2024年中考数学一轮复习专题讲义：相似（含答案）

这是一份2024年中考数学一轮复习专题讲义：相似（含答案），共8页。试卷主要包含了相似三角形的概念，相似三角形的基本定理，三角形相似的判定等内容，欢迎下载使用。
一、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
二、相似三角形的基本定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三、三角形相似的判定
1、三角形相似的判定方法
①、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
③、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似
2、直角三角形相似的判定方法
①、以上各种判定方法均适用
②、定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
③、垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
提升练习
一、单选题
1．将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（ ）
A．2：1B．3：1C．2：1D．1：1
2．如图，若AB∥DE，BC∥EF，则下面结论错误的是（ ）
A．OAOD=ABDEB．OCOF=OBOE
C．OAOD=OCOFD．ABEF=ΔOAB的周长ΔOEF的周长
3．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1，S2，那么S1，S2的比值是（ ）
A．1：1B．8：9C．9：8D．3：22
4．如图，在平行四边形 ABCD 中， EF∥AB ， DE：EA=2：3 ， EF=4 ，则 CD 的长（ ）．
A．6B．8C．10D．16
5．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5B．4：9：25C．4：10：25D．2：5：25
6．如图，在平行四边形 ABCD 中，点E是边 AD 上一点，且 AD=3ED ， EC 交对角线 BD 于点F，则 EFFC 等于（ ）
A．13B．12C．23D．32
7．如图 AD 是 ∠BAC 的角平分线， AD 的垂直平分线 OF 交 BC 的延长线于 F ，若 ACAB=35 ，则 CFBF= （ ）
A．35B．45C．925D．1625
8．如图，直线 l1 ∥ l2 ∥ l3 ，直线 AC 分别交 l1 、 l2 、 l3 于点 A 、 B 、 C ，直线 DF 分别交 l1 、 l2 、 l3 于点 D 、 E 、 F ， AC 与 DF 相交于点 H ，则下列式子错误的是（ ）．
A．ABBC=DEEFB．ABDE=BCEFC．ABAC=DEDFD．ABBC=BECF
二、填空题
9．在 △OAB 中， OA=OB ，点 C 在直线 AB 上， BC=3AC ，点 E 为 OA 边的中点，连接 OC ，射线 BE 交 OC 于点 G ，则 OGGC 的值为 .
10．在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF位似，位似中心是原点O．已知A与D是对应顶点．且A，D的坐标分别是A（9，18），D（3，6），若△DEF的周长为3，则△ABC的周长为 ．
11．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，且∠EAD＝22.5°．若BC＝22-2，则BE的长为 ．
12．如图，点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形，已知图中的每个小正方形的边长都是1个单位，在图中选择适当的位似中心，画一个与格点△DEF位似且位似比不等于1的格点三角形 ．
13．如图，已知A（-4，0）、B（0，3），一次函数 y=34x+b 与坐标轴分别交于C、D两点，G为CD上一点，且DG：CG＝1：2，连接BG，当BG平分∠ABO时，则b的值为 .
三、解答题
14．如图，在△ABC中，D为边AB上的点，连结CD，且∠B=∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD．
（2）若AC=6，AD=4，求AB的长．
15．如图，综合实践活动课中小明同学用自制的直角三角形模具DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，让斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DE=0.4m，EF=0.3m，测得边DF离地面高度AC=1.7m，CD=8m，求树高AB．
16．已知：如图，△ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2=BD·BA.
(1)求证：△CED∽△ACD；
(2)求证：ABBC=CEED.
17．如图在锐角三角形OAB中，点M，N分别在边OB，OA上， OG⊥AB 于点G， OH⊥MN 于点H， ∠NOH=∠GOB ．
（1）求证： △OMN∼△OAB ；
（2）若 OM=3 ， OA=7 ，求 OHOG 的值．
18．如图，在菱形ABCD中，点M、N分别是边BC、DC上的点，BM=34BC，DN=34DC
接AM、AN，延长AN交线段BC的延长线于点E．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）若AD=4，求MC的长．
答案
1．C
2．D
3．C
4．C
5．C
6．A
7．C
8．D
9．43 或 23
10．9
11．22
12．
13．2714
14．（1）证明：∵B=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴ABAC=ACAD，
∴AC2=AB⋅AD，
∵AC=6，AD=4，
∴62=AB⋅4，
∴AB=9，
即AB的长为9．
15．解：∵∠DEF=∠DCB=90°，∠EDF=∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴EFBC=DEDC，
∵EF=0.3，DE=0.4，DC=8，
∴0.3BC=0.48，
∴BC=6m，
∴AB=AC+BC=1.7+6=7.7(m)，
答：树高AB为7.7m．
16．证明：（1）∵BC2=BD•BA，∴BD：BC=BC：BA，∵∠B是公共角，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A，∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠ECD=∠A，∵∠EDC=∠CDA，∴△CED∽△ACD；（2）∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，∴ABBC=ACCD，CEED=ABBC，∴ABBC=CEED．
17．（1）证明：在 △OHN 和 △OGB 中，
∵∠OHN=∠OGB=90° ， ∠NOH=∠BOG
∴△OHN∼△OGB ，
∴∠ONH=∠B
∵∠AOB=∠MON ，
∴△OMN∼△OAB
（2）解：由（1）得 △OMN∼△OAB
∴OHOG=OMOA=37 ．
18．（1）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，
∵BM=34BC，DN=34DC，
∴BM=DN，
在△ABM和△ADN中，
AB=AD∠B=∠DBM=DN，
∴△ABM≌△ADN(SAS)
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=AD
∵BM=34BC，
∴MC=14 BC=1