6.25，
解得：a＝﹣0.25，
∴y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
故答案为：y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25．
（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，
∴10﹣3×2＝4，
4÷2＝2，
∴x＝2代入解析式得：
y＝﹣0.25（2﹣5）2+6.25；
y＝4，
4﹣3.5＝0.5，
∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；
（3）I．假设AO＝x，可得AB＝10﹣2x，
∴AD＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：l＝2[﹣0.25（x﹣5）2+6.25]+2（10﹣2x）＝﹣0.5x2+x+20，
∴l的最大值为：＝＝20.5．
Ⅱ如图④，当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y＝x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA＝∠OPA＝45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5＝，
解得：m＝5±，
如图⑤，当∠P3NQ3＝90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴，
当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形，
Q点在OM的上方时，P3Q3＝2Q3K1，P3Q3＝﹣x2+﹣x+，
Q3K1＝5﹣x，
Q点在OM的下方时，P4Q4＝2Q4K2，P4Q4＝x﹣（﹣x2+），
Q4K2＝x﹣5，
∴x2﹣x+10＝0，
解得：x1＝4，x2＝10，
P3（4，4），P4（10，10）．
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：（5﹣，5﹣）或（5+，5+）或（4，4）或（10，10）．
20．(2023•安徽模拟）如图；已知抛物线y＝ax2+3x+c与直线y＝x+1交于两点A，B（3，n），且点A在x轴上．
（1）求a，c，n的值；
（2）设点P在抛物线上，其横坐标为m．直线l：x＝m+5与直线AB交于点C，过点P作PD⊥l于点D，以PD，CD为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部．
①直接写出：m的取值范围是 ＜m＜ ；
②求PD+CD的最小值．
【分析】（1）先由直线求得点A和点B的坐标，然后代入抛物线求得a和c的值；
（2）①由（1）中的a和c得到抛物线的解析式，表示出点P的坐标，点D的坐标和点C的坐标，然后求得抛物线的顶点坐标，列出不等式即可求得m的取值范围；
②用含有m的式子表示PD+CD，然后求得最小值．
【解答】解：（1）对直线y＝x+1，当x＝3时，n＝4，当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），B（3，4），
将点A和点B的坐标代入抛物线y＝ax2+3x+c，得
，解得：．
（2）①∵a＝﹣1，c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴P的坐标为（m，﹣m2+3m+4），顶点坐标为（），
∴点D的坐标为（m+5，﹣m2+3m+4），
∵直线l：x＝m+5与直线AB交于点C，
∴C（m+5，m+6），
∵抛物线的顶点在矩形PDCE内部，
∴，
解得：＜m＜，
∴m的取值范围为＜m＜，
故答案为：＜m＜．
②∵P的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点D的坐标为（m+5，﹣m2+3m+4），C（m+5，m+6），
∴PD＝5，CD＝m+6﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣2m+2，
∴PD+CD＝m2﹣2m+2+5＝（m﹣1）2+6，
∴当m＝1时，PD+CD的最小值为6．
21．(2023春•朝阳区校级月考）已知抛物线L：y＝﹣x2+4x+a（a≠0）．
（1）抛物线L的对称轴为直线 x＝2 ．
（2）当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围．
（3）当a＜0时，直线x＝a、x＝﹣3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴．若抛物线L在矩形ABCD内部（包含边界）最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．
（4）点M的坐标为（4，﹣1），点N的坐标为（﹣1，﹣1），当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）由y＝﹣x2+4x+a＝﹣（x﹣2）2+4+a，即可求解；
（2）由题意可得4+a＜3，即可求解；
（3）分别求出A、B、C、D四点坐标，由题意可得﹣9a2﹣11a＝2，求出a值即可求解；
（4）当4+a＝﹣1时，a＝﹣5，此时抛物线L与线段MN有且只有一个公共点；当或时，抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，解得﹣1＜a＜4．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x+a＝﹣（x﹣2）2+4+a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
故答案为：x＝2；
（2）∵抛物线开口向下，
∴y＝﹣3与抛物线有两个不同的交点，
∵抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个，
∴﹣3＜4+a＜3，即﹣7＜a＜﹣1；
（3）由题意可知A（a，﹣a2+5a），B（﹣3a，﹣a2+5a），C（﹣3a，﹣9a2﹣11a），D（a，﹣9a2﹣11a），
由题意可得﹣9a2﹣11a＝2，
解得a＝﹣1或a＝﹣，
当a＝﹣时，AB＝﹣4a＝，AD＝﹣9a2﹣11a+a2﹣5a＝﹣8a2﹣16a＝，
∴矩形ABCD的周长＝2×（+）＝；
当a＝﹣1时，AB＝4，AD＝8，
∴矩形ABCD的周长＝2×（4+8）＝24；
综上所述：矩形ABCD的周长为24或；
（4）当a＞0时，界点（﹣1，﹣5+a ）在点N 处或下方满足条件，此时﹣5+a≤﹣1，
所以0＜a≤4 当a＜0时，
若界点（4，a ）在x 轴下方，MN 上方，且界点（﹣1，﹣5+a ）在点N 处或其下方满足条件，
解得﹣1＜a＜0，
若顶点（2，4+a ）与MN 相切，满足条件，此时4+a＝﹣1，解得a＝﹣5．
综上，﹣1＜a≤4且a≠0或a＝﹣5．
22．(2023•烟台一模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；
（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出A点坐标后，将点A、C代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）连接OC，交对称x＝1于点Q，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，再求解即可；
（3）分三种情况讨论：①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME；②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM；③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM；再利用中点坐标公式和两点间距离公式求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，C（4，﹣5），
∴AD＝AB＝5，B（4，0），
∴OA＝1，
∴A（﹣1，0），
将点A，C代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接OC，交对称轴x＝1于点Q，
∵PQ⊥y轴，
∴AO∥PQ，
∵AO＝PQ＝1，
∴四边形AOQP是平行四边形，
∴AP＝OQ，
∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ
若使EQ+PQ+AP值为最小，则EQ+OQ的值为最小，
∵E，C关于对称轴x＝1对称，
∴EQ＝CQ，
∴EQ+OQ＝CQ+OQ，
此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，
∵C（4，﹣5），
∴，
∴EQ+PQ+AP的最小值为，
即EQ+PQ+AP的最小值为；
（3）存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形，理由如下：
①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME，
∴，
解得，
∴M（1，﹣3）；
②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM，
∴，
解得或，
∴M（1，﹣5+）或（1，﹣5﹣）；
③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM，
∴，
解得或，
∴M（1，）或（1，﹣）；
综上所述：M点坐标为（1，﹣3），，，，．
23．(2023•海口模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．点D（2，3）在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点．
（1）求该抛物线对应的二次函数的关系式；
（2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；
（3）如图，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为（0，n），点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形．
①求n的值；
②若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），再将点D（2，3）代入即可求函数的解析式；
（2）求出直线AD的解析式，过点F作FG∥y轴交直线AD于点G，设F（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1），当S△FAD最大时，点F到直线AD距离最大；
（3）①当AP为矩形对角线时，过点M作SR∥y轴交x轴于点R，过交P作PS⊥SR交于S，可证明△PMS∽△MAR，由相似的性质可求P（0，），则n＝；当AQ为矩形对角线时，过点M作MR∥x轴，过点A作AR⊥MR交于R，可得tan∠RAM＝，再由∠OAP＝∠RAM，可求P（0，﹣），则n＝﹣；
②当n＝时，延长QA交y轴于点T，设AM与y轴交点为K，可证明△AOT≌△PMS（AAS），即可求T（0，﹣）；当n＝﹣时，延长QM与y轴交点为T，设RM与y轴交点为G，证明△TMG≌△PAO（ASA），即可求T（0，）．
【解答】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
∵点D（2，3）在抛物线上，
∴3＝﹣3a，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+1，
过点F作FG∥y轴交直线AD于点G，
设F（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1），
∴FG＝﹣t2+t+2，
当S△FAD最大时，点F到直线AD距离最大，
∴＝，
即当时，S△FAD最大，
当时，
∴；
（3）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4），
当AP为矩形对角线时，
如图2，过点M作SR∥y轴交x轴于点R，过交P作PS⊥SR交于S，
∵∠PMA＝90°，
∴∠PMS+∠AMR＝90°，
∵∠PMS+∠MPS＝90°，
∴∠AMR＝∠MPS，
∴△PMS∽△MAR，
∴＝，
∵PS＝1，AR＝2，MR＝4，
∴＝，
∴SM＝，
∴P（0，），
∴n＝；
当AQ为矩形对角线时，
如图3，过点M作MR∥x轴，过点A作AR⊥MR交于R，
∴RM＝2，AR＝4，
∴tan∠RAM＝，
∵∠RAM+∠MAO＝∠MAO+∠OAP＝90°，
∴∠OAP＝∠RAM，
∴OP＝，
∴P（0，﹣），
∴n＝﹣；
综上所述：n的值为﹣或；
②当n＝时，
∵四边形AQPM是矩形，
∴AQ＝PM，
延长QA交y轴于点T，设AM与y轴交点为K，
∵PS∥AO，KT∥SM，
∴∠ATO＝∠PMS，
∵∠OAT＝∠PSM＝90°，PS＝AO＝1，
∴△AOT≌△PMS（AAS），
∴MS＝OT＝，
∴T（0，﹣）；
当n＝﹣时，
延长QM与y轴交点为T，设RM与y轴交点为G，
∵MQ∥AP，GM∥OA，
∴∠TMG＝∠OAP，
∵GM＝AO＝1，∠TGM＝∠AOP＝90°，
∴△TMG≌△PAO（ASA），
∴TM＝AP，
∵MP＝AP，
∴TM＝MQ，
∵TG＝OP＝，
∴T（0，）；
综上所述：T点坐标为（0，﹣）或（0，）．
24．(2023•锦州二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）和点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
（3）若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用矩形的性质结合OA，OC的长度可得出点A，C，B的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点E的坐标，过点P作PF⊥x轴于点F，设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4）（0＜m＜4），利用S四边形OCPE＝S梯形OCPF+S△APE，即可得出S四边形OCPE关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求出结论；
（3）利用二次函数的性质，可得出抛物线对称轴为直线直线x＝，利用待定系数法可求出直线CD的表达式，分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：①当CD为边时，利用CN⊥CD或DN⊥CD可得出CN或DN的表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，再利用矩形的性质即可求出点M的坐标；②当CD为对角线时，设线段CD的中点为G，过点G作GH⊥抛物线对称轴于点H，利用勾股定理可求出HN的长度，进而可得出点N的坐标，再利用矩形的性质即可求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，且OA＝3，OC＝4，
∴点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，4）．
将B（3，4），D（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得：，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴点E的坐标为（4，0），
∴OE＝4．
过点P作PF⊥x轴于点F，如图1所示．
设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4）（0＜m＜4），
则S四边形OCPE＝S梯形OCPF+S△APE
＝（OC+PF）•OF+FE•PF
＝（4﹣m2+3m+4）•m+（4﹣m）•（﹣m2+3m+4）
＝﹣2m2+8m+8
＝﹣2（m﹣2）2+16，
∵﹣2＜0，
∴m＝2时，S四边形OCPE取得最大值，最大值＝16，此时点P的坐标为（2，6），
∴当四边形OCPE的面积最大时，点P的坐标为（2，6），此时四边形OCPE的最大面积是16．
（3）∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝．
利用待定系数法可求出直线CD的表达式为y＝4x+4，分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：
①当CD为边时，若四边形DCNM为矩形，则直线CN的解析式为y＝﹣x+4，
∴点N的坐标为（，），
∴点M的坐标为（﹣1+﹣0，0+﹣4），即（，﹣）；
若四边形CDNM为矩形，则直线DN的解析式为y＝﹣x﹣，
∴点N的坐标为（，﹣），
∴点M的坐标为（0+﹣（﹣1），4﹣﹣0），即（，）；
②当CD为对角线时，设线段CD的中点为G，过点G作GH⊥抛物线对称轴于点H，如图3所示．
∵点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（﹣1，0），
∴点G的坐标为（﹣，2），
∴点H的坐标为（，2），
∴GH＝﹣（﹣）＝2．
又∵以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形，即△OCN为直角三角形，
∴GN＝OC＝＝，
∴HN＝＝＝，
∴点N的坐标为（，）或（，）．
当点N的坐标为（，）时，点M的坐标为（﹣1+0﹣，0+4﹣），即（﹣，）；
当点N的坐标为（，）时，点M的坐标为（﹣1+0﹣，0+4﹣），即（﹣，）．
综上所述，在平面内存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形，点M的坐标为（，﹣）或（，）或（﹣，）或（﹣，）．