福建省福州屏东中学2023--2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份福建省福州屏东中学2023--2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的比较大小，根据负数小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．
【详解】解：∵负数小于正数，
∴最小的数在和中，
∵，，，
∴
∴四个数中最小的数是，
故选：．
2. 某细菌的直径为0.000000072毫米，用科学记数法表示0.000000072为（ ）
A. 7.2×10－7B. C. 7.2×10－9D. 0.72×10－9
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：用科学记数法表示0.000000072为．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，解题的关键是确定a和n的值．
3. 鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4. 面积为5的正方形的边长为，则的值在（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】B
【解析】
【分析】利用算术平方根的含义先表示，再根据，从而可得答案．
【详解】解：面积为5的正方形的边长为，
∴，即
∴边长m在2和3之间，
故选：B．
【点睛】本题考查的是算术平方根的应用，无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，积的乘方分别判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握这些知识是解题的关键．
6. 如图，已知，用尺规作图如下：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N
②以点N为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点C
③作射线
那么下列角的关系不正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由作图可知：，推出射线是的角平分线，由此即可判断；
【详解】解：由作图可知：，
∴射线是的角平分线，
故A、C、D正确，
故选：B．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
7. 下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据正比例函数性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质进行解答．
【详解】解：A．∵开口向上，对称轴是直线，且函数图像过点，
则函数图像过一，二，三，四象限，故本选项不符合题意；
B．∵的系数，
∴函数图像过一，三象限，故本选项不符合题意；
C．在中，，，
则函数过一，二，四象限，故本选项符合题意；
D．∵中，，
∴函数图像过一，三象限，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质．反比例函数的性质．二次函数的图象与性质．一次函数的性质，解题的关键是根据系数的符号判断图象的位置．
8. 图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作辅助线如图，由题意可得，，解直角三角形求出，然后根据即可得出答案.
【详解】解：如图，作直线，交双翼闸机于点E、F，则，
由题意可得，，
在直角三角形中，∵，
∴，
∴；
故选：D.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.
9. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的几何意义，全等三角形的判定和性质，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据的几何意义即可求解，熟练掌握以上性质的解题关键．
【详解】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在函数上，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点在第二象限，
∴，
故选：．
10. 已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1-b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值（ ）
A. 3B. 2C. 1D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知二次函数的图象经过不同两点A（1-b，m），B（2b+c，m），
由A、B两点的纵坐标相同，由A、B两点的中点在对称轴的上，为此对称轴为，再利用对称轴公式，由此可以找到b与c的关系，二次函数的图象与x轴有公共点，y=0，有实根，△≥0，转化为一个字母的式子整理即可．
【详解】∵已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1-b，m），B（2b+c，m），
又∵由A、B两点的纵坐标相同，
∴二次函数的对称轴为x=，
又x=，
∴b=，
∴b=1+c，
∴c=b-1，
∵二次函数的图象与x轴有公共点，
∴y=0时，一元二次方程有实根，
∴△=(-2b)2-4(2b2-4c)=-4b2+16c=-4b2+16(b-1)=-4(b-2)2≥0，
∴(b-2)2≤0,
∵(b-2)2≥0，
∴b-2=0，
∴b=2，c=1，
∴b+c=3．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数与x轴右交点问题，关键是利用A、B两点的坐标与对称轴的关系中找出b与c的联系，然后利用判别式可以解决问题．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 如果温度上升记作，那么下降记作___________．
【答案】
【解析】
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：气温上升记作，则气温下降记为：，
故答案为：．
12. 某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击次，计算他们的平均成绩及方差如表所示：射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______ ．
【答案】丙
【解析】
【分析】本题考查方差的意义、平均数的意义，熟练掌握方差越大，表明这组数据偏离平均数越大即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键．
根据甲、乙、丙三人中甲和丙的平均数最大且相等，甲、乙、丙三人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定即可求解．
【详解】解：∵甲、乙、丙三人中甲和丙的平均数最大且相等，甲、乙、丙三人中丙的方差最小，
∴丙的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，
∴最合适的人选是丙，
故答案为：丙．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=4，则EF= _________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据是直角三角形，CD是斜边的中线得AB=8，根据EF是的中位线，即可得．
【详解】解：∵是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴，
则，
∵EF是的中位线，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线，解题的关键是掌握这些知识点．
14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
又∵该方程一元二次方程，
，
且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．
15. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，，
由题意得：，
∴为等边三角形，
∴，
∴的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
16. 如图，在中，于点D，E为边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④连接，．上述结论中正确的有_________．（填正确的序号）．
【答案】①②③．
【解析】
【分析】由折叠的性质可得由平行线的性质可得
可证 可判断①；通过证明可得 可判断②；由中线的性质可得 可判断③；设则利用x表示 GH ， BH， HG 的长，可求可判断④，即可求解．
【详解】解：①∵将沿AC翻折到
∴四边形是菱形．
故①正确．
②
又
又
∵E是AC的中点，
故②正确．
③
故③正确．
④如图所示：过点G作交BA延长线于H，
设则
∵四边形是菱形，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题%是解题的关键．
三、解答题（共9题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，利用二次根式的性质、零指数幂、绝对值的性质分别化简，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【详解】解：
解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为．
19. 如图，点在一条直线上，于，于，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，根据证明，得到，再根据平行线的判定即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵点在一条直线上，于，于，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
20 先化简，再求值：，其中：
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再根据分母有理化的方法求值即可．
【详解】解：
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键．
21. 人类的性别是由一对性染色体决定，当染色体为时是女性；当染色体为时是男性，右图为一对夫妻的性染色体遗传图谱．
（1）这对夫妻“第一胎为男孩”是__________事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）“第一胎为女孩”的概率是__________；
（2）这对夫妻计划生两个小孩，请用列表或画树状图的方法求出两个小孩是“一男一女”事件的概率．
【答案】（1）随机，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据事件的分类，概率公式求概率即可求解；
（2）根据列表法或画树状图法求概率即可求解．
【小问1详解】
解：这对夫妻“第一胎为男孩”是随机事件，“第一胎为女孩”的概率是
故答案为：随机，；
【小问2详解】
方法一：依题意可列表如下：

共有4种等可能的结果，其中一男一女的结果有2种，
（两个小孩恰好是一男一女）
方法二：依题意可画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中一男一女的结果有2种，
（两个小孩恰好是一男一女）
【点睛】本题考查了概率公式求概率，事件的分类，列表法或树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
22. 如图，在中，，点O在斜边上，以O为圆心，的长为半径的圆交于点D，交于点E，为的切线．

（1）求证：；
（2）若，，求的半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）⊙O的半径为
【解析】
【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等得到，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）通过证明求得线段的长，连接，由圆周角定理可得，可知，易证，可得，求得，根据勾股定理得，进而可求的半径．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接，

∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得，
∴．
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
23. 已知国际标准纸的长与宽的比为，如数学答题卡就是一张国际标准的A3纸，它是一个长与宽比是的矩形．在数学项目式学习活动课上，同学们围绕国际标准纸开展探究：
（1）探究活动1：如图1，将一张国际标准纸按如下方式折叠：点E在边上，将沿对折，使点B落在边上的点F处：点G在边上，将沿对折，使点D落在边上的点H处．几位同学针对图中与，提出如下结论：
①与相似；
②与都是等腰直角三角形；
③与全等．
请选择上述结论中的一个进行判断，若该结论是真命题，请加以证明；若该结论是假命题，请给出一个反例进行说明：（注意选择①，②，③答题的满分分别是5分，6分，7分）
（2）探究活动2：如图2，已知正方形，请用尺规作图的方式在图中作出一个国际标准纸规格的矩形，其中矩形一边的长等于正方形的边长．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）选择①（也可选择②或③），理由见详解
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）由，再根据“同角的余角相等”可得，由此可证，因此①是真命题；设矩形的长为，宽为1，则可求得，因此得，从而得是等腰直角三角形，进而得是等腰直角三角形，因此②是真命题；由②得，，由此可求得，，由可证，因此③是真命题．
（2）连接正方形的两条对角线，交于O点，以B点为圆心，以长为半径画弧，交边于E点，以C点为圆心，以长为半径画弧，交边于F点，连接，则矩形的长与宽的比为．
本题主要考查了等腰直角三角形的判定和全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【小问1详解】
，，
，
．
，
，
，
．
∴①是真命题；
设矩形的长为，宽为1，
则，，
则，
，
．
，
，
是等腰直角三角形．
，
，
，
∴等腰直角三角形．
∴②是真命题；
由②得，，
，
，，
，
，
，
则．
又，
．
∴③是真命题．
【小问2详解】
如图，矩形长与宽的比为．
24. 已知是等腰三角形．
（1）如图1，若，均是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，求证：；
（2）如图2，若为等边三角形，将线段绕点逆时针旋转90°，得到，连接，的平分线交于点，连接．
①求的度数；
②试探究线段之间的数量关系，并证明．
【答案】24. 见解析
25. ①；②，见解析
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质得，，，由即可得证；
（2）①在上截取，由等边三角形的性质得，，由旋转的性质得，，由判定，由全等三角形的性质得 ，即可求解；②由勾股定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，由即可求解；
【小问1详解】
证明：，均是顶角相等的等腰三角形，
，，
，
，
，
在和中
，
()；
【小问2详解】
解：①如图，在上截取，
为等边三角形，
，
，
线段绕点逆时针旋转90°，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
平分，
，
，
，
；
②，理由如下：
如图，
由①得：
，
在和中
，
()，
，
；
故：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出适当的辅助线，构建是解题的关键．
25. 已知抛物线，其中是实数．
（1）已知三个点，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与轴交于两点（点在轴正半轴），与轴交于点，抛物线的顶点的记为，
①若点在点之间的抛物线上运动（不与点重合），连接交于点，连接．记的面积分别为，求的很大值；
②过点的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作的垂线，交抛物线于点，过的中点作于点．求证：．
【答案】（1）
（2）① ②见详解
【解析】
【分析】（1）根据抛物线解析式可得，根据等角对等边推得待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）过点作于点，点作 于点，根据三角形的面积公式可推得 ，待定系数法求直线的解析式为，设，求得直线的解析式为，设，求得直线OD的解析式为，根据 ，推得，根据二次函数的性质可得当时，有最大值为 即可求得；
（3）根据（1）得顶点，连接和，过点作与点，待定系数法求直线的解析式为：，求得直线与直线的交点坐标为 ，求得，根据直线与抛物线交于两点，求得 ，，根据平行线分线段成比例公理可求得，根据正切的定义推得，根据等角的余角相等可得，推得，根据中线的判定可得是斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明 ．
【小问1详解】
解：∵的顶点坐标为，
∴顶点在直线上，
当时，，
当时，，
∴顶点为，
∴抛物线为；
【小问2详解】
①过点作 于点，点作 于点，如图，
的面积为 ，
的面积为 则
，
，
令，则，解得或，
∴，，
当时，，
∴
设直线的解析式为 将代入得：
，解得 ，
∴直线的解析式为，
设则直线的解析式为，
设则直线的解析式为 ，
即 ，
整理得：，
则，
，
故当时，有最大值为 ，
即 的最大值是 ；
②连接和，过点作与点，如图：
设直线的解析式为： 将
代入求得：
故直线的解析式为：

∵直线与直线 交于点F，
∴将点的纵坐标 代入

得：解得： ，
∴
∴点的横坐标，
∴，
，
∵直线与抛物线交于两点，则，
整理得：
∴，
，
，
即点的横坐标为，
∴，
，
，
，为的中点，
，
即，
，
，
在中，
，
在中，
，
即，
，
又，
，
，
∴，
即为直角三角形，
又∵ 为的中点，
∴是斜边上的中线，
．
【点睛】本题考查了等角对等边，待定系数法求抛物线解析式，三角形的面积公式，求一次函数解析式，二次函数的性质，平行线分线段成比例公理，正切的定义，余角的性质，中线的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，根据正切的定义推得是解题的关键．甲
乙
丙
环
②
①
男
女
男
男，男
女，男
女
男，女
女，女