2023-2024学年湖北省黄冈市武穴实验高中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省黄冈市武穴实验高中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−2≤x<8}，集合B={x| x−1<3}，则A∩B=( )
A. {x|−2≤x<3}B. {x|−2≤x<8}C. {x|1≤x<3}D. {x|1≤x<8}
2.已知α为第二象限角，则α2所在的象限是( )
A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限
3.已知x>1，则x2+3x−1的最小值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
4.已知f(x2−1)的定义域为[1,3]，则f(2x−1)的定义域为( )
A. (12,92)B. [12,92]C. (−∞,92)D. (−∞,92]
5.函数f(x)=x32|x|−4的图像大致为( )
A. B.
C. D.
6.设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(2x−1)>f(x+1)成立的x的取值范围为( )
A. (0,2)B. (0,2]
C. (−∞,2)D. (−∞,0)∪(2,+∞)
7.函数f(x)=|lgx|,x>0−x2−2x+1,x<0，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且a，b，c，d互不相等，则abcd的取值范围是( )
A. (−∞,1)B. (−∞,0]C. (0,1)D. [0,1)
8.已知函数f(x)=ex−e−x2+ln( 1+x2+x)，若不等式f(2x−4x)+f(m⋅2x−2)<0对∀x∈R恒成立，则实数m的取值范围为( )
A. (−∞,2 2+1)B. (2 2+1,+∞)
C. (−2 2+1,2 2−1)D. (−∞,2 2−1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某同学求函数f(x)=lnx+2x−6.5的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程lnx+2x−6.5=0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A. 2.72B. 2.69C. 2.61D. 2.55
10.以下说法正确的有( )
A. 实数x>y>0是1x<1y成立的充要条件
B. ab≤(a+b2)2对a，b∈R恒成立
C. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1<0”
D. 若2x+1y=1，x>0，y>0，则x+2y的最小值是8
11.已知函数f(x)=lg2(mx2+2x+m−1)，m∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是(1+ 52,+∞)
B. 若函数f(x)的值域为[−1,+∞)，则实数m=2
C. 若函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，则实数m的取值范围是(0,+∞)
D. 若m=0，则不等式f(x)<1的解集为{x|x<32}
12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，函数f(x+1)为偶函数，且当x∈[1,3]时，f(x)=−x2+2x，则( )
A. f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称B. 对任意整数k，f(2k)=0
C. f(x)的值域为[−3,1]D. 3f(x)−x+2=0的实数根个数为7
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=ln[(4−x)(2+x)]的单调减区间是______．
14.已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，则1x+13y的最小值是______．
15.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K(n)=λlg3n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q=Tλ+1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q=6，T=60.据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为______天.(结果保留一位小数.参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)
16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=x2，∀x1，x2∈[0,+∞)均有f(x1)−f(x2)x1−x2>x1+x22(x1≠x2)，则不等式f(x)−f(1−x)>x−12的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
解关于x的不等式：
(1)ax2+(2a−1)x−2<0(a∈R)；
(2)已知2x=24y=3，求3y−xxy的值．
18.(本小题12分)
设全集U=R，集合A={x|a−3(1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，求a的取值范围；
(2)若命题“∃x∈A，使得x∈∁RB”是真命题，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=lg2(1−x)．
(1)求f(7)−f(1)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f(2a−1)20.(本小题12分)
北京2022冬奥会已于2月4日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨，因可爱而闻名的冰墩增更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内(以30天计)的销售情况进行调查发现；冰墩墩的日销售单价P(x)(元/套)与时间x(被调查的一个月内的第x天)的函数关系近似满足P(x)=2000+k x+1(常数k>0)，冰墩墩的日销量Q(x)(套)与时间x的部分数据如表所示：
已知第24天该商品日销售收入为32400元，现有以下三种函数模型供选择：
①Q(x)=tax+b，②Q(x)=p(x−16)2+q，③Q(x)=m x+1+n．
(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；
(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)在哪天达到最低．
21.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=ax2−4x−1．
(1)当a取何值时，不等式f(x)<0对一切实数x都成立：
(2)若f(x)在区间(−1,1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
若函数f(x)的自变量的取值范围为[a,b]时，函数值的取值范围恰为[2b,2a]，就称区间[a,b]为f(x)的一个“和谐区间”．
(1)先判断“函数f(x)=1x没有“和谐区间””是否正确，再写出函数g(x)=−x+3(x>0)的“和谐区间”；(直接写出结论即可)
(2)若f(x)是定义在(−∞,−1)∪(1,+∞)上的奇函数，当x∈(1,+∞)时，f(x)=1lg2x.求f(x)的“和谐区间”．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由 x−1<3可得0≤x−1<9，解得1≤x<10，
所以B={x|1≤x<10}，A∩B={x|1≤x<8}．
故选：D．
先化简集合B，然后利用集合交集的定义求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
先用不等式表示第二象限角α，再利用不等式的性质求出α2满足的不等式，从而确定角α2的终边所在的象限．
本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，属于基础题．
【解答】
解：∵α是第二象限角，
∴k⋅360°+90°<α则k⋅180°+45°<α2令k=2n，n∈Z，
有n⋅360°+45°<α2k=2n+1，n∈Z，
有n⋅360°+225°<α2故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：因为x>1，所以x−1>0，x2+3x−1=(x−1)2+2(x−1)+4x−1=x−1+2+4x−1≥2+2 (x−1)⋅4x−1=6，当且仅的x−1=4x−1，即x=3时等号成立．
故选：A．
将原式整理为x2+3x−1=x−1+2+4x−1，然后利用基本不等式求最值即可．
本题考查基本不等式相关知识，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵f(x2−1)的定义域为[1,3]，
即1≤x≤3，∴1≤x2≤9，则0≤x2−1≤8，
即f(x)的定义域为[0,8]，
再由0≤2x−1≤8，得12≤x≤92．
故f(2x−1)的定义域为[12,92].
故选：B．
由f(x2−1)的定义域求得f(x)的定义域，再由2x−1在f(x)的定义域内求得x的范围得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=x32|x|−4，定义域为(−∞,−2)∪(−2,2)∪(2,+∞)，
f(−x)=(−x)32|−x|−4=−x32|x|−4=−f(x)，所以函数为奇函数，排除选项C，D；
当x>2时，f(x)>0，排除选项B．
故选：A．
根据函数解析式分析函数的定义域和奇偶性，再通过特殊值用排除法求解．
本题主要考查函数图象的判断，考查函数的性质及排除法的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，
因为f(2x−1)>f(x+1)，所以|2x−1|2>|x+1|2，
即4x2+1−4x>x2+1+2x，所以3x2−6x>0，
所以x<0或x>2．
故选：D．
易得f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，可将不等式化为|2x−1|2>|x+1|2，解不等式即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=|lgx|,x>0−x2−2x+1,x<0，f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且a，b，c，d互不相等，
不妨设a则|lgc|=|lgd|，a+b=−2，−2故−lgc=lgd，
所以lgc+lgd=0，
所以cd=1，
因为2=−a+(−b)≥2 ab，当且仅当a=b时取等号，但a故ab<1，
abcd=ab∈(0,1)．
故选：C．
由已知结合对数的运算性质及二次函数的性质可求得a，b，c，d的关系，然后结合基本不等式可求．
本题主要考查了对数运算性质，二次函数的性质，还考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性、奇偶性，以及函数不等式恒成立求参数范围的一般方法，属于中档题．
首先分析函数的性质：奇偶性、单调性，因此将题中不等式化简、分离参数，转化为求最值问题．
【解答】
解：由于f(x)=ex−e−x2+ln( 1+x2+x)定义域为R，
则f(−x)=e−x−ex2+ln( 1+x2−x)=−ex−e−x2+ln1 1+x2+x=−ex−e−x2−ln( 1+x2+x)=−f(x)，
所以f(x)=ex−e−x2+ln( 1+x2+x)为奇函数，
由于y=ex−e−x2和y=ln( 1+x2+x)在[0,+∞)上单调递增，则f(x)在[0,+∞)上单调递增，
由奇函数的性质可知，f(x)在R上单调递增，
于是f(2x−4x)+f(m⋅2x−2)<0等价于f(2x−4x)<−f(m⋅2x−2)=f(−m⋅2x+2)，
也等价于2x−4x<−m⋅2x+2，
也即m<4x−2x+22x=2x+22x−1恒成立，由于2x+22x−1≥2 2−1(当且仅当x=12时取等号)
则m<2 2−1，
故选：D．
9.【答案】AB
【解析】解：根据题意，f(x)=lnx+2x−6.5，易得f(x)在(0,+∞)上单调递增，
结合表格可知：
f(2.6875)≈−0.136<0，f(2.75)≈0.012>0，
此时2.75−2.6875=0.065<0.1，符合精确度要求，
所以方程lnx+2x−6.5=0的近似解在区间(2.6875,2.75)内．
故选：AB．
根据题意，结合函数的性质及零点存在定理，利用二分法求解即可得到答案．
本题考查二分法的应用，涉及函数零点判定定理，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断以及不等式的性质和基本不等式的应用，存在量词命题的否定，属于中档题．
利用充分性与必要性的判断与不等式的性质、基本不等式、命题的否定方法逐项判断．
【解答】
解：由1x<1y⇔1x−1y<0⇔y−xxy<0⇔y>0>x，或0故实数x>y>0是1x<1y成立的充分不必要条件，故A错误；
由ab≤(a+b2)2得ab≤(a+b)24⇔a2+b2≥2ab，a，b∈R成立，故B正确；
命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1<0，故C正确；
因为2x+1y=1，x>0，y>0，
则x+2y=(x+2y)(2x+1y)
=4+4yx+xy≥4+2 4yx⋅xy=8，
当且仅当x=2y=4时取等号，故D正确．
故选：BCD．
11.【答案】AB
【解析】解：A.因为f(x)的定义域为R，
所以mx2+2x+m−1>0恒成立⇔m>0Δ=−4(m2−m−1)<0，解得：m>1+ 52，故正确；
B.因为f(x)的值域为[−1,+∞)，
所以mx2+2x+m−1≥12⇔m>0m2−m−1m=12，解得m=2，故正确；
C.因f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，由复合函数的单调性可知：m>0−1m≤24m+4+m−1>0，解得m>0；
当m=0时，f(x)=lg2(2x−1)，满足题意，所以m的取值范围为[0,+∞)，故不正确；
D.当m=0时，f(x)=lg2(2x−1)(x>12)，
由f(x)<1，可得0<2x−1<2，解得12故选：AB．
A.由题意可得mx2+2x+m−1>0恒成立，求解即可；
B.由题意可得mx2+2x+m−1≥12，求解即可；
C.由题意可得m>0−1m≤24m+4+m−1>0求解即可；
D.由题意可得0<2x−1<2，求解即可．
本题考查了函数的基本性质，难点在于完整找到每一选项中的等价条件，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：由f(x+4)=f(x)可得函数以4为周期，
又由函数f(x+1)为偶函数可得f(x+1)=f(−x+1)，
所以函数的一条对称轴为x=1，
又由x∈[1,3]时，f(x)=−x2+2x，所以作出函数图象如下：
所以由图可知，f(x)的图象不关于点(2,0)成中心对称，A错误；
对任意整数k，f(2k)=0，B正确；
f(x)的值域为[−3,1]，C正确；
由3f(x)−x+2=0，可得f(x)=13x−23，
令g(x)=13x−23，
作出g(x)=13x−23，如图，
注意到f(−9)=f(3)=−3,g(−9)=−113,f(−9)>g(−9)，f(−5)=f(3)=−3所以f(x)的图象和g(x)的图象共有7个交点，
即3f(x)−x+2=0的实数根个数为7，D正确．
故选：BCD．
利用函数的对称性、周期性以及x∈[1,3]时，f(x)=−x2+2x，可作出f(x)的部分图象，数形结合求解．
本题考查了函数的对称性、周期性、奇偶性及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
13.【答案】[1,4)
【解析】解：∵y=ln[(4−x)(2+x)]，
∴(4−x)(2+x)>0，解得−2∴y=ln[(4−x)(2+x)]的定义域为(−2,4)，
设t=(4−x)(2+x)，
则t的图象是开口向下且以x=1为对称轴的抛物线，
所以t在(−2,1)上单调递增，在[1,4)上单调递减，
由复合函数的单调可知y=ln[(4−x)(2+x)]的单调递减区间为：[1,4)．
故答案为：[1,4)．
求出定义域，再结合复合函数的单调性判断即可．
本题考查了复合函数的单调性，易错点在于确定函数的定义域，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=(x+3y)lg2，
又由lg2x+lg8y=lg2，
则x+3y=1，
进而由基本不等式的性质可得，
1x+13y=(x+3y)(1x+13y)=2+3yx+x3y≥2+2=4，
当且仅当x=3y时取等号，
故答案为：4．
由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=(x+3y)lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．
本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．
15.【答案】19.5
【解析】解：∵Q=Tλ+1，Q=6，T=60，
∴6=60λ+1，∴λ=12，
设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量增加6倍后的时间为K2，
则K2−K1=λlg3(6n)−λlg3n=12lg36=12(lg2+lg3)lg3≈19.5(天)，
故答案为：19.5．
根据已知数据可求出λ，设初始时间为K1，累计繁殖数量增加6倍后的时间为K2，利用K2−K1，结合对数运算性质可求出结果．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
16.【答案】(12,+∞)
【解析】解：令g(x)=f(x)−12x2，
因为f(x)+f(−x)=x2，
则g(−x)=f(−x)−12x2=12x2−f(x)=−g(x)，
所以g(x)为奇函数，
因为∀x1，x2∈[0,+∞)均有f(x1)−f(x2)x1−x2>x1+x22(x1≠x2)，
当x1>x2时，f(x1)−12x12>f(x2)−12x22，即g(x1)>g(x2)，
当x1综上，g(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以g(x)在R上为单调递增的奇函数，
由f(x)−f(1−x)>x−12得f(x)−12x2>f(1−x)−12(1−x)2，
即g(x)>g(1−x)，
所以x>1−x，
所以x>12．
故答案为：(12,+∞)．
构造函数g(x)=f(x)−12x2，结合已知先判断函数的单调性及奇偶性，然后利用奇偶性及单调性可求．
本题主要考查了单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)ax2+(2a−1)x−2<0等价于(x+2)(ax−1)<0(a∈R)，
①当a=0时，不等式的解集为(−2,+∞)，
②当a>0时，不等式等价于(x−1a)(x+2)<0，不等式的解集为(−2,1a)，
③当a<0时，不等式等价于(x−1a)(x+2)>0，
当−12当a=−12时，不等式的解集为(−∞,−2)∪(−2,+∞)，
当a<−12时，不等式的解集为(−∞,−2)∪(1a,+∞)；
(2)因为2x=24y=3，所以x=lg23，y=lg243，
由换底公式和对数的运算性质可得：
3y−xxy=3x−1y=3lg23−1lg243=3lg32−lg324=lg38−lg324=lg3824=lg313=−1．
【解析】(1)不等式分类讨论问题，结合题意，首先讨论最高项系数的符号；其次讨论两根的大小．
(2)将指数式化成对数式，利用对数的运算性质计算即可．
本题考查不等式的解法，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由lg2(x−1)≤2可得，0∴1∵“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，∴B⫋A，
∴a−3≤12a−1>5，解得3即a的取值范围为(3,4]；
(2)若命题“∃x∈A，使得x∈∁RB”是假命题，则A∩(∁RB)=⌀，
∵B={x|15}，
①当A=⌀时，a−3≥2a−1，解得a≤−2，
②当A≠⌀时，则a−3<2a−1a−3≥12a−1≤5，无解，
∴命题为假命题时，a的取值范围为(−∞,−2]，
∴命题为真命题时，a的取值范围为(−2,+∞)．
【解析】(1)由题意可知B⫋A，由此列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可；
(2)先求出命题为假命题时a的取值范围，取其补集即可．
本题主要考查了集合间的包含关系，考查了集合的基本运算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(7)−f(1)=f(−7)−f(−1)=lg28−lg22=3−1=2．
(2)设x>0，则−x<0，因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(−x)=lg2(1+x)，
∴f(x)=lg2(1−x),x≤0lg2(1+x),x>0.(也可表示为f(x)=lg2(1+|x|))．
(3)由f(2a−1)当x>0时，f(x)=lg2(1+x)是单调递增函数，
所以由f(|2a−1)平方得4a2−4a+1即a的取值范围是(13,1)．
【解析】(1)根据函数奇偶性的性质进行转化求值即可，
(2)根据偶函数的对称性进行转化求解即可，
(3)根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用偶函数的对称性进行转化是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：(1)模型③最合适，理由如下：
对于模型①：Q(x)=tax+b为指数型函数模型，表格中Q(x)对应的数据递增的速度较慢，故模型①不合适；
对于模型②：Q(x)=p(x−16)2+q为二次函数模型，其图象关于直线x=16对称，则Q(8)=Q(24)，与表中数据不符，故模型②不合适；
对于模型③：Q(x)=m x+1+n，幂函数型增长模型满足表格中Q(x)对应数据较慢的递增速度，将表中数据(3,12)，(8,13)代入模型③，
则Q(3)=m 3+1+n=12Q(8)=m 8+1+n=13，解得m=1n=10，
∴Q(x)= x+1+10，
又Q(15)= 15+1+10=14，Q(24)= 24+1+10=15均满足表中数据，
故使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适；
(2)∵第24天冰墩墩的日销售单价P(24)P(x)=2000+k 24+1=2000+k5(元/套)，
∴第24天的日销售收入为P(24)×Q(24)=(2000+k5)×15=32400(元)，
∴k=800，
∴P(x)=2000+800 x+1，
由(1)所选模型③，当1≤x≤30且x∈N*时，则f(x)=P(x)Q(x)=(2000+800 x+1)( x+1+10)=20800+2000 x+1+8000 x+1≥20800+2 2000 x+1×8000 x+1=28800(元)，当且仅当2000 x+1=8000 x+1，即x=3时，等号成立，
故在第3天时，该商品的日销售收入f(x)达到最低28800元．
【解析】(1)根据对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型的特点，结合表中数据及其增速较慢，即可得出答案；
(2)由表中数据和第24天日销售收入，分别求出第(1)问中选择的Q(x)模型和P(x)中的参数，代入f(x)=P(x)Q(x)，化简后使用基本不等式求解．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查待定系数法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当a=0时，−4x−1<0对一切实数不成立，故a≠0；
当a≠0时，a<0Δ=16+4a<0，解得a<−4，
综上所述，a的取值范围为(−∞,−4)；
(2)当Δ>0时，只需f(−1)⋅f(1)<0，
即16+4a>0(a+4−1)(a−4−1)<0，解得−3当Δ=0时，即a=−4时，f(x)=−4x2−4x−1=−(2x+1)2，零点为−12，符合题意，
当f(−1)=0或f(1)=0，即a+4−1=0，解得a=−3，或a−4−1=0，解得a=5，
检验f(x)=0在(−1,1)内都有一个解．
综上所述，实数a的取值范围为{−4}∪{a|−3≤a<0或0【解析】(1)分类讨论a与0的关系，进而求解；
(2)先分类讨论判别式等于0，大于0和f(−1)=0，或f(1)=0的，进而求解．
本题主要考查了二次函数的性质，属于中档题．
22.【答案】(1)解：函数f(x)=1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
且函数f(x)=1x为奇函数，
当x>0时，函数为减函数，
任意的x∈[a,b]，则f(x)∈[1b,1a]≠[2b,2a]，
所以当x>0时，函数f(x)=1x没有“和谐区间”，
同理当x<0时，函数f(x)=1x没有“和谐区间”，
所以“函数f(x)=1x没有“和谐区间””是正确的，
函数g(x)=−x+3在(−∞,0)上递减，
则在定义域内任取区间[a,b]，则g(x)∈[−b+3,−a+3]，
由[a,b]是函数g(x)=−x+3(x>0)的“和谐区间”，
得3−b=2b3−a=2a，解得a=1，b=2，
所以函数g(x)=−x+3(x>0)的“和谐区间”为[1,2]；
(2)因为当x∈(1,+∞)时，f(x)=1lg2x，
所以当x∈(−∞,−1)时，−x∈(1,+∞)，所以f(−x)=1lg2(−x)，
因为f(x)是定义在(−∞,−1)∪(1,+∞)上的奇函数，
所以f(−x)=−f(x)．
所以当x∈(−∞,−1)时，f(x)=−1lg2(−x)，
设1所以f(a)=1lg2a=2a，f(b)=1lg2b=2b，
所以a=2lg2a，b=2lg2b，
所以a，b是方程x=2lg2x的两个不相等的正数根，
即a，b是方程2x=x2的两个不相等的正数根，所以a=2，b=4，
所以f(x)在区间(1,+∞)上的“和谐区间”是[2,4]，
同理可得，f(x)在区间(−∞,−1)上的“和谐区间”是[−4,−2]，
所以f(x)的“和谐区间”是[−4,−2]和[2,4]．
【解析】(1)根据“和谐区间”的定义判断函数即可；
(2)根据函数为奇函数求出函数的解析式，再利用“和谐区间”的定义结合函数的单调性求出函数的“和谐区间”即可．
本题考查了函数的新定义问题，实际上考查的是理由函数的单调性求函数的值域，考查了根据函数的奇偶性求函数的解析式，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度．f(2)≈−1.807
f(3)≈0.599
f(2.5)≈−0.584
f(2.75)≈0.012
f(2.625)≈−0.285
f(2.6875)≈−0.136
x
3
8
15
24
Q(x)(套)
l2
13
l4
15