北京市清华大学附属中学2023-2024学年九年级下学期开学测数学试题

这是一份北京市清华大学附属中学2023-2024学年九年级下学期开学测数学试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（清华附中初21级）
一、选择题（本大题共24分，每小题3分）
1. 某种计算机完成一次基本运算需要1纳秒，即0.000000001秒，那么这种计算机连续完成200沙基本运算所需要的时间用科学记数法表示为（ ）
A. 秒B. 秒C. 秒D. 秒
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：秒；
故选：A
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图，黑白棋子摆成的图案里下一黑棋，黑棋落在（ ）号位置上使棋子构成的图形既是轴对称图形也是中心对称图形．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】轴对称图形定义：沿一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合的一个图形；中心对称图形定义：绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原来的图形重合，这个图形就叫中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高【详解】解：根据图案，在1、3、4位置无论放置黑棋还是白棋，既不能构成轴对称图形也不能构成中心对称图形，因此只能选择2位置：2位置放置黑棋，即能构成轴对称图形也能构成中心对称图形；2位置放置白棋，既不能构成轴对称图形也不能构成中心对称图形，
放置黑棋，使棋子构成的图形既是轴对称图形也是中心对称图形，只能在2位置，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解决问题的关键．
3. 无理数的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出（）2的值为24，把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出的范围即可．
【详解】解：（）2=22×（）2=4×6=24，
∵16＜24＜25，
∴4＜＜5．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出（）2是解题的关键．
4. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b＝0，那么下列结论正确的是（ ）
A. |a|＞|c|B. a+c＜0C. abc＜0D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据a+b=0，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
【详解】∵a+b=0，
∴原点在a，b的中间，
如图，
由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，=-1，
故选C.
【点睛】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
5. 将三角尺与直尺按如图所示摆放，若的度数比的度数的三倍多，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角的概念是解题的关键．
根据角的和差列出方程组即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，
答：的度数是，
故选：D．
6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程有实数根可知道判别式大于等于零且，解不等式即可求解．
【详解】解：∵方程有实数根，
∴，，
∴，且．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．
7. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．
【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能，
∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》），
故选：B．
【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
8. 如图，是的直径，为上一点，且于点，点是的中点，连接交于，连接．则下列说法：①；②为中点；③；④．正确的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理判断①即可；在上取点，使得，根据等腰三角形的判定和性质判断②；然后利用等角对等边判断③即可；过点作交的延长线于点，构造，然后利用垂线段最短判断④即可解题．
【详解】解：∵，
∴，
又∵点是的中点，
∴，
∴，故①正确，
在上取点，使得，

则，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故③正确；
过点作交的延长线于点，
则，
∴，
∴，即，
又∵是直径，
∴，
∴，即，故④正确；
故选C．

二、填空题（本大题共24分，每小题3分）
9. 若二次根式有意义，则x取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴2-x＞0，解得：x<2．
故答案为：x<2．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解题的关键．
10. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___．
【答案】x（x﹣3）2
【解析】
【详解】解：x3﹣6x2+9x
=x（x2﹣6x+9）
=x（x﹣3）2
故答案为：x（x﹣3）2
11. 方程 的解是_______．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
移项合并得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12. 已知点都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是______．（用“>”连接）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论．
【详解】解：反比例函数中，
函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小．
，
、两点在第一象限，点在第三象限，
．
故答案为
13. 为了了解某地区初中学生的视力情况，随机抽取了该地区500名树中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：
根据抽样调查结果，估计该地区20000名初中学生视力不低于的人数为______．
【答案】8800
【解析】
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于所占的比例即可求解．
【详解】解：由题意，（名），
故该地区20000名初中学生视力不低于的人数为8800名，
故答案为：8800．
【点睛】本题考查用样本估计总体，理解题意，正确求解是解答的关键．
14. 如图，在矩形中，，若点是边的中点，连接，过点作于点，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先根据矩形的性质得到，，，求得，再根据勾股定理得到，然后证明，列比例式即可解得答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，即，
．
故答案为：
15. 如图，分别是的直径和弦，，交于点．过点作的切线与的延长线交于点，若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，易得垂直平分，是的角平分线，进而推出，再推出，利用含30度角的直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
又 ，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、角平分线的判定、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
16. 小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：
①从左至右按从小到大的顺序排列：
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：
第一行：
第二行：
第三行：
第四行：
其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是______有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查概率问题，图形类规律探索，根据规则确定数值，然后根据不能确定的数字进行求概率即可．
【详解】解：∵黑卡在左边，
∴白卡数字可能为或，
又∵白卡排在第一行，
∴第四行最后一张白色卡片上数字只能是，
每行能确定的数字为：
第一行：1 5 6 7 9
第二行：1 2 3 4 5
第三行：0 6 7 9
第四行：0 2 8 8
不能确定的是黑色3和4，共有两种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为．
三、解答题（本题共72分，第17~21题，每小题5分，第22~23题，每小题6分，第24～26题，每小题7分，第27题8分，第28题6分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先化简各数，再进行加减运算即可，熟记特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
19. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC=90°（圆周角定理），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．
故答案为：圆周角定理；切线判定．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
20. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的求值，将变形，转化为：，整体代入分式，化简求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴原式．
21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题．掌握数形结合的思想，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分和两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴；
【小问2详解】
①当时，
∵当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，
即：当时，双曲线在的上方，
当经过时，，
∴当时，满足题意；
②当时，双曲线过二，四象限，
当时，反比例函数的函数值大于0，直线的函数值小于等于，满足题意；
综上：或．
22. 如图，平行四边形ABCD的对角线 AC，BD 交于点 O，AE⊥BC于点 E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；
（2）连接 AF，若 ，BE＝1，AD＝3，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）解直角三角形得到，由矩形的性质得到．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：
∵平行四边形ABCD，
∴，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF＋EC＝BE＋EC，
即BC＝EF，
∴，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形 AEFD是矩形．
（2）解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，，BE＝1，
∴，
∴AE＝2，
∵四边形AEFD为矩形，
∴FD＝AE＝2，∠ADF＝90°．
∵AD＝3，
∴AF＝＝＝．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形及勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
23. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
（1）以上成绩统计分析表中______，______，______，______；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选______组．
【答案】（1）6，7，7，2
（2）甲 （3）乙
【解析】
【分析】本题考查中位数，众数，平均数及方差．掌握相关定义和计算公式，是解题的关键．
（1）根据中位数，众数，平均数和方差的定义及计算公式，进行求解即可；
（2）比较小明的得分与两个组的中位数的大小关系，进行判断即可；
（3）根据平均数相同，方差越小，越稳定，进行判断即可．
【小问1详解】
解：甲组数据的中间两个数均为6，
∴，
乙组数据的平均数，
∴
出现次数最多的是7，
∴，
方差为：，
∴；
故答案为：6，7，7，2；
【小问2详解】
∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7，小明的得分为7，
又，
∴小明可能是甲组的学生；
故答案为：甲；
【小问3详解】
∵甲，乙两组的平均数相同，但是乙组的方差小于甲组的方差，
∴乙组学生的成绩较为稳定，
∴选择乙组；
故答案为：乙．
24. 如图，是的直径，内接于，点是的中点，连接交于点，延长至，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，圆周角定理得到，推出是的中垂线，进而得到，得到，再根据圆周角定理得到，推出，即可；
（2）根据正切的定义，求出的长，进一步求出的长，根据圆周角定理，得到，解直角三角形求出的长即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
【小问2详解】
在中，，
∴，
由（1）知：，
∴在中，，
∴，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形．掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键．
25. 2022年世界杯足球赛于11月21日至12月18在卡塔尔举行，如图，某场比赛把足球看作点.足球运行的高度与运行的水平距离满足抛物线，如图所示，甲球员罚任意球时防守队员站在他正前方8m处组成人墙，人墙可达的高度为2.2m，对手球门与甲球员的水平距离为18m，球门从横梁的下沿至地面距离为2.44m．假设甲球员踢出的任意球恰好射正对手球门．
（1）当时，足球是否能越过人墙？并说明理由；
（2）若甲球员踢出的任意球能直接射进对手球门得分，求h的取值范围．
【答案】（1）足球能过人墙，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，的函数图像过原点，可求出a的值，即可；当时，由（1）中解析式，分别把和代入函数解析式求出y的值，再与2.2和2.44比较即可；
（2）由抛物线过原点可①，由足球能越过人墙可得②，由足球能直接射进球门可得③，然后解①②③不等式组即可．
【小问1详解】
解：当时，足球能越过人墙，理由如下：
∵当时，函数的抛物线经过点，
∴，解得：
∴y与x的关系式
当时，，
∴足球能过人墙，
【小问2详解】
解：由题设知函数图像过点可得，即①，
由足球能越过人墙，得②，
由足球能直接射进球门，得③，
由①得④
把④代入②得，解得，
把④代入③得，解得，
∴h的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、不等式等知识点，掌握待定系数法确定函数解析式是解答本题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，是拋物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．
（1）若抛物线经过点，求的值；
（2）若对于，都有，求取值范围；
（3）若对于，存在，直接写出的取值范围．
【答案】26.
27. 或
28. 或．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质、增减性：
（1）根据对称轴进行计算，得，再把代入，即可作答．
（2）因为是拋物线，所以把分别代入，得出对应的，再根据联立式子化简，计算即可作答．
（3）根据“，存在”得出当或者，即可作答．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线
∴
即
∴拋物线
∵抛物线经过点
∴把代入
得
解得；
【小问2详解】
解：由（1）知拋物线
∵是拋物线上任意两点，
∴
∵且，都有，
∴
解得或
【小问3详解】
解：∵是拋物线上任意两点，，存在，
∴当时，存在
解得
∴当，存在
解得
综上，满足的取值范围为或．
27. 如图，在中，，点为线段上一点（不与重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用；
（1）根据题意，补全图形即可．
（2）证明出即可解决问题．
（3）利用相似三角形得出，进而得出即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
证明：设交于点，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
【小问3详解】
证明：由（2）知，
，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：若点关于直线的对称点为点，点与点关于直线对称，则称点是点关于点的“对应点”．
（1）已知点，点，点是点关于点的“对应点”，
①如图1，当时，点的坐标为______；
②若的长度不超过4，求的取值范围；
（2）已知点在直线上，如图2，直线与轴，轴分别交于点，对于线段上（包括端点）任意一点，若以1为半径的上总存在一点，使得点关于点的“对应点”在轴的负半轴上，直接写出符合条件的的值．
【答案】（1）①；②或
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意得出关于的对称点为，为关于轴（）的对称点即；
②先得出，勾股定理得出，进而根据，即可求解；
（2）依题意得出，又直线的解析式可得，直线与轴的夹角为，同理可得与轴的夹角为，根据当点与点重合时，与相切， 符合题意，当与点重合时，的长度最大，此时能与轴的负半轴相切，则当在上运动时，与轴的负半轴相交，即可得出．
【小问1详解】
解：①当时，则
∵，则关于的对称点为，
∴为关于轴（）的对称点即，
故答案为：．
②若的长度不超过4，求的取值范围
解：∵，则
∴
∴
∵即
∴
∴或
【小问2详解】
解：∵点在直线上，
∴，
∵点关于点的“对应点”在轴的负半轴上，
∴
∵直线与轴，轴分别交于点，
当时，，当时，
∴，
∴
∴
∴，则，
∴直线与轴的夹角为，
同理可得与轴的夹角为，
如图所示，当点与点重合时，关于的对称点，关于的对称点为，
∵，
∴
∴直线的解析式为，
∴当点与点重合时，与相切，
则等边三角形，关于对称，
与和轴的正半轴相切，
与轴的负半轴以及相切，
又∵是线段上的点，当与点重合时，的长度最大，此时能与轴的负半轴相切，则当在上运动时，与轴的负半轴相交，
即当时，以1为半径的上总存在一点，使得点关于点的“对应点”在轴的负半轴上．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，直线与圆的位置关系，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键视力
以下
以上
人数
98
96
86
95
82
43
组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
7
6
2.6
乙组
7