河南省驻马店市确山县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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八年级数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）．
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
4. 如图，点，在上，，．添加一个条件，不一定能证明的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】A：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，正确，故本选项错误；
B：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，正确，故本选项错误；
C：∵在和中，
，
∴，正确，故本选项错误；
D：根据，，不能推出，错误，
故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定的应用，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．
5. 若的展开式中不含项，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 3D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘以多项式展开式子，合并同类项，不含项，就是项系数为0，进而求出的值．
【详解】解：
又展开式中不含项，
即
故选：D
6. 如图，等于( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形内角和定理：（n≥3且n为整数）即可得答案．
【详解】(5-2)×180°
=3×180°
=540°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=540°，
故选B.
【点睛】考查了多边形内角和定理，熟练掌握多边形内角和定理：(n-2)180°（n≥3且n为整数）是解题关键．
7. 下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A. 当时，的值为0
B. 当时，有意义
C. 无论为何值，不可能是整数
D. 无论为何值，的值总为正数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的定义，分式有意义的条件，注意分式的值是正数的条件是分子、分母同号，值是负数的条件是分子、分母异号．根据性质解题即可．
【详解】A. 当，即时，值为0，故选项错误；
B. 当时，有意义，故选项错误
C. 当时，是整数，故选项错误；
D. 无论为何值，，即的值总为正数，故选项正确；
故选D．
8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接AD，
由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD=3，
∴∠DAC=∠C，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=120°-∠DAC=90°，
∴BD=2AD=6，
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．
9. 如图，在中，，过点A的直线与的平分线分别交于点E、D，则的长为（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线及平行线可以得到两个等腰三角形、，根据这两个等腰三角形即可得出： ，，求出DE．
【详解】解：∵，
∴．
又∵平分，
∴，
即：，
∴．
同理可得：，
∴，
故：选A．
【点睛】本题只要是利用平行+角平分线即可出现等腰三角形这一特点，求出DE．
10. 如图，在中，，，是边上的动点（不与、重合），连接，若为等腰三角形，则的度数为（ ）．
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形内角和为，为等腰三角形，分三种情况分别计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
当时，，
∴，
当时，，
这时点与点重合，不符合题意，
当时，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，体现了分类讨论的思想．掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】逆用同底数幂的乘法，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
12. 如图，这是蜡烛的平面镜成像的原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖S点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是__________．

【答案】
【解析】
【分析】由图可知，S点与点关于轴对称，根据关于轴对称的点的特点，即可得解．
【详解】解：由图可知：S点与点关于轴对称，
∵S点的坐标是，
∴点的坐标是；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
13. 如图，射线是的平分线，C是射线上一点，于点F．若D是射线上一点，且，则的面积是___．

【答案】8
【解析】
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，

射线是的平分线，，，
∴，
∴的面积是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
14. 如图，在边长为a（cm）的大正方形内放入三个边长都为b（cm）（a＞b）的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，则a2－2ab＋b2的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】由题意得到AB=BC=a，AD=EF=b，求得（a-b）2=4，于是得到结论．
【详解】解：如图，由题意得，AB=BC=a，AD=EF=b，
∴BD=a-b，BE+CF=a-b，
∵这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，
∴（a-b）2=4，
∴a2-2ab+b2=（a-b）2=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确的识别图形是解题的关键．
15. 如图，等边三角形的边长为，、、三点在一条直线上，且．若为线段上一动点，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】连接交于点，过点作直线，根据全等三角形的性质，得出是等边三角形，，进而得出与关于直线对称，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据等腰三角形的三线合一的性质，得出，，进而得出、关于直线对称，再根据两点之间，线段最短，得出当点与重合时，的值最小，进而即可得出的最小值．
【详解】解：如图，连接交于点，过点作直线，
∵是等边三角形，，
∴是等边三角形，，
∵、、三点在一条直线上，
∴ 与关于直线对称，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴、关于直线对称，
∴当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长．
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的性质、三线合一的性质，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 按要求计算：
（1）因式分解：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；
（2）原方程无解
【解析】
【分析】本题考查的是利用提公因式与公式法分解因式，分式方程的解法，掌握相应的运算法则是解本题的关键；
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可.
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
，
方程两边同时乘想，得
，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
，
检验，当时，分母，
原方程无解.
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5．
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18. 如图，直线l与m分别是边和的垂直平分线，l与m分别交边于点D和点E．
（1）若，则的周长是多少？为什么？
（2）若，求的度数．
【答案】（1）10；理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形周长公式求解即可；
（2）依据，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到，进而得到，再根据进行计算即可．
【小问1详解】
的周长为10．
∵直线l与m分别是边和的垂直平分线，
∴，
∴的周长；
【小问2详解】
∵直线l与m分别是边和的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
19. 在平面直角坐标系中，已知四边形四个顶点坐标分别为．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出四边形；
（2）画出四边形关于x轴对称的四边形，并直接写出点D的对称点的坐标；
（3）若四边形上的点P坐标为，则其关于x轴对称点坐标为___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）先在坐标系中描出A、B、C、D，然后顺次连接A、B、C、D即可；
（2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数先描出A、B、C、D对应点的位置，再顺次连接，最后写出的坐标即可；
（2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，四边形即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图所示，四边形即为所求；
∴点的坐标为；
；
【小问3详解】
解：∵点P坐标为，
∴点P关于x轴对称点坐标为．
【点睛】本题考查了在坐标系中描点，坐标与图形变化——轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．
20. 如图，已知和，．，，与交于点P，点C在上．

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用证明，即可证明；
（2）根据三角形外角的性质求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出结果即可．
【小问1详解】
证明：，
，
即，
在AC和中，
，
，
【小问2详解】
解：，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
21. 某汽车贸易公司销售，两种型号的新能源汽车，型车每台进货价格比型车每台进货价格少3万元，该公司用24万元购买型车的数量和用30万元购买型车的数量相同．
（1）求购买一台型、一台型新能源汽车的进货价格各是多少万元？
（2）该公司准备用不超过300万，采购，两种新能源汽车共22台，问最少需要采购型新能源汽车多少台？
【答案】（1）A型新能源车的进货价格为12万元，B型新能源车的进货价格为15万元
（2）10台
【解析】
【分析】（1）设A型新能源车的进货价格为x万元，B型新能源车的进货价格为y万元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设公司计划购买A型新能源车m台，则B型新能源车的购买量为(22-m)台，依据题意列出不等式组，即可求出m的取值范围，即可得解．
小问1详解】
设A型新能源车的进货价格为x万元，B型新能源车的进货价格为y万元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，方程组的解符合题意，
即：A型新能源车的进货价格为12万元，B型新能源车的进货价格为15万元；
【小问2详解】
设公司计划购买A型新能源车m台，则B型新能源车的购买量为(22-m)台，
根据题意，有：，
解不等式得：，
即：最少需要购买A型新能源车10台．
【点睛】本题考查了解分式方程、解不等式组等知识，准确理解题中的数量关系列出方程组、不等式组是解答本题的关键．
22. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其来叠合部分（阴影）面积为，若再在图1大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．

（1）用含a，b代数式分别表示，；
（2）若，，求的值；
（3）当时，求出图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式的变形求值，数形结合是解答本题的关键．
（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
（2）根据（1）中的结论，将，代入进行计算即可；
（3）表示出，再变形整体代入求值即可．
【小问1详解】
由图可得，，；
【小问2详解】
∵，，
∴，
；
【小问3详解】
由图可得，，
∵，
∴．
23. 如图，在等边中，D为边的中点，点E为线段上一点，连接，以为边构造等边（点B，E，F不共线），连接，．
（1）求证：垂直平分；
（2）如图2，作关于直线对称的线段，连接，猜想与的位置关系并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接，首先证明出，得到，然后根据等腰三角形三线合一性质和线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换得到，然后根据垂直平分线的判定求解即可；
（2）首先根据对称性得到，然后由等边三角形的性质得到，，根据角度之间的转化可得到，最后利用内错角相等，两直线平行求解即可．
【小问1详解】
如图1，连接，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴点F在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点B在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
【小问2详解】
如图2，，理由如下：
由关于直线对称的线段可知：，
∵，都是等边三角形，
∴，，
∴，，
，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，平行线的判定，，解题的关键是熟练掌握以上知识点．