重点专题：圆锥的体积应用题（难题篇）-数学六年级下册人教版

这是一份重点专题：圆锥的体积应用题（难题篇）-数学六年级下册人教版，共20页。

2．在一个底面半径20厘米，高45厘米的圆柱形水桶里，完全浸没一个圆锥形零件，零件底面半径是10厘米，高30厘米。当把零件从水桶里取出后，桶里的水面下降了多少厘米？
3．ABCD是直角梯形，以AB为轴将梯形旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少立方厘米？
4．李伯伯家去年秋季收获的小麦堆成了圆锥形，底面周长为9.42米，高为3米。李伯伯将这堆小麦放到圆柱形的粮囤中，恰好装满这个粮囤的。已知粮囤的底面直径是2米，这个粮囤的高是多少米？
5．一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是28.26平方厘米，圆锥的底面积是多少？
6．学校把一个堆成底面直径是2米，高12米的圆锥形沙子，填铺到一个长8米，宽3.14米的沙坑里，可以铺多厚？
7．一盒18色的橡皮泥，每种颜色的橡皮泥都是一个高5厘米，底面直径是2厘米的圆柱。如果把这些橡皮泥全部揉在一起，做一个底面直径是12厘米的圆锥，圆锥的高是多少厘米？
8．一个圆柱形玻璃缸的底面半径是20厘米，缸内盛有水，将一个底面半径是10厘米，高是30厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中（水没有溢出），玻璃缸中的水面上升多少厘米？
9．有一块正方体木料，棱长总和是72厘米，把这块木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少？
10．为丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校举办一年一度的大型科技文化节。为此育英小学科技小组手工制作了神舟飞船模型，下图是模型的一部分，它的体积是多少？
11．如图，把一个底面半径是2分米、高是6分米的圆柱形木料，削成一个由两个圆锥体组成的零件。每个圆锥的高是原来圆柱高的一半，底面积和原来圆柱的底面积相等。求削去部分的体积。（取3.14）
12．除夕夜，小明家举行了家庭大聚会，爸爸开了一瓶红酒，当把这瓶红酒倒满如图的高脚杯一杯后，瓶中剩下的酒正好呈圆柱形。家中10个大人，剩下的酒够每人用高脚杯喝两满杯吗？请写出思考过程。（忽略所有容器的厚度）
13．一个圆锥形容器，底面半径是4厘米，高9厘米，容器里装满水，如果把这些水倒入一个底面直径4厘米的圆柱形容器中，水的高度是多少？
14．红红有一块体积是1立方分米的橡皮泥，在手工课上，红红把这块橡皮泥做成一个圆柱体模型和一个与圆柱体底面积相等，高也相等的围锥体模型，圆柱体模型和圆锥体的体积比是多少？圆锥体模型体积是多少？
15．安安自制了一个污水过滤器进行污水过滤实验，如图所示。将污水倒入上方的近似圆锥形容器内，经过过滤管的过滤后，清水滴入下方的圆柱形容器（与圆锥形容器底面相同）。这个圆锥形容器一次能装入多少毫升的污水？如果这些污水全部过滤到如图圆柱形容器中，水的高度是多少？（不考虑过滤掉的杂质的体积）
16．在奇奇郊游的地方有一个儿童乐园，里面有一个底部平整的圆柱沙坑（如图所示）。
（1）奇奇想知道里面沙子的体积，需要从下面信息中选择的数据是（ ）填序号。
①沙坑直径4米
②沙坑周长12.56米
③沙坑高度1.2米
④沙坑里面沙的厚度0.4米
⑤每立方米沙子的重量约1.5吨
（2）根据上面的信息，计算出沙坑里沙子的质量。
（3）奇奇和妙妙一起用沙滩车装沙子堆城堡，沙滩车的车厢是长方体（如图所示）。这个长方体车厢从里面量，长30厘米，宽18厘米，高5厘米。用这样一车厢沙子堆一个近似的圆锥，高度大约是20厘米，它的底面积是多少平方厘米？
17．将一个长为15.7分米、宽是4分米、高是5分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径是5分米的圆锥形铁块，圆锥形铁块的高是多少分米？
18．把一个底面积25平方分米，高是8分米的圆柱体木料削成一个圆锥体。圆锥的高是原来圆柱高的，底面积和原来圆柱的底面积相等。削去部分的体积是多少？
19．如图30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。
（1）圆锥内漏完水需要多少时间？
（2）请你在图30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。
20．一个饮料生产商生产一种饮料，采用圆柱形易拉罐包装，从外面量，易拉罐的底面直径是6厘米、高是12厘米，易拉罐侧面标有“净含量350毫升”字样。
（1）这家生产商是否欺瞒了消费者？请通过计算说明理由。
（2）将一满罐这种饮料倒入杯口直径为6厘米，深9厘米的圆锥形玻璃杯内（如图所示），能倒满几杯？（不计易拉罐和玻璃杯的厚度）
21．一个圆锥形沙堆，底面半径是9米，高是5米。
（1）用这些沙子铺5米宽的路面，计划铺12厘米厚，能铺多长的路？
（2）压路机如右图，前轮是直径为1.5米的圆柱形，轮宽2米。如果压路机的前轮每分钟滚动8周，10分钟压路机压过的路面是多少平方米？
参考答案：
1．8厘米
【分析】根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，已知一个圆柱和一个圆锥的体积之比是8∶3，圆柱底面半径是圆锥底面半径的2倍，又知道圆锥的高是36厘米，求圆柱的高是多少厘米。根据它们的体积公式，设圆锥的底面半径为r，则圆柱的底面半径为2r，圆柱的高为h，根据比的意义解答。
【详解】解：设圆锥的底面半径为r，则圆柱的底面半径为2r，圆柱的高为h，
由题意得：圆柱的体积∶圆锥的体积＝8∶3；
[π×（2r）2×h]∶[πr2×36]＝8∶3
[π×4r2×h]∶[πr2×12]＝8∶3
[4πr2×h]∶12πr2＝8∶3
4πr2h∶12πr2＝8∶3
h∶3＝8∶3
3h＝3×8
3h＝24
3h÷3＝24÷3
h＝8
答：圆柱的高是8厘米。
【点睛】此题主要根据圆柱和圆锥的体积计算方法以及运用等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系解决问题。
2．2.5厘米
【分析】根据题意，把圆锥形的零件从圆柱形水桶中取出，那么水面下降部分的体积等于圆锥形零件的体积；根据V锥＝πr2h，求出圆锥形零件的体积；同时水面下降部分是一个底面半径20厘米的圆柱形，根据V柱＝Sh可知，h＝V÷S，代入数据计算即可求出水面下降的高度。
【详解】圆锥的体积：
×3.14×102×30
＝×3.14×100×30
＝3140（立方厘米）
圆柱的底面积：
3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方厘米）
水面下降：
3140÷1256＝2.5（厘米）
答：桶里的水面下降了2.5厘米。
【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积计算公式的灵活运用，明确水下降部分的体积等于圆锥形零件的体积是解题的关键。
3．62.8立方厘米
【分析】根据题意可知：以AB为轴将梯形旋转一周得到的立体图形的上面是圆锥，下面是圆柱，圆柱的底面半径是2厘米，高是4厘米，圆锥的半径是2厘米，高是（7－4）厘米，利用圆柱的体积公式V＝πr2h，和圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出它们的体积，最后再把它们加起来即可求出这个立体图形的体积是多少立方厘米。
【详解】3.14×22×4＋×3.14×22×（7－4）
＝3.14×4×4＋×3.14×4×3
＝12.56×4＋×12.56×3
＝50.24＋×37.68
＝50.24＋12.56
＝62.8（立方厘米）
答：这个立体图形的体积是62.8立方厘米。
【点睛】此题主要考查圆柱体和圆锥体的体积公式的应用，关键是熟记公式。
4．3.75米
【分析】首先根据圆锥的体积公式：V＝Sh，求出这堆小麦的体积，把圆柱形粮囤的容积看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出圆柱形粮囤的容积，再根据圆柱的容积公式：V＝Sh，进而求出圆柱形粮囤的高。
【详解】这堆小麦的体积：×3.14×（9.42÷3.14÷2）2×3
＝×3.14×（3÷2）2×3
＝×3.14×1.52×3
＝×3.14×2.25×3
＝×7.065×3
＝×21.195
＝7.065（立方米）
粮囤容积：7.065÷
＝7.065×
＝11.775（立方米）
粮囤的高：11.775÷[3.14×（2÷2）2]
＝11.775÷[3.14×1]
＝11.775÷3.14
＝3.75（米）
答：这个粮囤的高是3.75米。
【点睛】此题主要考查圆锥的体积公式、圆柱的容积公式的灵活运用，以及对“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题的掌握情况。
5．84.78平方厘米
【分析】圆柱与圆锥的体积、底面积、高之间存在有趣的关系，如下：
等底等高时：V圆柱＝3V圆锥；
等底等体积时：h圆锥＝3h圆柱；
等高等体积时：S圆锥＝3S圆柱；
结合条件，用28.26乘3即可求出圆锥的底面积。
【详解】28.26×3＝84.78（平方厘米）
答：圆锥的底面积是84.78平方厘米。
【点睛】此题考查了圆柱与圆锥的关系，关键熟记它们之间的变化规律。
6．米
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此求出这堆沙子的体积，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，用沙子的体积除以长方体的底面积即可求解。
【详解】
＝
＝
＝
＝12.56÷25.12
＝0.5（米）
答：可以铺0.5米。
【点睛】本题考查长方体和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
7．7.5厘米
【分析】由题意知，橡皮泥的总体积不变，先根据体积公式求出一个小圆柱橡皮泥的体积，再乘18即为橡皮泥的总体积。再根据圆锥的体积公式可知，圆锥的高＝橡皮泥的总体积×3÷圆锥的底面积。据此解答。
【详解】18×3.14×（2÷2）2×5
＝18×3.14×1×5
＝282.6（立方厘米）
3.14×（12÷2）2
＝3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方厘米）
282.6×3÷113.04
＝847.8÷113.04
＝7.5（厘米）
答：圆锥的高是7.5厘米。
【点睛】此题的解题关键是利用体积不变，通过圆柱和圆锥的体积公式，求出圆锥的高。
8．2.5厘米
【分析】水面上升部分水的体积就是圆锥的体积，由此用圆锥形铁块的体积除以圆柱形玻璃缸的底面积即可求出水面上升的高度。
【详解】×3.14×102×30÷（3.14×202）
＝×3.14×100×30÷1256
＝314×10÷1256
＝3140÷1256
＝2.5（厘米）
答：玻璃缸中的水面上升2.5厘米。
【点睛】本题考查圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
9．159.48立方厘米
【分析】将正方体木料削成最大的圆锥，正方体的棱长等于圆锥的底面直径，等于圆锥的高，正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此分别求出正方体和圆锥体积，求差即可。
【详解】72÷12＝6（厘米）
6×6×6－3.14×（6÷2）2×6÷3
＝216－3.14×32×6÷3
＝216－3.14×9×6÷3
＝216－56.52
＝159.48（立方厘米）
答：削去部分的体积是159.48立方厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体和圆锥体积公式，理解正方体和圆锥之间的关系。
10．125.6dm3
【分析】这个立体图形由一个圆锥和一个圆柱组成，已知圆锥的底面直径是4dm，高是6dm，根据根据圆锥体积＝×底面积×高， 用×3.14×（4÷2）2×6即可求出圆锥的体积；已知圆柱的底面直径是4dm，高是8dm，根据圆柱体积＝底面积×高，用3.14×（4÷2）2×8即可求出圆柱的体积，最后把2部分体积相加即可。
【详解】×3.14×（4÷2）2×6
＝×3.14×22×6
＝×3.14×4×6
＝25.12（dm3）
3.14×（4÷2）2×8
＝3.14×22×8
＝3.14×4×8
＝100.48（dm3）
25.12＋100.48＝125.6（dm3）
答：它的体积是125.6dm3。
【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的体积公式的灵活应用。
11．50.24立方分米
【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，削去部分的体积是圆柱体积的（1－），根据圆柱体积＝底面积×高，圆柱体积×削去部分对应分率＝削去部分的体积，据此列式解答。
【详解】3.14×22×6×（1－）
＝3.14×4×6×
＝50.24（立方分米）
【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式，理解圆柱和圆锥体积之间的关系。
12．够
【分析】假设出酒瓶的底面半径和酒瓶中酒的高度，利用“”“”表示出酒瓶中酒的体积和高脚杯的容积，最后用除法求出瓶子中的酒可以倒满酒杯的杯数，即可求得。
【详解】假设酒瓶的底面半径为r厘米，酒瓶中酒的高度为h厘米。
酒的体积：
酒杯的容积：
÷＝24（杯）
10×2＝20（杯）
因为24＞20，所以剩下的酒够每人喝两满杯。
答：剩下的酒够每人用高脚杯喝两满杯。
【点睛】掌握圆柱和圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。
13．12厘米
【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出水的体积，再根据圆柱的高＝体积÷底面积，列式解答即可。
【详解】3.14×42×9÷3
＝3.14×16×3
＝150.72（立方厘米）
150.72÷[3.14×（4÷2）2]
＝150.72÷[3.14×4]
＝150.72÷12.56
＝12（厘米）
答：水的高度是12厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱和圆锥的体积公式。
14．3∶1；立方米
【分析】由题意可知，这个圆柱体和圆锥体等底等高，设它们的底面积是S，高是h，圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，用圆柱体的体积比上圆锥体体积，再化简即可；把这1立方分米的橡皮泥平均分成3＋1＝4份，圆锥体的体积占其中的1份，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出圆锥体的体积。
【详解】假设它们的底面积是S，高是h
Sh∶Sh
＝1∶
＝（1×3）∶（×3）
＝3∶1
1×＝（立方分米）
答：圆柱体模型和圆锥体的体积比是3∶1，圆锥体模型体积是立方米。
【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
15．235.5毫升；3厘米
【分析】求圆锥形容器一次能装入多少毫升的污水，就是求一个底面直径是10m，高9cm的圆锥的体积，利用公式求解即可；
因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。
【详解】×π×（10÷2）2×9＝235.5（立方厘米）＝235.5毫升
9×＝3（厘米）
答：圆锥形容器一次能装入235.5毫升的污水；水的高是3厘米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
16．（1）①④
（2）7.536吨
（3）405平方厘米
【分析】（1）求沙子的体积就用沙坑的底面积乘沙子的厚度即可；
（2）沙子的质量利用沙子的体积乘每立方米沙子的重量约1.5吨即可；
（3）先利用长方体的体积公式V＝abh计算求出沙子的体积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh，利用圆锥的体积乘3除以高度就是底面积。
【详解】（1）奇奇想知道里面沙子的体积，需要从下面信息中选择的数据是①④。
（2）3.14×（4÷2）2×0.4×1.5
＝3.14×4×0.4×1.5
＝3.14×1.6×1.5
＝5.024×1.5
＝7.536（吨）
答：沙坑里沙子的质量是7.536吨。
（3）30×18×5×3÷20
＝30×18×15÷20
＝540×15÷20
＝405（平方厘米）
答：它的底面积是405平方厘米。
【点睛】本题考查了圆柱、长方体及圆锥体积公式的应用。
17．12分米
【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出铁块体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。
【详解】15.7×4×5＝314（立方分米）
314×3÷（3.14×52）
＝942÷（3.14×25）
＝942÷78.5
＝12（分米）
答：圆锥形铁块的高是12分米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和圆锥体积公式。
18．150立方分米
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，代入数据求出圆柱体木料的体积，圆锥的高是原来圆柱高的，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用圆柱的高乘求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式：V＝Sh，代入数据求出圆锥的体积，用圆柱的体积减去圆锥的体积即可求出削去部分的体积。
【详解】8×＝6（分米）
25×8－×25×6
＝200－50
＝150（立方分米）
答：削去部分的体积是150立方分米。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆柱和圆锥的体积公式求解。
19．（1）36分钟；（2）见详解
【分析】（1）根据圆锥的体积公式：V＝，代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后用水的体积除以水的流速，即可求出圆锥内漏完水需要的时间。
（2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。
【详解】（1）×3.14×32×6÷1.57
＝×3.14×9×6÷1.57
＝56.52÷1.57
＝36（分钟）
答：圆锥内漏完水需要36分钟。
（2）根据分析得，6×＝2（厘米）
所以圆柱容器内水深2厘米。
作图如下：
【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
20．（1）宣传的内容与真实体积不符合，理由见详解；
（2）4杯
【分析】（1）根据圆柱的体积＝底面积×高，求得易拉罐包装的体积，再进行单位换算，接着与350毫升作比较即可；
（2）根据圆锥的体积＝×底面积×高，求得圆锥形玻璃杯的体积，再用易拉罐包装的体积除以圆锥形玻璃杯的体积即可求解。
【详解】（1）6÷2＝3（厘米）
3.14×3×3×12
＝9.42×3×12
＝28.26×12
＝339.12（立方厘米）
339.12立方厘米＝339.12毫升
350＞339.12
答：宣传的内容与真实体积不符合，这家生产商欺瞒了消费者。
（2）6÷2＝3（厘米）
3.14×3×3×9×
＝9.42×3×9×
＝28.26×9×
＝254.34×
＝84.78（立方厘米）
339.12÷84.78＝4（杯）
答：能倒满4杯。
【点睛】此题主要考查圆柱、圆锥的体积的计算方法，解笞时要注意单位的换算。
21．（1） 706.5米（2）753.6平方米
【分析】（1）根据圆锥的体积公式：，长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。
（2）根据圆柱的侧面积公式：，把数据代入公式求出压路机前轮滚动一周压路的面积，再求出每分钟压路的面积，然后再乘压路的时间即可。
【详解】（1）12厘米＝0.12米
×3.14×92×5÷（5×0.12）
＝×3.14×81×5÷0.6
＝423.9÷0.6
＝706.5（米）
答：能铺多长的路706.5米。
（2）3.14×1.5×2×8×10
＝4.71×2×8×10
＝9.42×8×10
＝75.36×10
＝753.6（平方米）
答：10分钟压路机压过的路面是753.6平方米。
【点睛】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积公式、圆柱的侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。