广东省深圳市南山区哈尔滨工业大学（深圳）实验学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省深圳市南山区哈尔滨工业大学（深圳）实验学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共25页。

1、本试卷满分100分，考试时间为90分钟；
2、本试卷共22道大题，请同学们仔细审题，认真答题，祝你成功！
一、选择题（共10题，每题3分）
1. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是( )

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的主视图的含义可直接进行判断．
【详解】解：由题意可得：该几何体的主视图为
；
故选A．
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的画法是解题的关键．
2. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，利用配方法直接求解即可得到答案，熟记配方法解一元二次方程是解决问题的关键．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高【详解】解：，
配方可得，
故选：A．
3. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点B的对应点为，则的坐标为（ ）

A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，，
的坐标为或，
即的坐标为或，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
4. 如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形面积为（ ）

A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．
【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形，
∴，与互相平分，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴菱形的面积为．
故选：B
【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察图像得到两个交点的横坐标，再观察一次函数函数图像在反比例函数图像上方的区段，从而可得答案．
【详解】解：由图像可得：两个交点的横坐标分别是：
所以：当时，
，
故选D．
【点睛】本题考查的是利用一次函数图像与反比例函数图像解不等式，掌握数型结合的方法是解题的关键．
6. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点，下列命题是真命题的是（ ）

A. 若，则平行四边形是菱形
B. 若，则平行四边形是矩形
C. 若，则平行四边形是矩形
D. 若且，则平行四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可判定A；根据，又由平行线性质年，从而得出，所以，则，所以平行四边形是矩形，可判定B；根据，可得出，则平行四边形是菱形，可判定C；根据且，则平行四边形是菱形，可判定D．
【详解】解：A、∵平行四边形，，，，∴平行四边形是矩形；所以若，则平行四边形是菱形上假命题，故此选项不符合题意；
B、∵平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴平行四边形是矩形，∴若，则平行四边形是矩形是真命题；故此选项符合题意；
C、∵平行四边形，∴，∴，∵
∴，∴平行四边形是菱形，∴若，则平行四边形是矩形是假命题，故此选项不符合题意；
D、若且，则平行四边形是菱形，所以若且，则平行四边形是正方形是假命题，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查矩形、菱形、正方形的判定，命题真假的判定．熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．
7. 用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为，由题意得
，
故选：C．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．
8. 正方形网格中，如图放置，则的值为( )

A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，，根据勾股定理可以得到，则是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】如图，连接，，设正方形的网格边长是，则根据勾股定理可以得到：

，，
在中，由等腰三角形三线合一得：，
则，
，
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．
9. 下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的一般式．熟练掌握，是解题的关键．
根据二次函数的一般式进行判断作答即可．
【详解】解：A中，当时，不是二次函数，故不符合要求；
B中，是二次函数，故符合要求；
C中，是一次函数，故不符合要求；
D中，整理得，，一次函数，故不符合要求；
故选：B．
10. 如图，在正方形中，对角线和相交于点O，点E在上，连接，过点E作的垂线交于点F，连接，过点E作垂足为点H，以为边作等边三角形，连接交于点M，下列四个命题或结论：①；②；③；④若，则四边形MEDG的面积是．其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，过点E作于N，证明四边形是正方形，得到，则，证明得到，即可判断①；证明，推出，由三线合一定理即可判断②；设交于T，证明四边形是矩形，再证明，同理可得，得到，再由，即可得到，即可判断③；如图所示，以B为原点，以所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，先求出直线的解析式为；再求出，，则，进一步求出，再根据求解即可判断④．
【详解】解：如图所示，过点E作于N，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
设交于T，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
又∵，
∴，故③正确；
如图所示，以B为原点，以所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，
∵，四边形是正方形，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴，
∴
，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
二、填空题（15分，每题3分）
11. 若，则_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．
【详解】解：∵
∴=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例性质，此题比较简单，注意熟记比例变形．
12. 为为了缓解中考备考压力，增加学习兴趣，李老师带领同学们玩转盘游戏．如图为两个转盘，转盘一被四等分，分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”；转盘二被三等分，分别写有汉字“我”“必”“胜”．将两个转盘各转动一次（当指针指向区域分界线时，不记，重转），若得到“必”“胜”两字，则获得游戏一等奖，请求出获得游戏一等奖的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果数，其中获得游戏一等奖的有2种，
则获得游戏一等奖的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 如图，中，，，以边上的中线为折痕将折叠，使点落在点处，如果恰好与垂直，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，设交于G，先由直角三角形斜边上的中线的性质得到，则，由三角形外角的性质得到，由折叠的性质得到，即可根据三角形内角和定理求出，则．
【详解】解：如图，设交于G，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
∴
∵将沿直线折叠，点落在点处，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确求出是解题的关键．
14. 双曲线和如图所示，是双曲线上一点，过点作轴，垂足为，交双曲线于点，连接，若的面积为2，则______．

【答案】5
【解析】
【分析】本题考查反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义及其基本模型计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵反比例函数位于第一象限，
∴，
∴
故答案为：5．
15. 如图，中，，是边上的一点，，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作交于点G，过点B作交的延长线于点E，取得中点F，连接，证明，列比例式计算即可．本题考查了特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】过点C作交于点G，
∵，，，
∴，，；
过点B作交的延长线于点E，取得中点F，连接，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
整理，得,
解得，（舍去），
∴，
故答案为：．
二、解答题（55分，其中16题4分，17题6分，18题9分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分）
16. 计算：
【答案】-3
【解析】
【分析】先将各项分别化简，再作加减法.
【详解】解：
=
=－3
【点睛】本题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则.
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）因式分解法解方程即可；
（2）公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
18. 2022年3月23日．“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数直方图中，所抽取学生成绩的中位数落在 组；
（2）补全学生成绩频数直方图：
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）400 名，D
（2）见解析 （3）1680人
（4）见解析，
【解析】
【分析】（1）用C组的人数除以C组所占的百分比可得总人数，再用总人数乘以B组所占的百分比，可求出m，从而得到第200位和201位数落在D组，即可求解；
（2）求出E租的人数，即可求解；
（3）用学校总人数乘以成绩优秀的学生所占的百分比，即可求解；
（4）根据题意，画树状图，可得共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，再根据概率公式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：名，
所以本次调查一天随机抽取 400 名学生的成绩，
频数直方图中，
∴第200位和201位数落在D组，
即所抽取学生成绩的中位数落在D组；
故答案为：400，D
【小问2详解】
解：E组的人数为名，
补全学生成绩频数直方图如下图：
【小问3详解】
解：该校成绩优秀的学生有（人）；
【小问4详解】
解：根据题意，画树状图如图，
共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，
恰好抽中一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】本题主要考查了频数直方图和扇形统计图，用样本估计总体，利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）将A点坐标代入直线y=x中求出m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例函数的解析式；
（2）根据直线的平移规律设直线BC的解析式为y=x+b，由同底等高的两三角形面积相等可得△ACO与△ABO面积相等，根据△ABO的面积为，列出方程OC•2=，解方程求出OC=，即b=，进而得出直线BC的解析式．
【详解】（1）（1）∵直线y=x过点A（m，1），
∴m=1，解得m=2，
∴A（2，1）．
∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点A（2，1），
∴k=2×1=2，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）连接AC，
由平行线间的距离处处相等可得△ACO与△ABO面积相等，且△ABO的面积为，
∴△ACO的面积=，
∴
∴直线的解析式
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20. 2020年是脱贫攻坚的收官司之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝－2x＋160
（2）销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元
（3）销售单价定为50元时，每天的利润最大，最大利润是1200元
【解析】
【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案；
（3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【小问1详解】
解：设y＝kx＋b
把（30，100） ， （40，80）代入得
解得：k＝－2 b＝160
∴y＝－2x＋160
当x＝45，y＝70时也适合.所以y与x的一次函数关系式是y＝－2x＋160；
【小问2详解】
解：根据题意，得
800＝（x－30）（－2x＋160）
整理，得
解得
∵30≤x≤50
＝70（不合题意，舍去）
∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；
【小问3详解】
解：由题意，得w＝（x－30）（－2x＋160）
＝－2
＝＋1250
∵a＝－2＜，∴有最大值．∵≤≤50，
当＜55时，随的增大而增大，
∴当x＝50时，有最大值， 此时，w＝－2（50－55）＋1250＝1200
答：销售单价定为50元时，每天的利润最大，最大利润是1200元．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21. 如图，在中，是边上一点．

（1）当时，
①求证：；
②若，，求的长；
（2）已知，若，求的长．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据相似三角形判定方法对应角相等证明即可；②利用相似三角形对应边呈比例求解即可；
（2）据相似三角形判定方法对应边呈比例证明，由，，即可求解．
【小问1详解】
①证明：∵，，
∴；
②解：∵，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴.
∵，
∴，
∴.，
，
∴
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
22. （1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______．
（2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；
（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．

【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）2；（4）
【解析】
【分析】（1）通过证明全等，得到；
（2）通过证明得到，，延长相交于点H．可以证明；
（3）作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，证明，得出，求出，得出点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M，求出结果即可；
（4）作点D关于直线的对称点，连接交于G，根据两点之间线段最短，得出此时的值最小，最小值为，根据，得出，即，从而得出的最小值就是的最小值．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：．理由如下：
延长相交于点H．

∵矩形、矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴点G的运动路径长度为2，
故答案为：2．
（4）解：作点D关于直线对称点，连接交于G，如图所示：

根据解析（3）可知，点G的运动轨迹是直线，
∵，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时的值最小，最小值为，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70