甘肃省兰州第一中学2024届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省兰州第一中学2024届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若复数为纯虚数,则实数a的值为( )
A.1B.0C.－D.－1
2．设D为所在平面内一点,,若,则( )
A.-3B.3C.-2D.2
3．已知等差数列的前n项和为,且,,则公差d的值为( )
A.1B.2C.3D.4
4．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
5．在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为(,2).已知太阳的星等是,天狼星的星等是,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.B.10.1C.lg10.1D.
6．中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量,,且,则角A的大小为( )
A.B.C.D.
7．若,则的最小值为( )
A.6B.C.3D.
8．已知函数,设,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.是函数图象的一条对称轴;
B.是函数图象的一个对称中心;
C.将函数图象向右平移单位所得图象的解析式为;
D.函数在区间内单调递增.
10．对于函数,下列说法正确的是( )
A.在处取得极大值;
B.有两个不同的零点;
C.
D.
11．等差数列是递增数列,公差为d,前n项和为,满足,下列选项正确的是( )
A.B.
C.当时最小D.时n的最小值为8
12．已知函数及其导函数的定义域均为R.,,当时,,,则( )
A.的图象关于对称
B.为偶函数
C.
D.不等式的解集为
三、填空题
13．已知，则________.
14．函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为________.
15．已知向量,,,则在方向上的投影向量的坐标为__________.
16．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的,再向左平移个单位长度,得到函数的图象,若对任意的,均有成立,则的最小值为__________.
四、解答题
17．已知数列的前n项和,数列满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
（1）求k的值及的表达式.
（2）隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值.
19．已知中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量,,B为锐角且.
（1）求角B的大小;
（2）如果,求的最大值.
20．在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求的外接圆的半径;
（2）求的取值范围.
21．设函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）当有极值时,若存在,使得成立,求实数m的取值范围.
22．已知函数的极值为.
（1）求a的值并求函数在处的切线方程;
（2）已知函数,存在,使得成立,求m得最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：设,且,则,得到,
,且,解得.
故选:D.
2．答案：A
解析：若,,化为,
与比较,可得：,,解得.
3．答案：C
解析：因为等差数列,,,故,,故,,故.
故选:C
4．答案：B
解析：由表达式可知,函数为偶函数,排除A,当时,为正,,所以,B正确
故选:B
5．答案：A
解析：两颗星的星等与亮度满足,令,,
,.
故选A.
6．答案：B
解析：由得,
,
由正弦定理得,,
化为,
即,
由于,
,又
,
故选B.
7．答案：C
解析：,
,且,,
,
当且仅当且,即时,等号成立.
故选:C
8．答案：C
解析：易知,
在R上为偶函数,
当时,单调递增,
又,
,即.
故选:C
9．答案：ABCD
解析：,是一条对称轴,A正确.
又,因此B正确.
对于,平移后,C正确.
对于,当时,,故在内单调递增,D正确.
故选:ABCD
10．答案：AC
解析：的定义域为,且.令,得.在上单调递增,在上单调递减,因此在处取得极大值正确.
令,解得,故函数有且仅有一个零点,错误.
由在上单调递减,得,则正确.
因为,即,所以,则,D错误.
故选:AC.
11．答案：BD
解析：A:因为数列递增,故,故A错;
B:因为,根据基本量展开,即,因为,所以,故B正确;
C:由可知,所以前3项均为负数,故最小时,n为3或4.故C错;
D:,,故当时,n最小值为8.
故选:BD
12．答案：BCD
解析：由可得,故可知的图象关于对称,故A错误,
由得,由得,故为偶函数,故B正确,
由可得,所以,又为偶函数,所以,即,故C正确,
由为偶函数且可得,所以是周期函数,且周期为8,又当时,,可知在单调递减
故结合的性质可画出符合条件的的大致图象:
由性质结合图可知:当,时,,故D正确,
故选:BCD
13．答案：
解析：因为，
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：由图象得,,
则周期,
则,
则,
当时,,
则,
即
即,
即,,
,
当时,,
则函数的解析式为,
故答案为
15．答案：
解析：因为,所以,
可得,且,即,所以,则,
所以在方向上的投影向量为.
故答案为:.
16．答案：
解析：由题意得,
则,因为对任意的,均有成立,所以,即,又,所以当时,的最小值为,
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
当时,;
当时,,
又,.
（2）由已知,,
.
18．答案：（1）,因此.
（2）当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值为70万元.
解析：（1）设隔热层厚度为,由题设,每年能源消耗费用为.
再由,得,因此.
而建造费用为
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（2）,令,即.
解得,(舍去).
当时,,当时,,故是的最小值点,对应的最小值为.
当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元.
19．答案：（1）;
（2）最大值为.
解析：（1）,
,,
即.
又B为锐角,,
,.
（2）,,由余弦定理,
得.
又,当且仅当时等号成立,
代入上式,得,
故,
即的最大值为
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由且可得,
根据正弦定理可得.
,,
代入得,
.
,,,
又,.
设的外接圆的半径为R,
由正弦定理可得,
解得.
（2）由（1）可知,
.
为锐角三角形,
,即,
则,
,
即的取值范围是.
21．答案：（1）在上单调递增,在上单调递减
（2）m的取值范围是
解析：（1）函数的定义域为,,
当时,,在上单调递增;
当时,解得,
在上单调递增,在上单调递减.
（2）由（1）知,当有极值时,,且在上单调递增,在上单调递减.
∴,
若存在,使得成立,则成立.
即成立,令,
在上单调递增,且,.
实数m的取值范围是.
22．答案：（1）,切线方程:;
（2）最大值为.
解析：（1）定义域为R
因为
若则在R上单调递增,无极值,不合题意,舍去
若则令得
所以解得
经检验,符合题意.
因为切线斜率
又因为所以切点为
所以切线方程为:
即切线方程为:
（2）因为存在,使得成立
则
即
即
即
即(*)
由（1）得
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增
因为,,所以,所以
即且
所以存在使得
所以存在使得
即
令所以
因为得
所以在区间上单调递增,在区间单调递减
所以的最大值为
所以又因为,所以
所以m的最大值为