江苏省扬州市宝应县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2. 如图所示：已知，，添加下列条件不能判定与全等的是：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、在和中，
，
∴，故该选项不符合题意；
B、在和中，
，
∴，故该选项不符合题意；
C、不能判定与全等，故该选项符合题意；
D、∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，故该选项不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法．
3. 下列实数、、、、、中，无理数的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）得出即可．
【详解】为有理数、为无理数、为无理数、为有理数、为有理数、为无理数，其中无理数的个数为3个；
故选B．
【点睛】本题考查了无理数，能理解无理数的定义是解此题的关键．
4. 如图是象棋盘的一部分，若“帅”位于点，“相”位于点上，则“炮”位于点（ ）上．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
则“炮”位于点上．
故选：D．
5. 一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙角4m，若梯子的顶端下滑1m，则梯子的底端将滑动（ ）
A. 0mB. 1mC. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．由题意画出图形，由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：由题意画出图形如下：
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即梯子的底端将滑动，
故选：D．
6. 在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数求出m、n的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵点与点B关于y轴对称，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键．
7. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：结合函数图象，通过比较两函数值的大小确定不等式的解集；体现了数形结合的思想方法．
先利用正比例函数解析式确定点坐标为，然后找出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：把代入得，解得，
点坐标为，
时，，
不等式的解集为．
故选：B．
8. 如图，，，与交于点，点是的中点，．若，，则的长是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质．根据直角三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：，
，
点是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 49的平方根是_____．
【答案】±7
【解析】
【分析】根据平方根的定义求解即可.
【详解】∵（±7）2=49，
∴49的平方根是±7．
故答案为：±7．
【点睛】如果个一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根．正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10. 小明在纸上写下一组数字“20231028”，这组数字中2出现的频率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求频率，根据频率频数总数进行求解即可．
【详解】解：∵一共有8个数字，其中数字2出现了3次，
∴这组数字中2出现频率为，
故答案为：．
11. 地球的半径约为6.4×103km，这个近似数精确到__________位．
【答案】百
【解析】
【详解】∵近似数6.4×103=6400，
∴4在百位上，则近似数6.4×103精确到百位，
故答案为：百．
【点睛】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数；近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位或精确到小数点后几位等说法．
12. 我国不同年份的国内生产总值如下：
请你选用合适的统计图反映我国经济建设的成就，应选用_____统计图为宜．
【答案】折线
【解析】
【分析】此题考查了统计图的选择，要求我们熟练掌握扇形统计图、折线统计图、条形统计图的特点．
根据折线统计图表示的是事物的变化情况，即可得出答案．
【详解】解：反映我国经济建设的成就，应选用折线统计图为宜．
故答案为：折线．
13. 如果点P（）在第四象限，则ｍ的取值范围是_____．
【答案】m＞4．
【解析】
【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．
【详解】∵点P（m+1，8-2m）在第四象限，
∴，
解得m＞4，
故m的取值范围是m＞4．
故答案为：m＞4．
【点睛】本题考查象限点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
14. 如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为_____．
【答案】10
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求得斜边的长度，然后结合等腰三角形的性质来求的长度．
【详解】解：如图，在中，，
由勾股定理知：，
∵，平分交于点，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
15. 已知一次函数的图象经过原点，则_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
将代入解析式即可求解．
【详解】∵一次函数的图象经过原点，
∴将代入得，，
解得．
故答案为：1．
16. 如图，在中，，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线、，若，，则_____．
【答案】8
【解析】
【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由于点，于点，得，因为，所以，而，即可根据“ “证明，得，，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：于点，于点，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：8．
17. 如图，在长方形中，，，E、F分别在边、上．现将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、．当点恰好与点D重合时，则_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识．由翻折的性质可得，，，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
由翻折的性质可知：，，，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
故答案为：5．
18. 如图，直线交轴、轴于点、，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，轴对称的性质，勾股定理．根据解析式可得，，再证明三角形全等及利用勾股定理建立方程可得，掌握求解的方法是关键．
【详解】
如图，连接、、、，
由得，，
，，
点与点关于直线对称，
，且，
，
点在第一象限，且纵坐标为4，
轴，
，
又，，
，
，
设，则，
，
，
在直角中，，
，
解得．
故答案为：．
三、解答题（本大题共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根和立方根的混合运算，解本题的关键在熟练掌握算术平方根、立方根的定义．
（1）首先计算算术平方根和立方根，然后计算加减；
（2）利用立方根的性质求解即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：
．
20. 如图是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）
（1）边的长度为 ；
（2）作的角平分线；
（3）已知点P在线段上，点Q在（2）作出的线段上，当的长度最小时，在网格中作出．
【答案】（1）5 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）取出线段的中点，连接，即为的角平分线；
（3）作于P，交于点Q，连接，即为所求的三角形．
【小问1详解】
解：根据勾股定理得．
故答案为：5；
【小问2详解】
如图，即为所求；
；
证明：∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴是的角平分线；
【小问3详解】
解：如图，即为所求的三角形．
证明：∵，为线段的中点，
∴；
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当点B、Q、P在同一直线上，且时，的长度最小，
∴如图所示即为所求的三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，熟知相关知识，并根据网格的特点灵活应用是解题关键．
21. 为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本这次调查的总人数．
（2）请补全条形统计图．
（3）求A组人数占本次调查人数的百分比．
（4）在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为________度．
【答案】（1）100人
（2）见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，
（2）计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据A组的人数和求出的总人数，即可计算A组所占的百分比；
（4）再进一步计算B组所占的圆心角度数即可．
【小问1详解】
解：这次调查的学生人数是：（人）
答：本这次调查的总人数为100人．
【小问2详解】
D组的人数为：（人）．
【小问3详解】
A所占的百分比为：．
答：A组人数占本次调查人数的百分比为．
【小问4详解】
B组所占的圆心角是：．
故答案为：．
22. 同学们，本学期我们学完《数的开方》一章，结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．但是任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果，其中a、b为有理数，那么 ， ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求的算术平方根．
【答案】（1）；2
（2）的算术平方根为
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据题意可得：，，然后进行计算即可解答；
（2）将已知等式进行整理可得：，从而可得，进而可得：，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：，其中、为有理数，
，，
解得：，，
故答案为：；2；
小问2详解】
解：，
，
，
、为有理数，
，
解得：，
，
的算术平方根是．
23. 如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=______°．
【答案】（1）证明见解析；（2）75．
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可；
（2）根据△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC的度数．
【详解】证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC==75°，
故答案为:75
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键．
24. 已知一次函数．
（1）当它的图象经过一次函数、图象的交点时．求这个交点坐标及b的值；
（2）当它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4时，求b的值．
【答案】（1）交点坐标，
（2）
【解析】
【分析】本题为一次函数综合题，考查了一次函数与二元一次方程的关系，待定系数法求函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点等知识．
（1）先求出一次函数、图象的交点坐标为，再代入一次函数即可求解；
（2）先求出一次函数图象与x轴交点，与y轴交点，再根据与两坐标轴所围成的图形的面积等于4列出关于b的绝对值方程，即可求出b．
【小问1详解】
解：∵一次函数、图象有交点，
∴,
解得，
∴一次函数、图象的交点坐标为，
∵一次函数图象经过交点，
∴，
解得 ；
【小问2详解】
解：令，得；令，得，
∴一次函数图象与x轴交点，与y轴交点，
∴·，
∴．
25. 如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若的周长为25，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．
（1）首先依据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形；
（2）通过证明，求得结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
解：∵的周长，
∴，
∵，
∴，，
∵F是的中点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
26. 10月18日，2023年全国青少年体育工作会议在重庆召开．会议指出，足球、篮球、排球运动深受民众喜爱，“三大球”发展备受社会各界关注．因此，要抓好青少年“三大球”工作．某学校为贯彻会议精神计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示．
（1）请直接写出y与x之间的函数表达式；
（2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最少，并求出最少费用．
【答案】（1）y与x的函数关系式为
（2）当购买A种品牌足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元．
【解析】
【分析】考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x之间的函数解析式；
（2）根据题意可以得到W与B种足球数量之间的函数关系，再根据购买B种品牌足球的数量不超过个，但不少于A种品牌足球的数量，可以求得B种足球数量的取值范围，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【小问1详解】
解：设当时，y与x的函数关系式为，
则，
解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
设当时，y与x的函数关系式为，
得，解得
即当时，y与x的函数关系式为，
由上可得，y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个，
∵，
解得，
∵，
∴当时，W取得最小值，此时，
∴，
答：当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元．
27. 【操作思考】如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．
请先画出正比例函数的图象，再画出关于正比例函数的图象对称的（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F）．
【猜想验证】
猜想：点关于正比例函数的图象对称的点Q的坐标为 ；
验证点在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）．
证明：如图2，点与点Q关于正比例函数的图象对称，
作轴，垂足为H，
……
【应用拓展】
在中，点A坐标为，点B坐标为，点C在射线BO上，且AO平分，则点C的坐标为 ．
【答案】操作思考：见解析；猜想验证：，证明见解析；应用拓展：
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
操作思考：根据点的特点画出图形即可；
猜想验证：作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，证明，即可求；
应用拓展：点关于直线的对称点，分别求出直线的解析式为，直线的解析式为，直线与直线的交点即为点．
【详解】解：操作思考、如图所示：
猜想验证、点与点关于正比例函数的图象对称，
作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
由对称轴可知，，，
，
，
，
，
，，
点，
，，
，，
，
故答案为：；
应用拓展、平分，
直线的解析式为，
点关于直线的对称点，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得，
，
故答案为：．
28. 已知，平分．
（1）如图1将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，现探究、的大小关系：
①特例探究：当三角尺的两条直角边分别与、垂直，垂足为E、F时，依据学过的定理： （写出定理文字表述的具体内容），得到；
②一般探究：当三角尺的两条直角边分别交、于点E、F时，试判断： （填“”、“”或“”）；
（2）如图2，点P是内一点，E、F分别在边、上，，．求证：点P在上；
（3）在（2）的条件下，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知是第一象限的角平分线，若点P的坐标为．
①求点P的坐标；
②过点P作交x轴于点G，交y轴于点H，当点E从点H运动到点O时，则的中点Q运动所形成的路径长为 ．
【答案】（1）①角平分线上的点到角两边的距离相等；②
（2）见解析 （3）①；②
【解析】
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边距离相等，即可得到；
（2）如图2，过点P作、，垂足分别为M、N，可证≌△，可证得，根据角平分线的性质可证为的角平分线，从而证得结论；
（3）根据角平分线的性质，可得点的横纵坐标相等，据此求出的值，可求出点的坐标，设、的中点分别为M、N，根据P点坐标，可以求出、的长度，根据中点和勾股定理可以求出的长度，当点E在点H时，点Q与点M重合，当点E在点O时，点Q与点N重合，可得到当点E从点H运动到点O时，的中点Q点从点M运动到N，即它的运动轨迹为，即可求解．
【小问1详解】
解：①角平分线上的点到角两边的距离相等
②根据角平分线性质可得，，
故答案是：
【小问2详解】
证明：如图2，过点P作、，垂足分别为M、N，
∵，，，
∴，
∴，
又，，
∴≌，
∴
又∵平分．
∴P在上；
【小问3详解】
解：①∵是第一象限的角平分线，若点P的坐标为，在P上，
∴，
解得：，
∴；
②依题意，，是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∵是第一象限的角平分线，，则是等腰直角三角形，
如图3所示，
设、的中点分别为M、N，则，，
∴，
当点E在点H时，点Q与点M重合，当点E在点O时，点Q与点N重合，
∴当点E从点H运动到点O时，的中点Q点从点M运动到N，
即Q的运动路径长为，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定等知识，数量掌握这些基本性质和定理是求解的关键．年份
1970
1980
1990
2000
2010
2020
国内生产总值/亿元
2279.7
4587.6
18872.9
100280.1
412119.3
1015986.2