2022年江西省萍乡市九年级初中学业水平考试适应性（二）数学试题（解析版）

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2．请将答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列各数中，是负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负整数指数幂，有理数的减法，零次幂进行计算即可求解．
【详解】A. 是负数，符合题意；
B. ，不是负数，不合题意；
C. ，不是负数，不合题意；
D. ，不是负数，不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，有理数的减法，零次幂，正确的计算是解题的关键．
2. 已知，且a与b互为相反数，下列各式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的定义，得出，然后根据绝对值意义，分式性质，有理数乘法，有理数除法，逐项判断即可．
【详解】解：A．根据相反数的定义，一定成立，故A不符合题意；
B．∵，，
∴一定成立，故B不符合题意；
C．∵，，
∴一定成立，故C不符合题意；
D．当时，，此时，而不成立，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的意义，有理数乘除法，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．
3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出俯视图，进行判断即可．
【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是：
故选D．
【点睛】本题考查几何体的三视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．注意，存在，看不见的用虚线表示．
4. 九（1）班学生为本班一位患重病同学捐款，捐款情况如下表：
则学生捐款金额的中位数是（ ）
A. 11元B. 14元C. 10元D. 20元
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵将九（1）班学生的捐款金额从小到大进行排序，排在第25位和第26位的都是20元，
∴学生捐款金额的中位数是20元，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是掌握中位数的定义，注意偶数个数的中位数为中间两个数的平均数．
5. 如果不等式组有解，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】不等式有解， .
故选C.
6. 将铁丝围成的△ABC铁框平行地面（水平）放置，并在灯泡的垂直照射下，在地面上的影子是△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′之间是属于（ ）
A. 对称变换B. 平移变换C. 位似变换D. 旋转变换
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分析可得△ABC与△A′B′C′的各对应点的位置关系，面积的大小关系等，进而由几何变化的定义可得答案．
【详解】根据题意，由于△ABC平行地面放置，且在灯泡的照射下，所以△ABC与△A′B′C′的各对应点的位置不变，且其连线应交于灯泡的所在的地方，面积大小不一，所以属于位似变换，
故选：C．
【点睛】本题考查了常见几何变化定义与判定，注意结合题意，把握几何变化的定义进行判断．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 绝对值小于3的所有整数的和是______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据绝对值的性质得出绝对值小于3的所有整数，再求和即可．
【详解】解：绝对值小于3的所有整数有：，它们的和为：0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是熟知绝对值的概念及性质，并正确求一个数的绝对值．
8. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.
【答案】90º
【解析】
【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与∠2的和为90°.
【详解】解：如图，根据方格纸的性质，
在△ABD和△CBE中
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠2=90°，
∴=90°.
故答案为：90°.
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
9. 已知三角形三边长分别为m，n，k，且m、n满足，则这个三角形最长边k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据求出m、n的长，根据三角形三边关系求出k的取值范围，再根据k为最长边进一步即可确定k的取值．
【详解】解：由题意得n-9=0，m-5=0，
解得 m=5，n=9，
∵m，n，k，为三角形的三边长，
∴，
∵k为三角形的最长边，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的三边关系，根据题意求出m、n的长是解题关键，确定k的取值范围时要注意k为最长边这一条件．
10. 如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是_____cm2．
【答案】12
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：∵F是CE的中点，
∴S△ACE＝2S△AEF＝6cm2，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴S△ACE＝S△ABC，
∴△ABC的面积＝12cm2．
故答案为12．
【点睛】考核知识点：三角形中线.理解三角形中线性质是关键.
11. 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，以及根与系数的关系，进行求值即可．
【详解】解：∵a，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，利用整体思想求代数式的值，是解题的关键．
12. 在直角坐标系中，有，，三点，D是坐标平面内另一点，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是___________．
【答案】或或
【解析】
【分析】分三种情况，①当四边形是中心对称图形，②当四边形是中心对称图形时，③当四边形是中心对称图形时，利用中心对称的性质分别求解即可．
【详解】解：设点，分三种情况，如图，
①当四边形是中心对称图形，则点B、点C对称，点A、点对称，
∵，，
∴对称中心坐标为，
∵点A、点对称，，
∴，，
解得：，，
∴；
②当四边形是中心对称图形时，
则点A、点C对称，点B、点对称，
∵，，
∴对称中心坐标为，
∵点B、点对称，，
∴，，
解得：，，
∴；
③当四边形是中心对称图形时，
则点A、点B对称，点C、点对称，
∵，，
∴对称中心坐标为，
∵点C、点对称，，
∴，，
解得：，，
∴，
综上，以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是或或．
【点睛】本题考查中心对称图形，关于某点是心对称点的坐标，掌握中心对称点的坐标规律是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）明明在计算时，判断结果是一个定值．你同意他的判断吗？请说明你的理由．
（2）如图，在中，，，那么经过，两点的直线与相互垂直吗？请证明你的结论．
【答案】（1）同意他的判断，见解析；（2）相互垂直，见解析
【解析】
【分析】（1）根据分式混合运算的法则化简即可；
（2）已知，得到点在的中垂线上；已知，得出点在的中垂线上，结合两点确定一条直线即可得出结论．
【详解】（1）同意他的判断．
理由：原式，
，
，
，
（2）经过，两点的直线与相互垂直．
∵，
∴点在的中垂线上，
又∵，
∴点在的中垂线上，
∴经过，两点的直线与相互垂直．
【点睛】本题主要考查分式的化简，线段垂直平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14. 南昌某区举办了“红谷杯”教学竞赛，A、B、C三位参赛老师被安排在某日上午第一、二、三节课上，其上课顺序由抽签决定．
（1）老师A抽到第三节课上的概率是___________；
（2）试用画树状图的方法求出老师B比老师C先上课的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，求概率即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图，如下：
一共有6种等可能结果，其中老师B比老师C先上课的结果数为3，
∴P（老师B比老师C先上课）．
【点睛】本题考查概率的计算．熟练掌握树状图的画法，以及概率公式，是解题的关键．
15. 如图，在直角坐标系中，直线与双曲线在第一象限交于，C两点，过点B作轴于点A，连接，．
（1）求直线与y轴的交点E的坐标；
（2）若，求双曲线的解析式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出的值，即为点的坐标；
（2）易得为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，得到，求出的值，待定系数法求出反比例函数的解析式即可．
【小问1详解】
解：∵，轴于A，
∴轴，即；
过C作于点D，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，则
将代入，得，解得，则点．
设直线BC的解析式为，则
解得：，，直线BC的解析式为：．
∴E的坐标为．
【小问2详解】
∵，且，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，解得，则，
∴双曲线的函数关系式为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，同时考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，点E，H在边上，点F，G在上，且已知，，矩形的面积为48，，．
（1）四边形是___________形；
（2）求图中最大矩形的对角线的长．
【答案】（1）正方 （2）10
【解析】
【分析】（1）首先由得到四边形是菱形，然后由即可证明出四边形是正方形；
（2）设矩形的长为a、宽为b，首先根据题意得到，．，，然后得到方程求出，，最后根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴菱形是正方形；
【小问2详解】
设矩形的长为a、宽为b，
∵四边形是正方形，四边形是矩形，
则，．，，
由此可设a，b是方程的两根，
解得：，，
∴，，
根据勾股定理，图中最大矩形的对角线．
【点睛】此题考查了正方形的性质和判断，矩形的性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
17. 如图1、图2，点均在小正方形网格的格点上，请利用无刻度的直尺分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不写画法．
（1）如图1，分别在上找点，使得，且；
（2）如图2，分别在上找点，使得，且．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据，且，可知作的底边的中位线，则找到线段中点连接即可；
（2），且，可知将线段分成份，占份，根据（1）的方法先找到的中点，再找的中点，过点作个单位长度，作点作个单位长度，连接交于点，连接，即可．
【小问1详解】
解：分别以为对角线，作矩形，矩形，连接与交于点，连接与交于点，连接，如图所示，
图中即为所求点的位置．
【小问2详解】
解：根据（1）的作法，先求出的中点，分别以为对角线画矩形，连接交于点，过点作个单位长度，作点作个单位长度，连接交于点，连接，如图所示，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵点是中点，点是中点，
∴，即，且是公共角，
∴，
∴,
∴图中即为所求点的位置．
【点睛】本题主要考查线段等分点，理解并掌握格点三角形中边的关系，矩形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质是解题的关键．
四、（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18. 某校针对初三年级共200名男生一百米跑步成绩情况进行快速调查，其过程如下：
数据收集
（1）从初三年级200名男生中抽取10名学生进行摸底测试：
A．从初三年级重点班中随机抽取10名男生
B．从初三年级身高为的男生中随机抽取10名男生
C．从初三年级男生中随机抽取10名男生
D．从初三年级同年出生的男生中随机抽取10名男生
其中你认为合理的抽样方案是（ ）
数据整理
（2）下表是所抽取的10名男生一百米跑步的成绩（分为A、B两组，跑步成绩以16s为基准，快于16秒的部分计为正，慢于16秒的部分为计负）．
数据分析
（3）A、B两组百米跑步成绩的众数分别是___________s、___________s，中位数分别是___________s、___________s；
（4）在“数据整理”中，通过相关的计算，说明哪个组的成绩比较均匀；
数据说理
（5）在上述统计中，通过对数据分析至少举出三条理由说明A组成绩好于B组成绩．
【答案】（1）C；（3），；，；（4）A组的成绩比B组的成绩均匀，见解析；（5）理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据样本的随机性可得答案；
（3）由众数、中位数的定义进行判断，即可得到答案；
（4）分别求出两个组的平均数和方差，然后进行判断，即可得到答案；
（5）可以从方差、平均数、合格率、众数等进行判断即可．
【详解】解：（1）A、从初三年级重点班中随机抽取10名男生，不能体现随机性，故A不符合题意；
B、从初三年级身高为160cm~165cm的男生中随机抽取10名男生，不能体现随机性，故B不符合题意；
C、从初三年级男生中随机抽取10名男生，故C符合题意；
D、从初三年级同年出生的男生中随机抽取10名男生，不能体现随机性，故D不符合题意；
故选：C；
（3）由题意可知，
A组同学的成绩为：，，，，；
B组同学的成绩为：，，，，；
∴A组成绩的众数为：；B组成绩的众数为：；
A组成绩的中位数为：；B组成绩的中位数为：；
故答案为：，；，；
（4）根据题意，则
（s），
（s），
，
，
∴，
即A组的成绩比B组的成绩均匀；
（5）A组成绩好于B组成绩的理由是：①；②；
③∵A、B两组的合格率分别为，
∴A组的合格率>B组的合格率；
④A组的成绩的众数是14s，B组的成绩的众数18s．
【点睛】本题考查了数据的统计与分析，解题的关键是掌握求众数、平均数、中位数、方差的公式，从而进行解题．
19. 图2是一种篮球架（图1所示）的侧面示意图．已知：，，，，．，，为水平地面．
（1）求的度数；
（2）求点F到地面的距离（精确到）；
（3）求点F与点A之间的水平距离（精确到）．（参考数据：，，，，）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
解：延长交的延长线于K，分别过D，C作于H，于G，再过C作于N，交于M．
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
【小问2详解】
解：延长交的延长线于K，分别过D，C作于H，于G，再过C作于N，交于M．
在中，
∵，
∴（m），
在中，
∵，．
（m）．
【小问3详解】
解：延长交的延长线于K，分别过D，C作于H，于G，再过C作于N，交于M．
在中，，
∴（m）；
在中，，（m）．
（m）．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
20. 如图，是的外接圆，，，P是上的一动点．
（1）当的度数为多少时，；
（2）若以动点P为切点的切线为，那么当的度数为多少时，切线与一边平行？
【答案】（1）
（2）或或
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由，可得，再由圆周角定理，即可求解；
（2）分三种情况：当时，连接；当时，连接，，并反向延长，交于点E；当时，反向延长，交于点F，连接，结合切线的性质，垂径定理以及圆周角定理，即可求解．
【小问1详解】
解：在中，∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
【小问2详解】
解：①如图2，当时，连接，
∵切于点P，
∴，
∴，
∵是半径，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图3，当时，连接，，并反向延长，交于点E，
∵切于点P，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
③如图4，当时，反向延长，交于点F，连接，
∵切于点P，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
终上所述，的度数为或或．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，垂径定理，三角内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理，切线的性质，垂径定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21. 由于连日大雨，某城市局部面临内涝，当地相关部门迅速组织防涝抗涝工作，抽调一批抽水泵紧急抽水排险．经在抽水现场测得A型和B型两款抽水泵抽水量情况如下：4台A型抽水泵和5台B型抽水泵同时工作，可抽水水；2台A型抽水泵和10台B型抽水泵同时工作，可抽水的水．
（1）求A、B两款抽水泵每分钟分别能抽水多少立方米？
（2）该地防洪相关部门，为了以后抗涝需要，计划进购一批A型和B型两款抽水泵，要求这批抽水泵全部同时工作1分钟，能抽水150立方米的水．设购买A型抽水泵m台，B型抽水泵台，请用含n的代数式表示m．
（3）A型抽水泵每台标价2万元，若一次性购买不少于30台，可打九折，若少于30台则按标价销售；B型抽水泵每台标价3万元，若一次性购买不少于30台，可打八折，若少于30台则也按标价销售；在（2）的条件下，问如何购买使得总费用最小？请通过分析计算给予说明．
【答案】（1），；
（2）
（3）选购B型抽水泵30台，A型抽水泵64台时，购买总费用最少，此时需要万元，说明见解析．
【解析】
【分析】（1）设1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和，根据题意列方程组求解即可得到答案；
（2）根据题意可知，变形即可得到答案；
（3）根据n的取值范围可知，这项购买计划中A型抽水泵价格始终是标价的九折，分情况讨论：当时，购买总费用；当时，购买总费用：，分别求出最小值进行比较即可得到答案．
【小问1详解】
解：设1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和，
由题意可知：，
解得：，
答：1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和；
【小问2详解】
解：由题意可知：，
；
【小问3详解】
解：，当n取最大值50时，，则A型抽水泵至少要买40台，
这项购买计划中A型抽水泵价格始终是标价的九折，
当时，购买总费用：，
即时，购买总费用最小，费用为（万元），
当时，购买总费用：，
即时，购买总费用最小，费用为（万元），
答：选购B型抽水泵30台，A型抽水泵64台时，购买总费用最少，此时需要万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，利用分类讨论的思想，根据题意准确找出数量关系是解题关键．
22. 若四边形对角线互相垂直，那么我们定义这种四边形为“对垂”四边形．
特征辨析
（1）下列4个图中，四边形不是“对垂”四边形是（ ）
归纳探究
（2）如图1，于O，动点P，Q都从O点出发，点P沿运动到B，点Q沿运动到C．
①当，，，时，则___________，___________，据此结合（1）中相关图形试猜想“对垂”四边形两组对边与之间的数量关系：___________（用等式表示）；
②在“对垂”四边形中，当①中的条件都不存在时，①中所猜想的数量关系还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
拓展应用
（3）如图2，四边形和四边形均为正方形，点B恰好在的延长线上，且已知，，求的长．
【答案】（1）D （2）①，，；②成立，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质和线段垂直平分线的判定结合“对垂”四边形的定义逐一判断即可；
（2）①先解，求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案；②利用勾股定理进行证明即可；
（3）如图2，连接，先证明，得到，进而证明，推出四边形是“对垂”四边形．由（2）得，，求出，，，即可求出．
【小问1详解】
解：A、∵，
∴四边形是菱形，
∴四边形的对角线互相垂直，
∴四边形“对垂”四边形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴线段在线段的垂直平分线上，
∴四边形的对角线互相垂直，
∴四边形是“对垂”四边形，故此选项不符合题意；
C、如图同A选项可证明四边形是菱形，
∴，
∴四边形的对角线互相垂直，
∴四边形是“对垂”四边形，故此选项不符合题意；
D、根据现有条件无法证明四边形的对角线互相垂直，故此选项符合题意；
故选D；
【小问2详解】
解：①∵，
∴，
在中， ，，
∴，，
∴，，
在 中，由勾股定理得，
∴；
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴；
∴；
由（1）可知A、B、C三个选项的四边形是“对垂”四边形，都满足，
∴可以猜想；
②猜想仍然成立，证明如下：∵于O，
∴，
由勾股定理得，，，
∴．
【小问3详解】
解：如图2，连接，
∵四边形和四边形均为正方形，
∴，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴四边形是“对垂”四边形．
由（2）得，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23. 操作
在平面直角坐标系中，抛物线解析式为，抛物线解析式为．
先将抛物线向上平移4个单位，再向右平移若干个单位后得到抛物线，抛物线与轴交原点和点，且．
（1）抛物线的解析式为___________：（用的形式表示），并在下面坐标系中画出抛物线的图象．
探究
（2）当的值变化时，①求证抛物线的顶点一定在抛物线上；②判断抛物线是否恒经过一个定点．若存在这一定点，则求出这个定点，并判断这个定点与抛物线有何关系，若不存在或与抛物线无关系，则说明其理由．
应用
（3）当抛物线的顶点在第一象限内，且时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．
【答案】（1），见解析
（2）①见解析，②抛物线恒过定点，该定点在抛物线上，并且是抛物线的顶点
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得：设抛物线的解析式为，根据抛物线与轴交原点和点，且，则将，代入，得，抛物线的解析式为，可以得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于，，据此即可画出抛物线的图象；
（2）①已知抛物线解析式为，则抛物线的顶点为，将把代入，得：，即可得证抛物线顶点恒在抛物线上；②，则时，不论为何值，，得出这个定点为；由（1）得抛物线：的顶点为，得到抛物线恒过定点，即可得到结论；
（3）已知抛物线的顶点在第一象限内，且时，得到抛物线的顶点在抛物线图象的轴上方部分，抛物线与轴的交点为，，得到．即：，分两种情况：①当；②当，结合函数的最大值与最小值之差为16，即可求得的值．
【小问1详解】
∵抛物线向上平移4个单位，再向右平移若干个单位后得到抛物线，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线与轴交原点和点，且，
∴，，
将，代入，
得，
∴抛物线的解析式为，
抛物线的图象如图1，
故答案：，
【小问2详解】
①证明：∵抛物线的顶点为，
把代入，
得：．
∴抛物线顶点恒在抛物线上．
②∵；
∴当时，不论为何值，，
∴这个定点为；
又∵抛物线：的顶点为，
∴抛物线恒过定点，
该定点在抛物线上，并且是抛物线的顶点．
【小问3详解】
∵抛物线：顶点在第一象限，
∴故抛物线的顶点在抛物线图象的轴上方部分，抛物线与轴的交点为，，
∴．即：，
①当，即时，直线与直线之间距离小于直线与直线之间距离，（如图2）
∴时，函数取到最大值，时，函数取到最小值，∴，即，
∴，（舍去）；
②当，即时，直线与直线之间距离小于直线与直线之间距离，（如图3）
∴时，函数取到最大值，时，函数取到最小值，
∴，
即，
∴，（舍去）．
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象平移规律，熟练掌握二次函数的图象与性质，数形结合，运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
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