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数学苏科版7.4 由三角函数值求锐角导学案及答案
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这是一份数学苏科版7.4 由三角函数值求锐角导学案及答案，共32页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点 锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
1.互余关系：，；
2.平方关系：；
3.倒数关系：或；
4.商数关系：．
【微点拨】锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【即学即练1】已知∠A，∠B均为锐角，且csA＝，sinB＝，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60°B．∠A＝∠B＝30°
C．∠A＝30°，∠B＝60°D．∠A＝60°，∠B＝30°
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵∠A，∠B均为锐角，csA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=30°．
故选D．
【即学即练2】若，则ABC的形状是（ ）
A．含有60°直角三角形B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，
解得：，
∴，
∴∠C=90°，
∴ABC是含有60°直角三角形．
故选：A
能力拓展
考法01 根据特殊角三角函数值求角的度数
【典例1】如图，将矩形绕点A旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由旋转的性质及直角三角形的性质求出，进而可算出、，再算出的面积．
【详解】解：由旋转的性质可知：，
为的中点，
，
是矩形，
，，，
∴，
，
，
，
根据旋转可知，，
，
∴，
，
，
，，
∴，
，故B正确．
故选：B．
考法02 利用同角三角函数的关系求值
【典例2】如图，平面直角坐标系中，四边形的边在轴正半轴上，轴，，点，连接，以为对称轴将翻折到，反比例函数的图象恰好经过点、，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作轴于，过点作轴于，连接交射线于，过作轴于，根据勾股定理求出OC，根据三角函数用k表示出，，，根据平行线分线段成比例定理，得出，用k表示出点的值，即可求出k的值．
【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，连接交射线于，过作轴于，如图所示：
设，
在中，，，，
∴，
由翻折得，，，
∴，
∴，
，，
，
，
∴，
，
∴，
轴，轴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，故D正确．
故选：D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知，则锐角α的度数是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．75°
【答案】A
【分析】根据得到即可求解．
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴，
故选：A．
2．在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=1，则∠A的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=，BC=1，
∴sinA=，
∴∠A=45°．
故选：B．
3．若某斜面的坡度为，则该坡面的坡角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】斜面的坡度值等于正切值，由特殊角的三角函数值可得到答案．
【详解】解：设该坡面的坡角的度数为，
∵斜面的坡度为，
∴，
∴，
故选：A．
4．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且，，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．不能确定
【答案】C
【分析】利用特殊角的三角函数值得出∠A及∠C的度数，继而可判断△ABC的形状．
【详解】解：由题意得，，，
故∠A=60°，∠C=60°，
故可得∠B=60°，
故△ABC是等边三角形．
故选：C．
5．已知，则锐角的取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据tan45°＝1解答即可．
【详解】解：∵tan＝1，为锐角，
又∵tan45°＝1，
∴∠＝45°，故B正确．
故选：B．
6．在中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义解答即可．
【详解】因为∠ACB=90°，CD⊥AB，
所以，
故选 B．
7．如果，那么锐角的度数为________°．
【答案】30
【分析】根据特殊角的三角函数值可直接得出答案
【详解】解：∵，
∴锐角A的度数为30°，
故答案为：30．
8．比较大小：sin50°_____sin60°（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵50°＜60°，而锐角正弦值随着角度的增大而增大，
∴sin50°＜sin60°，
故答案为：＜．
9．若为锐角，已知，那么______°．
【答案】60
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：由为锐角，且，那么等于，
故填：60．
10．如果是锐角，且，那么 _________度
【答案】48
【分析】根据锐角三角函数关系：，即可求解．
【详解】∵是锐角，，
又∵，
∴48°．
故答案是48．
题组B 能力提升练
1．下列说法正确的是（ ）
A．若|a|＝a，则a＞0
B．若，则锐角∠A＝60°
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．菱形的面积等于对角线的乘积
【答案】B
【分析】A．根据绝对值的性质判断即可；
B．根据特殊角的三角函数值判断即可；
C．根据矩形的性质判断即可；
D．根据菱形的面积的计算方法判定即可．
【详解】A、当|a|＝a时，a≥0，故选项A错误，不符合题意；
B、∵，
∴锐角∠A＝60°，故选项B正确，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，故选项C错误，不符合题意；
D、菱形的面积等于对角线的乘积的一半，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
2．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB-）（2sinA-）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．至少一个角是60°的三角形
【答案】D
【分析】根据题意得或，即或 ，根据、均为锐角得或，分类讨论即可得．
【详解】解：∵，
∴或，
即或 ，
∵、均为锐角，
∴或，
即当或时，满足，此时三角形是有一个角是60°的三角形；当且时，满足，此时三角形为等边三角形，
综上，一定是有一个角是60°的三角形，
故选：D．
3．如图，在中，弦AB垂直平分半径OC，D为垂足，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，，根据，可得，进而求得，根据垂径定理可得，进而根据，求得，根据弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接，
∵弦AB垂直平分半径OC，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D
4．如图，梯子，，两梯脚之间的距离BC的长为d．则d与l的关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数值即可求解；
【详解】解，如图
∵，
∴
∴
∴
故选：B
5．如图，在矩形按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点；③连接，．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用ED、CD的长度在Rt△ECD中求出∠DEC=60°，即有∠EAC+∠ECA=∠DEC=60°，再根据MN是线段AC的垂直平分线，得出AE=EC，继而得出∠EAC=∠ECA，则有∠EAC=30°，再根据，得到∠EAC=∠ACB，即有∠ACB=30°．
【详解】在Rt△ECD中，tan∠ECD=，
∴∠ECD=30°，
又∵∠EDC=90°，
∴∠DEC=60°，
∴∠EAC+∠ECA=∠DEC=60°，
据图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠EAC=30°，
在矩形ABCD中，，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠ACB=30°．
故选：D．
6．如图，在矩形ABCD中，，，点E是CD边上一点，连接BE，将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质即可判断A、B；利用勾股定理求出AF即可判断C；求出即可判断D．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=∠A=90°，
由折叠的性质可知BF=BC=10，EF=EC，∠BFE=∠C=90°，故B选项不符合题意；
在△DEF中，∠D=90°，EF是斜边，即EF＞DE，
∴CE＞DE，故A选项符合题意；
在Rt△ABF中，，，
∴∠AFB=30°，
故C、D选项不符合题意；
故选A．
7．在△ABC中，，则∠C=________________________．
【答案】75°
【详解】解：∵
∴，
∴
∴
故答案为：75°
8．在中，，a，b，c分别是的对边．已知，那么__________．
【答案】
【分析】先画出图形，再求出的余弦值即可得．
【详解】解：由题意，画图如下：
在中，，，
，
，
故答案为：．
9．如图，已知直线l：y=x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，……；按此作法继续下去，则点M2020的坐标为_______________．
【答案】（24041，0）
【分析】根据直线l的解析式求出∠MON=60°，从而得到∠MNO=∠OM1N=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OM1=22•OM，然后表示出OMn与OM的关系，再根据点Mn在x轴上写出坐标即可．
【详解】解：∵直线l：y=x，M（2，0），NM⊥x轴，
∴点N的横坐标为2，
∴点N的纵坐标为2，
在Rt△OMN中，OM=2，MN=2，
∴tan∠MON==，
∴∠MON=60°，
∵NM⊥x轴，M1N⊥直线l，
∴∠MNO=∠OM1N=90°-60°=30°，
∴ON=2OM，OM1=2ON=4OM=22•OM，
同理，OM2=22•OM1=（22）2•OM，
…，
OMn=（22）n•OM=22n•2=22n+1，
所以，点Mn的坐标为（22n+1，0）．
∴M2020的坐标为（24041，0）．
故答案为：（24041，0）．
10．计算：
(1)cs30°+sin45°；
(2)；
(3)已知：中，，tanA=2，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解；
（2）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解；
（3）分子分母同时除以原式可变形为，再把tanA=2代入，即可求解．
【详解】（1）解：cs30°+sin45°
；
（2）解：
；
（3）解：
．
题组C 培优拔尖练
1．如图，是的外接圆，为直径，交于点E，若点C为半圆的中点，弦，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数值可求出，及利用点C为半圆的中点，求出，即可得出的度数．
【详解】∵为直径，
∴，
在中，
∴．
∵点C为半圆的中点，
∴，
∴．
∴．
故选：D．
22．如图，射线互相垂直，，点B位于射线的上方，且在线段的垂直平分线l上，连接，．将线段绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离是（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】添加辅助线，连接，，过点作交ON与点P．根据旋转的性质，得到，在和中，，根据三角函数和已知线段的长度求出点到射线的距离．
【详解】解：如图所示，连接，，过点作交ON与点P．
∵线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，
∴，，
∴，
即，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴， ，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A
23．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数求得到∠AEB＝30°，则∠CBE＝30°，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，
∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC，
∵ sin∠AEB＝，
∴∠AEB＝30°，
∴∠CBE＝∠AEB＝30°，
∴S扇形EBC＝＝12π（cm2），
故选：C．
24．阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】连结OD、过点D作DF⊥AC于F，根据是半圆弧的，求出∠AOD=60°，再求∠DOC=90°-∠AOD=30°，根据，求出OD=OC=OA=，利用三角函数ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．
【详解】解：连结OD、OC，过点D作DF⊥AC于F，
∵是半圆弧的，
∴∠AOD=60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠DAO=60°，AD=OA，
∵点C在半圆弧的中点处，
∴=半圆弧的一半，
∴∠CAO=45°，
∵，
∴AD=OA=，
∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA==30°，
∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，
∴CD=2ADsin15°=2（）（sin60°cs45°-cs60°sin45°）=2×=1．
故选择：D．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2CB＝4.以点B为圆心、适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点F，作射线BF；分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于G，H两点，作直线GH交BF于点J，交AB于点K，则△JKB的面积是（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】如图，过点K作KH⊥BJ于H，设KJ交AC于W．解直角三角形求出BJ，KH，可得结论．
【详解】如图，过点K作KH⊥BJ于H，设KJ交AC于W，
∵∠C=90°，AB=2BC，
∴，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，
由作图可知，BJ平分∠ABC，KJ垂直平分线段AC，
∴∠KBJ=∠CBJ=∠ABC=30°，AW=WC，
∵WK∥BC，
∴AK=KB=2，∠KJB=∠CBJ=30°，
∴HK=KB=1，BH=KH=，
∵∠KBJ=∠KJB=30°，
∴KB=KJ，
∵KH⊥BJ，
∴HB=HJ=2，
∴S△KBJ=×2×1=，
故选：D．
26．如图，在等腰梯形中，，，直角三角板含角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与所在的直线交于点．若为等腰三角形，则的长等于______．
【答案】或
【分析】分三种情况进行讨论，当时，过作于，根据等腰梯形的性质求出和，由勾股定理求出，进一步求出，根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理求出，根据勾股定理求出即可；当时，由勾股定理求出，进一步求出，根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理求出，由勾股定理求出即可；根据三角形的内角和定理求出、，进一步求出，求出即可．
【详解】解：有三种情况：
当时，过作于，如图①所示：
∵，
，
∵AE=BE，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DH⊥BC，
∴，
∴四边形ADHE为矩形，
∴EH=AD=，DH=AE，
四边形是等腰梯形，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
∴；
当时，如图所示：
由勾股定理求得：，
，
同理可得，，
由勾股定理得：；
当时，如图所示：
，
，
，
，
；
综上分析可知，CF的长为：或．
故答案为：或．
27．已知是关于的方程的一个实数根，则锐角的度数为____．
【答案】45°
【分析】直接把代入，即可求出答案．
【详解】解：∵是关于的方程的一个实数根，
∴把代入，则
，
∴，
∴；
故答案为：45°
28．如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为________．
【答案】
【分析】设直线AO交于M点（M在O点右边），当与AB、BC相切时，AM即为点到上的点的最大距离．
【详解】设直线AO交于M点（M在O点右边），则点到上的点的距离的最大值为AM的长度
当与AB、BC相切时，AM最长
设切点分别为D、F，连接OB，如图
∵，，
∴，
∴
∵与AB、BC相切
∴
∵的半径为1
∴
∴
∴
∴
∴
∴点到上的点的距离的最大值为．
29．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC平分∠DAB，于点D，E是AB延长线上一点．
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若，，⊙O的半径为，求线段CE的长．
【答案】(1)CD与⊙O相切于点C；理由见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质得到∠ACO＝∠DAC，得到，则利用平行线的性质得出OC⊥CD，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；
（2）作OM⊥CE于点M，由知∠EOC＝∠DAO＝105°，结合∠E＝30°可得∠OCE＝45°，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CM＝OM，由得出CM＝OM＝2，在Rt△OME中，由∠E＝30°可得答案．
【详解】（1）解：CD与⊙O相切于点C，理由如下：
连接OC， 如图所示：
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝∠CAO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠ACO＝∠DAC，
∴，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD与⊙O相切于点C．
（2）解：作于点M，如图所示：
∵∠DAB＝105°，，
∴∠COE＝∠DAB=105°，
∵∠E＝30°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
30．如图，已知是的外接圆，，．
(1)求的正弦值；
(2)求弦的长．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）过点作，垂足为点；根据圆的性质，即可求的正弦值；
（2）过点作，垂足为点；由圆的性质得，延长交于点，，，根据即可求弦的长；
【详解】（1）解：（1）过点作，垂足为点．
，，
，
，
，
在中，
．
（2）过点作，垂足为点．
，
，
延长交于点．
，，
在中，
，
，
．
31．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为．
(1)如图①，当时，求点的坐标；
(2)如图②，当点落在轴的正半轴上时，与交于点求点的坐标；
(3)将矩形旋转一周，求边扫过的面积S（直接写出结果即可）．
【答案】(1)点的坐标为
(2)点的坐标为
(3)边AB扫过的面积S为
【分析】（1）作DG⊥轴于G，利用特殊角的三角函数值求得DG、OG的长，即可求解；
（2）先求得∠EOD=30，在Rt△CMO中，利用特殊角的三角函数值即可求解；
（3）根据题意知，边AB扫过的面是一个同心圆环，根据圆的面积公式求解即可．
【详解】（1）∵点A（，0），点C（0，1），
∴OA=，OC=1，
∵四边形OABC是矩形，
∴B（，1），
过D作DG⊥轴于G，
在Rt△ODG中，∠DOG=30，
∴，，
∵，
∴，，
∴点D的坐标为：；
（2）在Rt△EDO中，ED=1，OD=，
∴OE==2，
∴∠EOD=30，
在Rt△CMO中，∠COM=30，CO=1，
∴，
∴点M的坐标为：；
（3）根据题意知，边AB扫过的面是一个同心圆环，
，，
．
32．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法觖相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为________，其内切圆的半径长为________．
(2)①如图1，P是边长为a的正三角形ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为、、，连接AP、BP、CP．由等面积法，易知（）=，可得=________（结果用含a的式子表示）；
②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为、、，，，参照①的探索过程，试用含a的式子表示的值．（参考数据：tan=36°≈， tan54°≈）
(3)①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）；
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由．
【答案】(1)，1；(2)，；(3)，见解析
【分析】(1)根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边乘以其上高的积的一半，列出等式，结合勾股定理计算即可，利用内心的性质周长与内切圆半径积的一半也是三角形的面积，计算即可．
（2）①根据面积法，（）=，变形计算即可．
②根据面积法，（）=，变形计算即可．
（3）①根据平行线间距离处处相等，得到，从而将阴影部分的面积等量转化为扇形OBC的面积，证明三角形OBC是等边三角形，确定圆心角，代入扇形面积公式计算即可．
②连接DF，过点E作EG∥DF，交AF于点G，则点G即为所求．
【详解】(1)设斜边上的高为h，内切圆的半径为r．
∵ 直角三角形的直角边为3，4，
∴斜边长为，
∴h=，
∵ ,
解得r=1，
故答案为：，1．
(2)①根据面积法，（）=，
解得=，
故答案为：．
②根据面积法，得（）=，
∴==．
(3)①如图连接OB，
∵AB是圆的切线，AO=4，OB=OD=OC=2，
∴∠ABO=90°，
∴sin∠BAO=，
∴∠BAO=30°，∠AOB=60°，
∵弦BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，为．
②如图，连接DF，过点E作EG∥DF，交AF于点G，则点G即为所求．理由如下：
∵EG∥DF，
∴，
∴，
即．
课程标准
课标解读
会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小。
1.会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小。
能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
进一步体会锐角三角函数的意义。
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知识精讲
知识点 锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
1.互余关系：，；
2.平方关系：；
3.倒数关系：或；
4.商数关系：．
【微点拨】锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【即学即练1】已知∠A，∠B均为锐角，且csA＝，sinB＝，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60°B．∠A＝∠B＝30°
C．∠A＝30°，∠B＝60°D．∠A＝60°，∠B＝30°
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵∠A，∠B均为锐角，csA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=30°．
故选D．
【即学即练2】若，则ABC的形状是（ ）
A．含有60°直角三角形B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，
解得：，
∴，
∴∠C=90°，
∴ABC是含有60°直角三角形．
故选：A
能力拓展
考法01 根据特殊角三角函数值求角的度数
【典例1】如图，将矩形绕点A旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由旋转的性质及直角三角形的性质求出，进而可算出、，再算出的面积．
【详解】解：由旋转的性质可知：，
为的中点，
，
是矩形，
，，，
∴，
，
，
，
根据旋转可知，，
，
∴，
，
，
，，
∴，
，故B正确．
故选：B．
考法02 利用同角三角函数的关系求值
【典例2】如图，平面直角坐标系中，四边形的边在轴正半轴上，轴，，点，连接，以为对称轴将翻折到，反比例函数的图象恰好经过点、，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作轴于，过点作轴于，连接交射线于，过作轴于，根据勾股定理求出OC，根据三角函数用k表示出，，，根据平行线分线段成比例定理，得出，用k表示出点的值，即可求出k的值．
【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，连接交射线于，过作轴于，如图所示：
设，
在中，，，，
∴，
由翻折得，，，
∴，
∴，
，，
，
，
∴，
，
∴，
轴，轴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，故D正确．
故选：D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知，则锐角α的度数是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．75°
【答案】A
【分析】根据得到即可求解．
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴，
故选：A．
2．在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=1，则∠A的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=，BC=1，
∴sinA=，
∴∠A=45°．
故选：B．
3．若某斜面的坡度为，则该坡面的坡角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】斜面的坡度值等于正切值，由特殊角的三角函数值可得到答案．
【详解】解：设该坡面的坡角的度数为，
∵斜面的坡度为，
∴，
∴，
故选：A．
4．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且，，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．不能确定
【答案】C
【分析】利用特殊角的三角函数值得出∠A及∠C的度数，继而可判断△ABC的形状．
【详解】解：由题意得，，，
故∠A=60°，∠C=60°，
故可得∠B=60°，
故△ABC是等边三角形．
故选：C．
5．已知，则锐角的取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据tan45°＝1解答即可．
【详解】解：∵tan＝1，为锐角，
又∵tan45°＝1，
∴∠＝45°，故B正确．
故选：B．
6．在中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义解答即可．
【详解】因为∠ACB=90°，CD⊥AB，
所以，
故选 B．
7．如果，那么锐角的度数为________°．
【答案】30
【分析】根据特殊角的三角函数值可直接得出答案
【详解】解：∵，
∴锐角A的度数为30°，
故答案为：30．
8．比较大小：sin50°_____sin60°（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵50°＜60°，而锐角正弦值随着角度的增大而增大，
∴sin50°＜sin60°，
故答案为：＜．
9．若为锐角，已知，那么______°．
【答案】60
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：由为锐角，且，那么等于，
故填：60．
10．如果是锐角，且，那么 _________度
【答案】48
【分析】根据锐角三角函数关系：，即可求解．
【详解】∵是锐角，，
又∵，
∴48°．
故答案是48．
题组B 能力提升练
1．下列说法正确的是（ ）
A．若|a|＝a，则a＞0
B．若，则锐角∠A＝60°
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．菱形的面积等于对角线的乘积
【答案】B
【分析】A．根据绝对值的性质判断即可；
B．根据特殊角的三角函数值判断即可；
C．根据矩形的性质判断即可；
D．根据菱形的面积的计算方法判定即可．
【详解】A、当|a|＝a时，a≥0，故选项A错误，不符合题意；
B、∵，
∴锐角∠A＝60°，故选项B正确，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，故选项C错误，不符合题意；
D、菱形的面积等于对角线的乘积的一半，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
2．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB-）（2sinA-）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．至少一个角是60°的三角形
【答案】D
【分析】根据题意得或，即或 ，根据、均为锐角得或，分类讨论即可得．
【详解】解：∵，
∴或，
即或 ，
∵、均为锐角，
∴或，
即当或时，满足，此时三角形是有一个角是60°的三角形；当且时，满足，此时三角形为等边三角形，
综上，一定是有一个角是60°的三角形，
故选：D．
3．如图，在中，弦AB垂直平分半径OC，D为垂足，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，，根据，可得，进而求得，根据垂径定理可得，进而根据，求得，根据弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接，
∵弦AB垂直平分半径OC，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D
4．如图，梯子，，两梯脚之间的距离BC的长为d．则d与l的关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数值即可求解；
【详解】解，如图
∵，
∴
∴
∴
故选：B
5．如图，在矩形按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点；③连接，．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用ED、CD的长度在Rt△ECD中求出∠DEC=60°，即有∠EAC+∠ECA=∠DEC=60°，再根据MN是线段AC的垂直平分线，得出AE=EC，继而得出∠EAC=∠ECA，则有∠EAC=30°，再根据，得到∠EAC=∠ACB，即有∠ACB=30°．
【详解】在Rt△ECD中，tan∠ECD=，
∴∠ECD=30°，
又∵∠EDC=90°，
∴∠DEC=60°，
∴∠EAC+∠ECA=∠DEC=60°，
据图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠EAC=30°，
在矩形ABCD中，，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠ACB=30°．
故选：D．
6．如图，在矩形ABCD中，，，点E是CD边上一点，连接BE，将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质即可判断A、B；利用勾股定理求出AF即可判断C；求出即可判断D．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=∠A=90°，
由折叠的性质可知BF=BC=10，EF=EC，∠BFE=∠C=90°，故B选项不符合题意；
在△DEF中，∠D=90°，EF是斜边，即EF＞DE，
∴CE＞DE，故A选项符合题意；
在Rt△ABF中，，，
∴∠AFB=30°，
故C、D选项不符合题意；
故选A．
7．在△ABC中，，则∠C=________________________．
【答案】75°
【详解】解：∵
∴，
∴
∴
故答案为：75°
8．在中，，a，b，c分别是的对边．已知，那么__________．
【答案】
【分析】先画出图形，再求出的余弦值即可得．
【详解】解：由题意，画图如下：
在中，，，
，
，
故答案为：．
9．如图，已知直线l：y=x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，……；按此作法继续下去，则点M2020的坐标为_______________．
【答案】（24041，0）
【分析】根据直线l的解析式求出∠MON=60°，从而得到∠MNO=∠OM1N=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OM1=22•OM，然后表示出OMn与OM的关系，再根据点Mn在x轴上写出坐标即可．
【详解】解：∵直线l：y=x，M（2，0），NM⊥x轴，
∴点N的横坐标为2，
∴点N的纵坐标为2，
在Rt△OMN中，OM=2，MN=2，
∴tan∠MON==，
∴∠MON=60°，
∵NM⊥x轴，M1N⊥直线l，
∴∠MNO=∠OM1N=90°-60°=30°，
∴ON=2OM，OM1=2ON=4OM=22•OM，
同理，OM2=22•OM1=（22）2•OM，
…，
OMn=（22）n•OM=22n•2=22n+1，
所以，点Mn的坐标为（22n+1，0）．
∴M2020的坐标为（24041，0）．
故答案为：（24041，0）．
10．计算：
(1)cs30°+sin45°；
(2)；
(3)已知：中，，tanA=2，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解；
（2）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解；
（3）分子分母同时除以原式可变形为，再把tanA=2代入，即可求解．
【详解】（1）解：cs30°+sin45°
；
（2）解：
；
（3）解：
．
题组C 培优拔尖练
1．如图，是的外接圆，为直径，交于点E，若点C为半圆的中点，弦，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数值可求出，及利用点C为半圆的中点，求出，即可得出的度数．
【详解】∵为直径，
∴，
在中，
∴．
∵点C为半圆的中点，
∴，
∴．
∴．
故选：D．
22．如图，射线互相垂直，，点B位于射线的上方，且在线段的垂直平分线l上，连接，．将线段绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离是（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】添加辅助线，连接，，过点作交ON与点P．根据旋转的性质，得到，在和中，，根据三角函数和已知线段的长度求出点到射线的距离．
【详解】解：如图所示，连接，，过点作交ON与点P．
∵线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，
∴，，
∴，
即，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴， ，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A
23．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数求得到∠AEB＝30°，则∠CBE＝30°，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，
∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC，
∵ sin∠AEB＝，
∴∠AEB＝30°，
∴∠CBE＝∠AEB＝30°，
∴S扇形EBC＝＝12π（cm2），
故选：C．
24．阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】连结OD、过点D作DF⊥AC于F，根据是半圆弧的，求出∠AOD=60°，再求∠DOC=90°-∠AOD=30°，根据，求出OD=OC=OA=，利用三角函数ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．
【详解】解：连结OD、OC，过点D作DF⊥AC于F，
∵是半圆弧的，
∴∠AOD=60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠DAO=60°，AD=OA，
∵点C在半圆弧的中点处，
∴=半圆弧的一半，
∴∠CAO=45°，
∵，
∴AD=OA=，
∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA==30°，
∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，
∴CD=2ADsin15°=2（）（sin60°cs45°-cs60°sin45°）=2×=1．
故选择：D．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2CB＝4.以点B为圆心、适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点F，作射线BF；分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于G，H两点，作直线GH交BF于点J，交AB于点K，则△JKB的面积是（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】如图，过点K作KH⊥BJ于H，设KJ交AC于W．解直角三角形求出BJ，KH，可得结论．
【详解】如图，过点K作KH⊥BJ于H，设KJ交AC于W，
∵∠C=90°，AB=2BC，
∴，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，
由作图可知，BJ平分∠ABC，KJ垂直平分线段AC，
∴∠KBJ=∠CBJ=∠ABC=30°，AW=WC，
∵WK∥BC，
∴AK=KB=2，∠KJB=∠CBJ=30°，
∴HK=KB=1，BH=KH=，
∵∠KBJ=∠KJB=30°，
∴KB=KJ，
∵KH⊥BJ，
∴HB=HJ=2，
∴S△KBJ=×2×1=，
故选：D．
26．如图，在等腰梯形中，，，直角三角板含角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与所在的直线交于点．若为等腰三角形，则的长等于______．
【答案】或
【分析】分三种情况进行讨论，当时，过作于，根据等腰梯形的性质求出和，由勾股定理求出，进一步求出，根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理求出，根据勾股定理求出即可；当时，由勾股定理求出，进一步求出，根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理求出，由勾股定理求出即可；根据三角形的内角和定理求出、，进一步求出，求出即可．
【详解】解：有三种情况：
当时，过作于，如图①所示：
∵，
，
∵AE=BE，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DH⊥BC，
∴，
∴四边形ADHE为矩形，
∴EH=AD=，DH=AE，
四边形是等腰梯形，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
∴；
当时，如图所示：
由勾股定理求得：，
，
同理可得，，
由勾股定理得：；
当时，如图所示：
，
，
，
，
；
综上分析可知，CF的长为：或．
故答案为：或．
27．已知是关于的方程的一个实数根，则锐角的度数为____．
【答案】45°
【分析】直接把代入，即可求出答案．
【详解】解：∵是关于的方程的一个实数根，
∴把代入，则
，
∴，
∴；
故答案为：45°
28．如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为________．
【答案】
【分析】设直线AO交于M点（M在O点右边），当与AB、BC相切时，AM即为点到上的点的最大距离．
【详解】设直线AO交于M点（M在O点右边），则点到上的点的距离的最大值为AM的长度
当与AB、BC相切时，AM最长
设切点分别为D、F，连接OB，如图
∵，，
∴，
∴
∵与AB、BC相切
∴
∵的半径为1
∴
∴
∴
∴
∴
∴点到上的点的距离的最大值为．
29．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC平分∠DAB，于点D，E是AB延长线上一点．
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若，，⊙O的半径为，求线段CE的长．
【答案】(1)CD与⊙O相切于点C；理由见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质得到∠ACO＝∠DAC，得到，则利用平行线的性质得出OC⊥CD，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；
（2）作OM⊥CE于点M，由知∠EOC＝∠DAO＝105°，结合∠E＝30°可得∠OCE＝45°，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CM＝OM，由得出CM＝OM＝2，在Rt△OME中，由∠E＝30°可得答案．
【详解】（1）解：CD与⊙O相切于点C，理由如下：
连接OC， 如图所示：
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝∠CAO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠ACO＝∠DAC，
∴，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD与⊙O相切于点C．
（2）解：作于点M，如图所示：
∵∠DAB＝105°，，
∴∠COE＝∠DAB=105°，
∵∠E＝30°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
30．如图，已知是的外接圆，，．
(1)求的正弦值；
(2)求弦的长．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）过点作，垂足为点；根据圆的性质，即可求的正弦值；
（2）过点作，垂足为点；由圆的性质得，延长交于点，，，根据即可求弦的长；
【详解】（1）解：（1）过点作，垂足为点．
，，
，
，
，
在中，
．
（2）过点作，垂足为点．
，
，
延长交于点．
，，
在中，
，
，
．
31．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为．
(1)如图①，当时，求点的坐标；
(2)如图②，当点落在轴的正半轴上时，与交于点求点的坐标；
(3)将矩形旋转一周，求边扫过的面积S（直接写出结果即可）．
【答案】(1)点的坐标为
(2)点的坐标为
(3)边AB扫过的面积S为
【分析】（1）作DG⊥轴于G，利用特殊角的三角函数值求得DG、OG的长，即可求解；
（2）先求得∠EOD=30，在Rt△CMO中，利用特殊角的三角函数值即可求解；
（3）根据题意知，边AB扫过的面是一个同心圆环，根据圆的面积公式求解即可．
【详解】（1）∵点A（，0），点C（0，1），
∴OA=，OC=1，
∵四边形OABC是矩形，
∴B（，1），
过D作DG⊥轴于G，
在Rt△ODG中，∠DOG=30，
∴，，
∵，
∴，，
∴点D的坐标为：；
（2）在Rt△EDO中，ED=1，OD=，
∴OE==2，
∴∠EOD=30，
在Rt△CMO中，∠COM=30，CO=1，
∴，
∴点M的坐标为：；
（3）根据题意知，边AB扫过的面是一个同心圆环，
，，
．
32．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法觖相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为________，其内切圆的半径长为________．
(2)①如图1，P是边长为a的正三角形ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为、、，连接AP、BP、CP．由等面积法，易知（）=，可得=________（结果用含a的式子表示）；
②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为、、，，，参照①的探索过程，试用含a的式子表示的值．（参考数据：tan=36°≈， tan54°≈）
(3)①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）；
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由．
【答案】(1)，1；(2)，；(3)，见解析
【分析】(1)根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边乘以其上高的积的一半，列出等式，结合勾股定理计算即可，利用内心的性质周长与内切圆半径积的一半也是三角形的面积，计算即可．
（2）①根据面积法，（）=，变形计算即可．
②根据面积法，（）=，变形计算即可．
（3）①根据平行线间距离处处相等，得到，从而将阴影部分的面积等量转化为扇形OBC的面积，证明三角形OBC是等边三角形，确定圆心角，代入扇形面积公式计算即可．
②连接DF，过点E作EG∥DF，交AF于点G，则点G即为所求．
【详解】(1)设斜边上的高为h，内切圆的半径为r．
∵ 直角三角形的直角边为3，4，
∴斜边长为，
∴h=，
∵ ,
解得r=1，
故答案为：，1．
(2)①根据面积法，（）=，
解得=，
故答案为：．
②根据面积法，得（）=，
∴==．
(3)①如图连接OB，
∵AB是圆的切线，AO=4，OB=OD=OC=2，
∴∠ABO=90°，
∴sin∠BAO=，
∴∠BAO=30°，∠AOB=60°，
∵弦BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，为．
②如图，连接DF，过点E作EG∥DF，交AF于点G，则点G即为所求．理由如下：
∵EG∥DF，
∴，
∴，
即．
课程标准
课标解读
会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小。
1.会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小。
能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
进一步体会锐角三角函数的意义。
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