专题25-公因数和公倍数问题（考点聚焦+重点速记+真题专练）-2023-2024学年六年级备战小升初数学专项复习精讲练+（通用版）

这是一份专题25-公因数和公倍数问题（考点聚焦+重点速记+真题专练）-2023-2024学年六年级备战小升初数学专项复习精讲练+（通用版），共17页。试卷主要包含了求几个数的最大公因数，求几个数的最小公倍数等内容，欢迎下载使用。

1、公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．
2、给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．
3、求几个数的最大公因数
（1）分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．
（2）用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了．
4、求几个数的最小公倍数。
（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数．
（2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2023•铁西区）已知2路公共汽车10分开出一辆，10路公共汽车15分开出一辆，同时开出一辆后，至少再过 分又同时开出。
A．20B．30C．25D．60
2．（2分）（2023•石河子）欢欢家客厅长6米，宽4.2米。计划在地面上铺地砖，要求都用整块方砖。方砖的边长可以是 厘米。
A．100B．60C．80D．70
3．（2分）（2023•嵩县）学校组织毕业班学生参加社会实践活动，活动时，除最后一组为2人外，其余每组都是3人，参加这次活动的学生可能有 人。
A．650B．564C．520D．
4．（2分）（2023•罗湖区）五（1）班的人数在之间，男生人数是女生人数的，五（1）班有 人。
A．42B．44C．45D．48
5．（2分）（2023•郑州）袋里有一些糖果，平均分给5个同学或者平均分给6个同学，都正好分完，袋里最少有 个糖果。
A．30B．60C．11D．18
6．（2分）（2023•滁州）一根细木棒长，另一根细木棒长，分别将它们截成同样长的小段。如果要求截的小棒尽可能长，且都没有剩余，最少截成 段。
A．3B．4C．7D．14
7．（2分）（2023•青秀区）一包糖，可以平均分给2个人，也可以平均分给3个人，都正好分完，这包糖最少有 颗。
A．4B．6C．15D．16
8．（2分）（2023•凤城市）学校合唱团为庆祝“六一”正在进行彩排，现有48名女生和60名男生，如果男生和女生要分别排成整行，且每行人数都相同，那么每行最多能排 人。
A．6B．8C．10D．12
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2023•江都区）小华和小红都是爱看书的孩子，小华每隔两天去一次图书馆，小红每隔三天去一次图书馆，2022年2月24日这一天她们都去了图书馆，她们下一次同时去图书馆是 月 日。
10．（2分）（2023•金水区）一袋糖果，无论平均分给18个小朋友，还是平均分给20个小朋友，均没有剩余，这袋糖果至少有 颗。
11．（2分）（2023•罗湖区）有两根木料，一根长，另一根长，现在要把它们截成长度相等的若干小段，每段不能有剩余，每小段最长 米，两根木料一共可以截成 段。
12．（2分）（2023•上虞区）“六一”儿童节当天，老师买来200颗大白兔糖，160颗巧克力，平均分给班里的全体同学，刚好全部分完，这个班最多有 人。
13．（2分）（2023•高州市）将一根长为410厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管（加工损耗忽略不计），剩余部分的铝管至少是 厘米。
14．（2分）（2023•章丘区）一箱苹果有50多个，如果把这箱苹果每6个装一盒，还剩余4个，如果每8个装一盒，也剩余4个，这箱苹果共 个。
15．（2分）（2023•市北区）六（1）班站队，每9人一行或每12人一行，结果都多3人。这个班至少有 人。
16．（2分）（2023•江门）徐老师买来12枝玫瑰花和30枝百合花，用这些花最多可以扎成 束同样的花束，每束有 枝玫瑰花。
三．应用题（满分68分）
17．（5分）（2023•九龙坡区）一个大型室内游乐场的地面是一个长为72米、宽为63米的长方形，如果全部用正方形爬行垫铺地（爬行垫均为整块数）。铺满这间屋子的地面至少需要多少块这样的爬行垫？
18．（5分）（2023•吉阳区）1路车每10分钟发一班车，2路车每15分钟发一班车，这两路公交车早上8点10分第一次同时发车，什么时间这两路车第二次同时发车？
19．（5分）（2022•化州市）三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。“如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？
20．（5分）（2021•莘县）把30块糖和24块巧克力，平均分给一个组的同学，都正好分完，你知道这个组最多有多少同学吗？每位同学分得几块糖？几块巧克力？
21．（6分）（2019•湖南）上午6时从汽车站同时出发1路和2路公共汽车，1路车每隔12分钟发一次，2路车每隔18分钟发一次，求下次同时发车时间。
22．（6分）（2023•兖州区）学校在校园里开辟了一块长20米，宽8米的长方形土地，准备把这片土地划分成大小相等的小正方形做试验田，且土地不能有剩余，每块小正方形土地的面积最大是多少平方米？可以分成多少块？
23．（6分）（2023•萝北县）五（1）班有42人，五（2）班有48人参加植树活动，要求按班分组，如果两个班每组的人数必须相同，可以怎样分？每组最多有多少人？
24．（6分）（2023•北碚区）秦老师买了作业本112本，铅笔130支，橡皮70块，平均分给四（6）班的同学，结果作业本多出13本，铅笔少了2支，橡皮多出4块，则四（6）班最多有 人．
25．（6分）（2023•铁西区）一个房间的长是3.6米，宽是2.4米．现在要在这个房间铺上相同的方砖．
①每块方砖的边长最大是多少分米？
②这间房间一共需要多少块这样的方砖？
26．（6分）（2023•大城县）一箱玩具有40多个，如果把这些玩具每8个装一盒或每10个装一盒，都还剩下6个。这箱玩具有多少个？
27．（6分）（2022•栾城区）一个长方形的硬纸板长是48厘米，宽是36厘米。如果将这个长方形硬纸板分割成最大的正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？
28．（6分）（2023•建邺区）在这条新铺的路上等距离安装路灯，但要求在处及和的中点处都要安装一盏，问至少需要安装多少盏灯？
参考答案
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．【分析】由题意可知，2路公共汽车的发车时间是10的倍数，10路公共汽车的发车时间是15的倍数，2路和10路汽车同时的发车时间为10和15的公倍数，求至少经过多长时间2路和10路汽车同时发车，计算10和15的最小公倍数即可。
【解答】解：
10和15的最小公倍数：。
答：至少再过30分又同时开出。
故选：。
【分析】根据求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积，就是这两个数的最小公倍数。
2．【分析】先换算单位长，宽，再找到600，420的公因数即可作出选择。
【解答】解：，宽
；
；
故选项中只有60是600、420的因数。
故选：。
【分析】考查了图形的密铺，同时是对求两个数的公因数的考查。本题要将，进行适当的单位换算。
3．【分析】根据题意可得：参加活动的学生人数除以3余数是2；据此判断即可。
【解答】解：．，与题意相符；
．，与题意不符；
．，与题意不符；
．，与题意不符。
故选：。
【分析】根据每组人数情况，确定“总人数除以3余数是2”是解答本题的关键。
4．【分析】男生人数是女生人数的，根据分数意义，全班有（份，男生人数占5份，女生人数占6份，五（1）班的人数在之间并且是11的倍数，结合选项得出结论即可。
【解答】解：根据题意，五（1）班的人数在之间并且是11的倍数，所以是44人。
故选：。
【分析】本题考查分数的意义，关键根据题意得出全班人数的份数，再进一步解答。
5．【分析】由题意“平均分给5个同学或者平均分给6个同学，都正好分完”，说明这包糖至少有的块数，是6和5的最小公倍数，因此求出6和5的最小公倍数，即可求出这包糖果至少有多少块。
【解答】解：因为6和5互质。
所以6和5的最小公倍数是：。
答：这盒糖果至少有30块。
故选：。
【分析】考查了求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。
6．【分析】根据题意，求出24和32的最大公约数，即是每根小段的最长，然后用24除以最大公约数加上32除以最大公约数的商，就是一共截成的段数，据此解答。
【解答】解：
因为24和32的最大公约数是，所以每段最长8厘米。
（段
答：最少截成7段。
故选：。
【分析】解答此题的关键是利用求最大公约数的方法求出每段的最长，然后计算出每根细木棒截成的段数，再相加即可。
7．【分析】要想糖正好分完，这包糖的数量必须既是2的倍数，又是3的倍数，问题是最少多少颗，所以找2和3的最小公倍数。
【解答】解：2和3的最小公倍数是
答：这包糖最少有6颗。
故选：。
【分析】这道题考查的是求两个数的最小公倍数。解题关键是对最小公倍数的充分理解。
8．【分析】男女生分别排队，要使每行的人数相同，那么每行的人数是男生和女生人数的公因数，要求每行最多有多少人，就是求男生人数和女生人数的最大公因数，然后分解质因数解答即可。
【解答】解：
所以60和48的最大公因数是：
即每行最多有12人。
答：每行最多能排12人。
故选：。
【分析】解答本题关键是理解：每行的人数是男生和女生人数的公因数，要求每行最多有多少人，就是每行的人数是男生和女生人数的最大公因数。
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．【分析】求出2和3的最小公倍数，再用2022年2月24日加上2和3的最小公倍数，再根据，2022年不是闰年，2月份有28天，即可解答。
【解答】解：2和3的最小公倍数是。
2022年2月24日天年3月2日
答：她们下一次同时去图书馆是3月2日。
故答案为：3，2。
【分析】本题考查的是求最小公倍数的应用题，掌握求最小公倍数的方法是解答关键。
10．【分析】求出18和20的最小公倍数，即可解答。
【解答】解：
18和20的最小公倍数是。
答：这袋糖果至少有180颗。
故答案为：180。
【分析】本题考查的是最小公倍数应用题，掌握求最小公倍数的方法是解答关键。
11．【分析】根据题意，可计算出18与12的最大公因数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公因数加上12除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案。
【解答】解：
所以最大公因数是，
所以每段最长6米，
（段
答：每小段最长6米，两根木料一共可以截成5段。
故答案为：6，5。
【分析】解答此题的关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根木条可以截成的段数，再相加即可。
12．【分析】根据题意，也就是求200与160的最大公因数，即是这个班小朋友的最多人数；先把200和160分别分解质因数，进而找出它们公有的质因数，再把公有的质因数相乘即可。
【解答】解：
200和160的最大公因数是：
答：这个班最多有40人。
故答案为：40。
【分析】解答此题关键是利用求两个数最大公因数的方法，并用它解决生活中的实际问题。
13．【分析】首先求出两种规格短管的长度和，再根据“包含”除法的意义，用除法解答。
【解答】解：
（根（厘米）
（根（厘米）
答：剩余部分的铝管至少是2厘米。
故答案为：2。
【分析】此题考查的目的是理解掌握“包含”除法的意义及应用，有余数除法的计算法则及应用。
14．【分析】根据题意，苹果数大于50，减去4个后既是8的倍数，又是6的倍数，所以只要求出8和6的最小公倍数，然后乘一个整数，加上4，刚大于50，即可得解。
【解答】解：
所以8和6的最小公倍数是
（个
答：这箱苹果共有52个。
故答案为：52。
【分析】本题考查了灵活应用最小公倍数的求解方法来解决实际问题。
15．【分析】根据题意可知，找出9和12的最小公倍数，再加3即可求出这个班的人数。
【解答】解：9的倍数有9，18，27，36等，
12的倍数有12，24，36等，
9和12的最小公倍数是36，
（人
所以这个班至少有39人。
故答案为：39。
【分析】掌握公倍数的意义是解题关键。
16．【分析】此题属于最大公因数的应用类题目，所用知识点是求几个数最大公因数的方法；用这些花可以扎成多少束同样的花束，即求12和30的最大公因数；然后用玫瑰花的总枝数除以花束的数量，即可得出每束有多少枝玫瑰花。
【解答】解：
因此最大公因数是：
（枝
答：用这些花最多可以扎成6束同样的花束，每束有2枝玫瑰花。
故答案为：6，2。
【分析】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。
三．应用题（满分68分）
17．【分析】求出72和63的最大公因数，用长和宽分别除以最大公因数，再将商相乘，即可解答。
【解答】解：
72和63的最大公因数是。
（块
答：铺满这间屋子的地面至少需要56块这样的爬行垫。
【分析】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。
18．【分析】这两路车第二次同时发车的时间时（10分）和15的最小公倍数，用短除法求出。
【解答】解：
10和15的最小公倍数是：
8时10分分时40分
答：8时40分这两路车第二次同时发车。
【分析】本题考查的是最小公倍数问题，掌握求最小公倍数方法是解答关键。
19．【分析】求出4、6、8的最小公倍数，用7月5日加上最小公倍数即可。
【解答】解：
4、6、8的最小公倍数是。5日天日
答：他们三人会在7月29日上午9点同时在图书馆相遇。
【分析】此题主要考查求两个数最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答。
20．【分析】根据题意，也就是求30与24的最大公因数，即是这个组的最多人数；先把30和24分别分解质因数，进而找出它们公有的质因数，再把公有的质因数相乘即可。分别用糖和巧克力的块数除以最大公因数，即可求出每位同学分得几块糖，几块巧克力。
【解答】解：
所以30和24的最大公因数是：。
（块
（块
答：这个组最多有6名同学，每位同学分得5块糖，4块巧克力。
【分析】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。
21．【分析】1路和2路下次同时发车时，所经过的时间必须既是12分钟的倍数，又是18分钟的倍数，也就是求它们的最小公倍数。
【解答】解：
12和18的最小公倍数是：
6时分钟时36分
答：下次同时发车时间是上午6时36分。
【分析】本题关键是理解：两辆车同时发车的两次之间间隔时间就是12和18的最小公倍数。
22．【分析】根据题意可知，每块小正方形土地边长等于长和宽的最大公因数，求出20和8的最大公因数，根据长方形的面积长宽，正方形的面积边长边长，分别求出长方形的面积，每块正方形地的面积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。
【解答】解：
20和8的最大公因数是
（平方米）
（块
答：每块小正方形土地的面积最大是16平方米，可以分成10块。
【分析】本题主要考查的是最大公因数的求法在实际问题中的应用，以及长方形、正方形面积公式的灵活运用。
23．【分析】要求两个班每组的人数必须相同，就是每组的人数是42和48的公因数，要求每组最多有多少人，就是每组的人数是42和48的最大公因数，据此解答．
【解答】解：，
，
所以42和48的公因数有：2，3，6，
最大公因数是：；
答：如果两个班每组的人数必须相同，可以每组分2人、3人或6人，每组最多有6人．
【分析】解答本题关键是理解：要求两个班每组的人数必须相同，就是每组的人数是42和48的公因数．
24．【分析】作业本112本减去13本是99本，余下的99是这个班的同学人数的整数倍，铅笔130支加上2支一共是132支，132是这个班的同学人数的整数倍，橡皮70块减去4块可得66块，66是这个班的同学人数的整数倍，所以这个班最多人数就是99、132和66的最大公因数．用短除法求出最大公因数即可解答．
【解答】解：（本
（支
（块
所以99、132和66的最大公因数是（人，
答：四（6）班最多有33人．
故答案为：33．
【分析】本题考查了应用最大公因数的求解方法来解决实际问题．
25．【分析】（1）3.6米分米，2.4米分米，要求每块方砖的边长最大是多少分米，就是求36和24的最大公约数；
（2）要求这间房间一共需要多少块这样的方砖，用房间的面积除以每块方砖的面积即可．
【解答】解：（1）3.6米分米，2.4米分米，
，
，
36和24的最大公约数是，
答：每块方砖的边长最大是12分米．
（2）
（块
答：这间房间一共需要6块这样的方砖．
【分析】解答此题的关键是运用求最小公倍数的方法求出每块方砖边长，进而解决问题．
26．【分析】根据题意，找出8和10的公倍数，再加6即可求出玩具的数量。
【解答】解：8的倍数有8，16，24，32，40，48等，
10的倍数有10，20，30，40，50等，
根据题意找出8和10的最小公倍数40，
（个
答：这箱玩具有46个。
【分析】理解公倍数的意义是解题关键。
27．【分析】由题意可知，要分割成最大的正方形而且没有剩余，也就是正方形的边长是长和宽的最大公因数，纸没有剩余，首先求出48和36的最大公因数，长和宽分别除以它们的最大公因数，再求这两个的积就是可以裁的个数。
【解答】解：求48和36的最大公因数：
48和36的最大公因数是：
（个
答：能分割12个相同的正方形。
【分析】此题属于最大公因数问题，利用分解质因数的方法求出48和36的最大公因数即正方形的边长是长和宽的最大公因数，进而求出可以裁的个数是本题的关键。
28．【分析】假设因为在、的中点以及、、的地方都分别安装一盏路灯，那么可得出两盏路灯之间的距离是和的公约数，题目要求安装路灯最少，那么需要我们求最大公约数，求出最大公约数可得出每段上分别需要的电灯数量，因为要求最少，再减去、处两盏路灯即可．
【解答】解：，
，
，
，
所以280和315的最大公约数是，
共需要路灯：
所以共需路灯35（盏．
答：至少需要安装35盏灯．
【分析】此题属于应用类问题，解答本题的关键是明白两盏灯之间的距离是280和315的最大公约数，另外在求每一段路上的路灯时不要忘记加1．