四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

这是一份四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题，共17页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，设是等比数列的前项和，若，则，圆与圆的公共弦的长度为，已知直线，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
试卷总分150分，考试时长120分钟
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置上；
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；
3所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分，请把答案填涂在答题卡的相应位置上）
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6.我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数：
若用表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ）
A. B. C. D.
3.设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A.2 B. C. D.
4.在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.圆与圆的公共弦的长度为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，已知分别是双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知椭圆的离心率为，左顶点是，左､右焦点分别是，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为.若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（请把答案填涂在答题卡的相应位置上）
9.抛掷一枚质地均匀的股子，记“点数为，其中，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（ ）
A. B.为互斥事件
C. D.为对立事件
10.已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A.若直线与直线平行，则
B.直线倾斜角的范围为
C.当时，直线与直线垂直
D.直线过定点
11.在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（ ）
A.若为的中点，则
B.若为的中点，则到的距离为
C.若，则平面
D.的周长的最小值为
12.某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格.从第0格起跳，记跳到第格的概率为，则（ ）
A.
B.
C.数列为等差数列
D.
三､填空题（请把答案写在答题卡相应位置上）
13.已知数列，对都有，且，则__________.
14.在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为__________.
15.在平面直角坐标系中，已知点，若圆上有且仅有一对点，使得的面积是的面积的2倍，则的值为__________.
16.过双曲线的左焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，这条垂线与另一条渐近线在第一象限内交于点为坐标原点，若成等差数列，则的离心率为__________.
四､解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.甲､乙､丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为，其中.
（1）若，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；
（2）当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率.
18.已知椭圆的右焦点与短轴端点间的距离为.
（1）求的方程；
（2）过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程.
19.将矩形面绕边顺时针旋转得到如图所示几何体.已知，点在线段上，为圆弧的中点.
（1）当是线段的中点时，求异面直线写所成角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在求出线段的长，如果不存在，说明理由.
20.已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21.如图，四棱锥中，平面，，过的平面分别与棱交于点.
（1）求证：；
（2）记二面角的大小为，求的最大值.
22.已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知点，点，过点的直线与抛物线交于两点，连接交抛物线于另一点，证明：直线过定点，并求出定点坐标.
彭山一中25届高二下入学考试数学
参考答案：
1.A 【详解】由直线得
故直线的斜率为，又倾斜角范围为，所以倾斜角为.
2.D 【详解】设事件“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中，
至少有两天下雨有，
即事件发生了13次，用频率估计事件的概率近似为.
3.B 【详解】由题意得，
因为成等比数列，故，
即，解得，故.
4.C 【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则，
又，两式相减得，整理得，
所以以点为中点的弦所在的直线方程为，即.
5.D 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，
半径为2，则圆心距离为，故两圆相交，则两圆的公共弦所在直线方程为
，即，所以公共弦的长度为.
6.C 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径，
圆心到直线的距离为，即与圆相离，
由于，故，
故当时，最小，此时最大，则也取最大值，
此时，
7.C 【详解】依题意，设，则，
由，得，在Rt中，，
整理得，因此，
在Rt中，有，整理得，
显然，即，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
8.A 【详解】因为离心率为，故可设，故，
故椭圆方程为：，而，故，因，
故.故直线与轴不垂直也不重合，故可设，
，则，由可得，
因在椭圆内部，故恒成立，且，
故，因，故，
此时，
故在第一象限，符合条件，的斜率为，
9.ABD 【详解】对：抛掷一枚股子，所有基本事件为：，故，故A正确；对B：为互斥事件，选项B正确；
对C：，选项C错误；
对D：为对立事件，选项正确.
10.BC 【详解】选项存在斜率，
直线方程可化为：，
直线也存在斜率，方程可化为，
由，则两直线平行的充要条件为，
即解得或2，故错误；
选项，由直线的斜率，
则倾斜角的范围为，故B正确；
选项C，当时，直线，斜率为1，
又直线的斜率为-1，则两直线斜率之积为-1，故两直线垂直，C正确；
选项D，，令，得，
故直线过定点，不过错误.
11.BCD 【详解】解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
可得平面的一个法向量为.
若为的中点，则，
，
则到的距离，不正确，正确.
若，则，则，
因为平面，所以平面正确.
将平面沿着翻折至与平面共面，
当三点共线时，的周长最小，此时，
翻折前，故的周长的最小值为，D正确.
12.ACD 【详解】两枚骰子的点数均为奇数的概率，故玩家每次往前跳两格的概率为，往前跳一格的概率为，则，A正确，B不正确.由题可知，，
则，
故数列为常数列，也是等差数列，正确.
又，得，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，则正确.
13. 【详解】令，可得，
故是以1为首项，1为公差的等差数列，则，故，
，故是以2为首项，2为公差的等差数列，
设前项和为，则.
14. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，所以，
而平面平面，故平面，
所以直线到平面的距离即为点到平面的距离.
又，设平面的法向量为，
故，即，取，则，
又，故点到平面的距离为.
15. 【详解】解：直线的方程为，即.
圆的圆心到直线的距离，
由的面积是的面积的2倍的点有且仅有一对，
可得点到的距离是点到直线的距离的2倍，
可得过圆的圆心，如图：
由，解得.
16. 【详解】如图，设，渐近线，渐近线，直线：，因为点在第一象限，所以，得，原点到直线的距离，即.将直线与联立方程组可解得，故.所以.
在Rt中，，整理可得，
所以，整理得，所以离心率.
17.【详解】（1）因为，所以这三人中恰有一人答对该试题的概率.
（2）这三人都没答对该试题的概率，
当且仅当时，等号成立，
此时这三人中恰有一人答对该试题的概率，
这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，三人至少有两人答对该试题的概率.
18.【详解】（1）由已知得，又因为右焦点与短轴端点间的距离为
得，则的方程为.
（2）由题可知，若面积存在，则斜率不为0，
所以设直线的方程为，
联立消去得，
因为直线过点，所以显然成立，且.
因为
即，解得或（舍去）
则，所以直线的方程为或.
19.【详解】（1）如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标
系.则，
当是线段的中点时，，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）设，设平面的法向量为，
又，
所以，令，得，
若平面，则，解答.
所以在线段上存在点，使得平面，此时.
20.【详解】（1）当时，，又，所以.
由，得，两式相减，得，即，
所以是首项为2，公比为的等比数列，因此的通项公式，
设等差数列的公差为，则由，得，
又，所以，解得，所以数列的通项公式为.
（2）由及，得，所以
设的前项和为，则.
设的前项和为，则，
两式相减，得
，所以.
所以.
21.【详解】（1）因为平面平面，
所以平面.因为过的平面分别与棱交于，所以；
（2）因为平面平面平面
所以，又因为，
如图，建立空间直角坐标系，则
，
所以，
设，则
设平面即平面的法向量为，
则，
令，则，于是；
设平面即平面的法向量为，
则，
令，则，于是，
所以
，
因为，所以，由二面角的大小为，
根据的方向判断可得，
所以，当时，的最大值为.
22.【详解】（1）因为为抛物线上一点，
所以，
又因为，所以，即，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）设，则的直线方程为，
化简得，又在抛物线上，得，
代入直线得，
化简得，
代入点，得，则①，同理的的直线方程为，
代入点，得②，由①②得，即③，
同理可得的直线方程为，
代入③得，即，故直线过定点.425
123
423
344
144
435
525
332
152
342
534
443
512
541
135
432
334
151
312
354