，广东省广州市广州大学附属中学黄华路校区2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份，广东省广州市广州大学附属中学黄华路校区2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在这四个数中，最小的数是( )
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴最小的数是；
故选A．
【点睛】本题考查比较实数的大小．熟练掌握负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的关键．
2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可．
【详解】解：由图知，是中心对称图形的是A、B两个选项中的图形，是轴对称图形的是B、C、D三个选项中的图形，因此，B选项中的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，掌握这两个概念，并能识别一些常见图形的对称性是关键．
3. 2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解答：解：160万=1600000=，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，选项错误；
B、，选项正确；
C、，选项错误；
D、，选项正确；
故选B．
5. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由是的直径，得出，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出，进而即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】由于k的取值不确定，故应分(此时方程可化简为一元一次方程)和 (此时方程为一元二次方程)两种情况进行解答即可．
【详解】解：当时，，解得：；
当时，此方程是一元二次方程，
∵关于x方程有实根，
∴，解得，
综上，k的取值范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分和两种情况进行讨论．
7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且．那么点的到轴的距离是（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，进而得出，根据，即可求解．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则，，
，
，
，
，
，
又的坐标是，
，
，
，，
，
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键．
9. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线 ．有以下结论：①；②；③ （为任意实数）；④若 是抛物线上的两点，当 时，；⑤若方程 的两根为 且 ，则．
其中正确的结论有（ ）个
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象及性质、二次函数的图象与系数间的关系，利用二次函数的图象及性质和二次函数的图象与系数间的关系逐一判断及可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可知，，，，
，
，故①错误；
抛物线的对称轴为，
，即：，
当时，，
，
，
，
，
，
，故②正确；
由图象可知，当时，函数值最小，
（为任意实数），
，故③正确；
是抛物线上的两个点，
由抛物线的对称性可知：，
当时，
，故④正确；
图象过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另外一个交点为，
，
若方程，
即的两根为，，
则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
，
，故⑤错误，
则正确的个数有3个，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共18分）
10. 使代数式有意义的的取值范围是_________________
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，得到，进行求解即可．掌握二次根式有意义的条件，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
11. 因式分解： ________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
12. 如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则______.
【答案】80°
【解析】
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：由题意得，∠4＝60°，
∵∠1＝40°，
∴∠3＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13. 已知圆锥的底面半径为，将其侧面展开后得到的扇形圆心角为，则此圆锥的母线长为_______．
【答案】9
【解析】
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】解：圆锥的底面周长，
设圆锥的母线长为，则：，
解得．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长公式，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
14. 若是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
15. 如图，P为⊙O直径AB上一点，∠BAD+∠ABC＝90°，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AD于N，若BC＝8，AD＝6，则最小值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，，证明，勾股定理求的长，证明，则，解得；同理，则，解得，可得，求出最小值，进而可求的最小值．
【详解】解：如图，连接，
∵是直径
∴
∵，
∴
在和中
∵
∴
∴，
在中，由勾股定理得
∵
∴
又∵
∴
∴，即
解得
同理
∴，即
解得
∵
∴当时，的值最小，为
∴的最小值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为90°，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于表示出．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可．
【详解】解：原式，
，
．
【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义．本题的关键是注意各部分的运算法则，细心计算．
17. 如图，已知，．求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】利用定理即可得证．
【详解】证明：在和中，，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
18. 先化简：，然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．
【答案】，3
【解析】
【分析】先把除法转化为乘法，再利用分式的性质和运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件确定x的取值范围，再代入值计算即可．
【详解】解：，
，
∵，，且，
∴，，且，
∴，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练运用运算法则是解题的关键．
19. 学校玩转数学小组利用无人机测量大树 的高，在 处时，恰好测得大树顶端 的俯角为 ，大树底端 的俯角为 ，此时无人机距离地面的高度 米，求大树 的高．（结果保留根号）
【答案】大树的高为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点A作于，在中和在中，利用解直角三角形即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：过点A作于，如图：
依题意得：，，
四边形是矩形，
米，
米，
在中，，，米，
，即：，
解得：（米），
在中，，，
（米），
（米），
大树的高为米．
20. “校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 名中学生家长，图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数为 ；
（2）将图①补充完整；
（3）根据抽样调查结果．请你估计我市城区218000名中学生家长中有 名家长持反对态度；
（4）针对随机调查的情况，小李决定从九（1）班表示赞成的小华、小亮和小丁的这3位家长中随机选择2位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小丁的家长被同时选中的概率．
【答案】（1）200，54°；（2）见解析；（3）130800；（4）
【解析】
【分析】（1）由A的人数和所占百分比求出共调查的中学生家长人数，即可解决问题；
（2）求出C的人数，将图①补充完整即可；
（3）由总人数乘以持反对态度的家长所占的百分比即可；
（4）画树状图，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）∵A有人数50名，占25%，
∴共调查了中学生家长为：50÷25%＝200（名），
∵C占的百分比为：1-25%-60%＝15%，
∴图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数为：15%×360＝54°；
故答案为：200，54°；
（2）200×15%＝30（名），将图①补充完整如下：
（3）218000×60%＝130800（名），
即估计我市城区218000名中学生家长中有130800名家长持反对态度；
故答案为：130800；
（4）把小华、小亮和小丁的这3位同学的家长分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6个等可能的结果，小亮和小丁的家长被同时选中的结果有2个，
∴小亮和小丁的家长被同时选中的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21. 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元
（2）当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【解析】
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，列出关于的函数关系式，求出函数的最值即可．
【小问1详解】
解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元；
【小问2详解】
解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，
根据题意得，
，
∵，
∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．
22. 如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切；
（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD-S扇形ABE求出阴影部分面积．
【详解】解：（1）过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与圆B相切；
（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD等边三角形，
∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=BF=，
∴AD=DF==2，
∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE
=
=．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．
23. 如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；
（2）若，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别令等于0，即可求得的坐标，根据，即可求得；
（2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得，，．根据轴对称的性质，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作交BC于点H．由方法一，得，．证明，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；
（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．
【小问1详解】
当时，．
解方程，得，．
∵点A在点B左侧，且，
∴，．
当时，．
∴．
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
方法一：如图1，连接AE．
∵，
∴，．
∴，，．
∵点A，点B关于对称轴对称，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴，
即．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴解方程，得．
方法二：如图2，过点D作交BC于点H．
由方法一，得，．
∴．
∵，
∴，
．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，即．
∵，
∴解方程，得．
【小问3详解】
．
设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．
∵，
∴．
，
，
∴．
解得，
又，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
24. 如图，为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．
（1）如图1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面积；
（2）如图2，过点M作与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；
（3）如图3，在（2）的条件下，将沿AM翻折得，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
分析】（1）过点D作DH⊥AB，根据∠ABD＝45°，∠BAC＝60°解三角形求出，可得再结合三角形中学性质即可解得；
（2）过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接MG，又中位线性质和，得，再通过四点共圆证明，进而可得，从而可证明为等边三角形，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，构造，得AD=BP，继而证明（SAS），从而可得，由此即可得出结论；
（3）取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，通过构造，得出即D为AC的中点时，取最小值，再结合题目条件解三角形即可求解．
【小问1详解】
解：如解图1，过点D作DH⊥AB，
∵∠ABD＝45°，
∴，
∵在△ABC为等边三角形中，∠BAC＝60°，
∴，
∴，
∴，
又∵AB＝2+2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M为BD的中点，
∴；
【小问2详解】
如解图2，过点A作，垂足为G，连接MG，
∵△ABC为等边三角形，
∴BG=GC，
∵BM=DM，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴A、M、G、N四点共圆，
∴，
∴，
又∵MP=AM，，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，，
∵，
∴，
∴，
如解图2，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，
∵BM=DM，，
∴（SAS）
∴AD=BP，
在和中，
，
∴（SAS）
∴，
∴；
【小问3详解】
取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，
∵将△ABM沿AM翻折得△AB'M，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即：，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵BM=MD，BK=KQ，
∴，
又∵AB=BC，
∴，
∴，
∴，当M点与K点重合时，取最小值，此时取最小值，
∴D点与Q点重合，即D为AC的中点时，取最小值，如解图3-2；
设AD=a，
∵ 是等边三角形，D点是AC的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴

【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质和判定以及解三角形等知识点，难度大，综合性强，需要平时积累和训练．解题关键是根据题目的已知条件添加辅助线构造适当的三角形转化线段和角的关系．