四川省泸县第四中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省泸县第四中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．某校640名毕业生学生,现采用系统抽样方法,抽取32人做问卷调查,将640人按1,2,…,640随机编号,则抽取的32人中,编号落入区间的人数为( )
A.10B.11C.12D.13
2．不等式的解集为( )
A.B.
C.或D.或
3．已知,则下列说法中一定正确的是( )
A.B.C.D.
4．某学校举办班级间篮球比赛,甲、乙两班得分情况如茎叶图所示,甲、乙两班得分的中位数分别是,,则下列说法正确的是( )
A.,甲比乙成绩稳定B.,乙比甲成绩稳定
C.,甲比乙成绩稳定D.,乙比甲成绩稳定
5．命题“,”为假命题,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．已知圆C过点,,且圆心C在直线上,则圆C的方程为( )
A.B.
C.D.
7．焦点在x轴上的椭圆的离心率是,则实数m的值是( )
A.4B.C.1D.
8．已知点P为抛物线上一点,且点P到x轴的距离比它到焦点的距离小3,则( )
A.3B.6C.8D.12
9．已知实数,,且,则的最大值为( )
A.B.C.D.
10．在空间直角坐标系中,四面体SABC各顶点坐标分别为,,,,则该四面体外接球的表面积是( )
A.B.C.D.
11．已知双曲线的左右焦点分别是和,点关于渐近线的对称点恰好落在圆上,则双曲线的离心率为( )
A.B.2C.D.3
12．已知抛物线的焦点为F,准线与x轴的交点为K,P为抛物线C上一点,且P在第一象限,当取得最小值时,点P的坐标为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．某校高一年级有900名学生,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为__________.
14．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点,则直线l的方程为___________．
15．在定圆上随机取三点A、B、C,则是锐角三角形的概率等于_____________．
16．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且,有以下四个命题
①直线SC与平面ABC所成的角的正弦值为;
②;
③若点D为直径SC上一点,且,则平面ABD;
④在球O内任取一点P,则P落在三棱锥内的概率是.
其中正确命题有____________（填上所有正确命题的序号）
三、解答题
17．已知圆心为的圆经过原点O.
（1）求圆C的方程;
（2）求与直线平行,且与圆C相切的直线方程.
18．某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷,按事先拟定的价格进行5天试销,每种单价试销1天,得到如下数据：
由数据知,销量y与单价x之间呈线性相关关系．
（1）求y关于x的回归直线方程;附：,．
（2）预计以后的销售中,销量与单价服从（1）中的回归直线方程,已知每册单元测试卷的成本是10元,为了获得最大利润,该单元测试卷的单价应定为多少元？
19．已知双曲线C的方程为,离心率为.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）过的直线l交曲线C于M,N两点,求的取值范围.
20．如图,PD垂直于梯形ABCD所在的平面,,F为PA中点,,．四边形PDCE为矩形,线段PC交DE于点N．
（1）求证：平面DEF;
（2）求二面角的余弦值．
21．已知拋物线的焦点为F,过点F且斜率为k的直线l交C于P,Q两点.当时,.
（1）求C的方程;
（2）若P关于x轴的对称点为T,当k变化时,求证：直线TQ过定点,并求该定点坐标.
22．已知的上顶点到右顶点的距离为,离心率为,过椭圆左焦点F作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点,直线m的方程为：,过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E.
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）①若线段EN必过定点P,求定点P的坐标;
②点O为坐标原点,求面积的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：使用系统抽样方法,从640人中抽取32人,即从20人抽取1人．
从编号共220人中抽取 人．故选：B．
2．答案：A
解析：由,得,
解得,
所以原不等式的解集为,
故选：A.
3．答案：B
解析：当,时,满足,此时,故A错误;
因为,所以,,,B正确;
因为,所以,,故,C错误;
当,时,满足,,,所以,D错误.
故选：B.
4．答案：C
解析：甲班得分情况从小到大排列为：19,23,25,31,其中位数;
乙班得分情况从小到大排列为：18,19,24,29,35,其中位数,
所以,
又因为乙的叶呈多峰;而甲的叶呈单峰,所以乙的方差比甲的大,所以甲比乙稳定．
故选：C．
5．答案：A
解析：命题“,”为假命题,
该命题的否定“,”为真命题,
即在上恒成立,
在单调递增,
,解得.
故选：A.
6．答案：C
解析：设圆的方程为,
由题意可得,解得,
则圆的方程为.
故选：C.
7．答案：A
解析：由题意可得,,则,
因为,所以,
所以,解得,
故选：A.
8．答案：B
解析：由题得,抛物线的准线方程为,
由抛物线的定义可知,点P到焦点的距离等于它到准线的距离,
所以点P到轴的距离比它到准线的距离小3,
于是得,所以．
故选：B.
9．答案：B
解析：由得：,
所以,
当且仅当即时等号成立,
所以的最大值为
故选：B.
10．答案：D
解析：由题意计算可得,,,.
,,,
所以平面ABC,故四面体SABC是底面ABC为等腰直角三角形,
侧棱SC垂直底面ABC的几何体,所以四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球,
其直径为正方体的对角线的长,半径为.
所以该四面体外接球的表面积.
故选：D.
11．答案：B
解析：由题意可设,,则到渐近线的距离为.
设关于渐近线对称点为M,与渐近线交于A,
,A为的中点.
又O是的中点, ,
为直角,
所以为直角三角形,由勾股定理得：,
所以,所以,
所以离心率.
故选：B.
12．答案：B
解析：如下图所示：
过点P作PE垂直于抛物线C的准线l,垂足为点E,由抛物线的定义可得,
抛物线C的准线为,则点,
由题意可知,轴,则,,
由图形可知,当直线PK与抛物线相切时,最大,则最小,
设直线PK的方程为,将该直线方程与抛物线C的方程联立,
消去x得,,,解得,则,
解得,此时,,因此,点P的坐标为.
故选：B.
13．答案：25
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：
解析：设,,对应的弧度数分别为x,y,,
则试验的全部结果构成事件：,
记“是锐角三角形”为事件A,则,
如下图阴影部分,
结合图像,是锐角三角形的概率为.
故答案为：.
16．答案：①②③④
解析：设等边三角形ABC的中心为,连接,则平面ABC,
,
所以.
所以直线SC与平面ABC所成角的正弦值为,①正确.
由于SC是球O的直径,A是球面上一点,所以,
由于,,,
所以,②正确.
,所以,
在三角形SDA中,由余弦定理得,
所以,所以.
由于,,,所以三角形SAC和思想将SBC全等,
所以.由于,所以平面ABD,
即平面ABD,③正确.
由于O是SC的中点,所以S到平面ABC的距离是O到平面ABC的距离的2倍,
也即S到平面ABC的距离是.
所以在球O内任取一点P,则P落在三棱锥内的概率是：
,④正确.
故答案为：①②③④.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）圆的半径为
从而圆C的方程为
（2）设直线方程为,
圆心为,半径为5,直线与圆相切,
圆心到直线的距离为
,,方程为.
18．答案：（1）
（2）21.5元
解析：（1）由表格数据得,．
则,,
则,,
则y关于的回归直线方程为.
（2）获得的利润,对应抛物线开口向下,
则当时,z取得最大值,
即为了获得最大利润,该单元测试卷的单价应定为21.5元．
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）根据题意,由离心率为,知双曲线是等轴双曲线,所以
,故双曲线C的标准方程为.
（2）当直线斜率存在时,设直线l的方程为,
则由消去y,得到,
直线与双曲线交于M､N两点,,解得.
设,,则有,,
因此,
,且,故或,
故;
②当直线l的斜率不存在时,此时,易知,,故.
综上所述,所求的取值范围是.
20．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）因为四边形PDCE为矩形,线段PC交DE于点N,所以N为PC的中点．
连接FN,在△PAC中,F,N分别为PA,PC的中点,所以FN∥AC,
因为平面DEF,平面DEF,所以AC∥平面DEF.
（2）因为PD垂直于梯形ABCD所在的平面,,
所以DA,DC,DP两两垂直,
如图以D为原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系．
则,,,,所以,．
设平面PBC的法向量为,则,
令,则.
因为PD垂直于梯形ABCD所在的平面,所以是平面ABC的一个法向量,
所以.
由图可知所求二面角为锐角,即所求二面角的余弦值为.
21．答案：（1）
（2）证明见解析,
解析：（1）直线l的斜率为k且过焦点,则直线l的方程为,
当k=1时,直线l的方程为,
联立方程组消去y,得设
则,
所以,,解得
所以抛物线C的方程为.
（2）设,直线PQ的斜率存在,,
因为P,T关于x轴对称,则,所以,
直线TQ的方程为,即
联立方程组消去x,得,
由题知所以
直线TQ的方程为,即,
令得
所以,直线TQ过定点.
22．答案：（1）
（2）①;②.
解析：（1）由题意可得:
故椭圆的标准方程为.
（2）证明:
①由题意知,,
设直线MN方程: ,,,
联立方程 ,得,
所以,
所以,
又,
所以直线EN方程为:,
令则.
所以直线EN过定点.
②由①中,所以,
又,
所以,
令,则,
令,
当时,,
故 在上单调递增,
则在上单调递减,
即在上单调递减,
所以时,.
单价/元
18
19
20
21
22
销量/册
61
56
50
48
45