北京市第四中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

这是一份北京市第四中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各式中是二次根式的是（ ）
A. B. C. -D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】A、是三次根式；故本选项不符合题意；
B、-1＜0，无意义；故本选项不符合题意；
C、符合二次根式的定义；故本选项符合题意；
D、2不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如（a≥0）叫二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的定义．
2. 计算：=( )
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次根式的除法法则进行计算即可.
【详解】=，
故选A.
【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握法则是解题的关键.
3. 已知，则代数式的值为（ ）
A. 2B. 6C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】将代数式配方得，然后将，代入求解即可．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高【详解】解：
．
故选A
【点睛】本题考查了代数式求值，掌握完全平方公式，实数的计算是解题的关键．
4. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查勾股定理的逆定理，三角形三边关系，根据勾股定理逆定理分别计算并判断能否构成直角三角形，熟练掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解题的关键．
【详解】A.不能构成三角形，故该项不符合题意；
B.，不是直角三角形，故该项不符合题意；
C. ，是直角三角形，故符合题意；
D. ，不是直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
5. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A. 7.5平方千米B. 15平方千米C. 75平方千米D. 750平方千米
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【详解】∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
6. 已知一次函数y＝kx－1，若y随x的增大而增大，则它的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】先根据一次函数的性质得到k＞0，然后根据一次函数与系数的关系判断图象经过第一、三、四象限．
故选C．
考点：一次函数与系数的关系
7. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的平移规律，即可进行解答．
【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的平移，解题的关键是熟知“上加下减，左加右减”的平移规律．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出当在直线上时的值，再计算出当在直线上时的值，即可得答案．
【详解】解：当P在直线上时，，
当P在直线上时，，
则，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握番薯函数图象经过的点，必能使解析式左右相等．
二、填空题（共8小题，共32分）
9. 对干函数，当时，_____，当时，_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，分别代入即可求解，解题的关键是熟练掌握求一次函数自变量和函数值．
【详解】解：由得，
当时，；
当时，，解得，
故答案：；．
10. 函数的图象与轴的交点坐标是_______，与轴的交点坐标是_______，直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是_______．
【答案】 ①. ； ②. ； ③. ．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，根据函数解析式的可求得与轴的交点坐标，当可求得与轴的交点坐标，再利用面积公式把即可求解，熟练掌握求一次函数函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
【详解】由得，
当时，；
当时，；
∴函数的图象与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是，
则直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是，
故答案为：；；．
11. 若两直线和的交点坐标为，则_____，_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象交点问题，把代入直线和列出二元一次方程组即可求解，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
【详解】解：将代入直线和中得，
，解得：，
故答案为：；．
12. 若一次函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系，先判断出一次函数图象经过第一、二、三象限或一、三象限，即可确定的取值范围，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限，
∴一次函数图象经过第一、二、三象限或一、三象限，
∴，
故答案为：．
13. 的相反数是_______；的倒数是_______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的除法，相反数的定义、倒数的定义和分母有理化，根据利用二次根式的除法进行化简，然后根据相反数的定义、倒数的定义即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
详解】∵，
∴的相反数是，
的倒数是，
故答案为：；．
14. 如图，长方形中，在数轴上，，若以点为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点，则点的表示的数为_________________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数．勾股定理求出的长，进而得到的长，进而利用两点间的距离公式，得到点表示的数即可．
【详解】解：∵长方形，
∴，
∵，
∴，
∵以点为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∵点表示的数为，
∴点表示的数为：；
故答案为：．
15. 如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和正方形的性质，根据正方形的性质得 ，，再根据等角的余角线段得，则可根据“”判，得到，，由勾股定理得 ，即，进而可以解决问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】如图，设、、表示图中正方形，
则，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
即，
∴，
故答案：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，，，线段由线段绕点A顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是______．
【答案】##
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，易知，从而求得点C坐标，待定系数法即可求得直线的解析式．
【详解】解：∵，，
∴，
过点C作轴于点D，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，将点A，点C坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，利用全等三角形求得C的坐标是解题的关键．
三、解答题（共5小题，共44分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（）根据二次根式的乘除法运算法则和性质进行计算即可求解；
（）根据二次根式的乘法运算法则和加减运算法则进行计算即可求解；
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：原式
，
．
18. 如图，在中，，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，．
（1）连接，求证：；
（2）问线段、、三者之间的数量关系？并证明结论．
【答案】（1）证明见解析；
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】（）由，推导出，利用即可证明；
（）．由勾股定理可得，由得到，，进而得到，再根据勾股定理得到，即可求证；
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，由得到，进而得到是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：．
证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与轴，轴交于两点，且，点在轴正半轴上，且．
（1）求直线的函数解析式；
（2）点在轴上，如果的面积为，求点的坐标．
【答案】19. 直线的函数解析式为
20. 或
【解析】
【分析】（）由可求得长，即可得点坐标，然后利用待定系数法进行求解即可；
（）根据三角形面积公式可以求得的长，即可得点坐标；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在轴正半轴，
∴，
设直线解析式为：，将代入得：，解得：，
∴直线的函数解析式为 ；
【小问2详解】
∵的面积为，，
∴，
∵，点在轴上，
∴或．
20. 阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、n、m均为整数），则有．
，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、n、m均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=_________，b=_________；
（2）利用所探索的结论，填空：（______________）2；
（3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）当时，；当时，
【解析】
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，从而可用表示；
（2）根据得到，即可求解；
（3）由和均为正整数可确定的值，再计算对应的的值．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，又整数，
∴，或，
故答案为：或；
【小问3详解】
解：∵，
∴
∵均为正整数，
∴或，
∴当时，；
当时，．
【点睛】本题考查了完全平放式和二次根式的混合运算，解答关键是灵活运用二次根式的性质，掌握二次根式的运算法则．
21. 在平面直角坐标系中，对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形和的“极大距离”，记为．已知：正方形，其中，，，．
（1）已知点，
①若，则（点，正方形 ；
②若（点，正方形，则 ．
（2）已知点，，若（线段，正方形，求的取值范围．
（3）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求（线段，正方形的最小值，并直接写出此时的取值范围．
【答案】（1）①；②或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）①根据图形和的“极大距离”的定义求解即可．
②分两种情形，利用勾股定理求解即可．
（2）分两种情形：如图2中，当在轴的右侧时，如图3中，当在轴的左侧时，分别求出落在特殊位置的的值即可解决问题．
（3）当（线段，正方形取最小值，推出（线段，正方形的最小值（点，正方形，推出（点，正方形，当（点，正方形时，或，求出两种特殊位置的值，可得结论．
【小问1详解】
解：①如图1中，时，，
（点，正方形．
故答案为：．
②（点，正方形，当点在轴的右侧时，，
解得或（舍弃），
当点在轴的左侧时，，
解得或（舍弃），
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
【小问2详解】
解：如图2中，当在轴的右侧时，
若时，，
解得，或（舍弃），
若时，，
解得，或（舍弃），
观察图象可知，满足条件的的值为．
如图3中，当在轴的左侧时，
若，则有，，
解得，或4（舍弃），
若时，，
解得，或7（舍弃），
观察图象可知，满足条件的的值为．
综上所述，满足条件的的值为或．
【小问3详解】
解：如图4中，
当（线段，正方形取最小值，
（线段，正方形的最小值（点，正方形，
（点，正方形，
当（点，正方形时，或，
代入，得，
将代入，得，
观察图形可知，满足条件的的值为：或．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，图形和的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．