苏科版八年级下册9.1 图形的旋转同步测试题
展开1.如图,在△ABC中,∠C=64°,将△ABC绕着点A顺时针旋转后,得到△AB′C′,且点C′在BC上,则∠B′C′B的度数为( )
A. 42°B. 48°C. 52°D. 58°
2.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上,若DE⊥AC,∠CAD=25°,则旋转角α的度数是
( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
3.五角星由5个相同的顶角为36°的等腰三角形和1个正五边形组成,它既美观又蕴含着数学知识.如图,将五角星绕其旋转中心按顺时针方向旋转一定角度,线段AB恰好与线段CD重合,则该旋转角的度数至少是( )
A. 144°B. 108°C. 72°D. 36°
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2.把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C,当点A1落在边AB上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长是
( )
A. 7B. 2 2C. 3D. 2 3
5.如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(−1,0),点A的坐标为(−3,3).将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B,则点B的坐标为( )
A. (2,1)B. (2,2)C. (2,3)D. (1,3)
6.如图,在△ABC中,∠BAC=55°,将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE,DE交AC于点F.当α=40°时,点D恰好落在BC边上,此时∠AFE等于( )
A. 80°B. 85°C. 90°D. 95°
7.如图,将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△AˈBCˈ,此时点C在边AˈB上,若AB=5,BCˈ=2,则AˈC的长是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.如图,直角三角形ACB中,两条直角边AC=8,BC=6,将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度,得到△DFE,点F正好落在AB边上,DE和AB交于点G,则AG的长为
( )
A. 1.4B. 1.8C. 1.2D. 1.6
9.如图,点A坐标为(−2,1),点B坐标为(0,4),将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A’B’,若点A’恰好落在x轴上,则点B’到x轴的距离为
( )
A. 455
B. 855
C. 365
D. 865
10.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90∘,AB=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60∘,得到△MNC,连结BM,则BM的长是
( )
A. 3+1
B. 4
C. 2+2
D. 7
二、填空题:本题共4小题,每小题3分,共12分。
11.如图,△ABC中,∠ABC=68∘,将△ABC绕点B逆时针旋转到△A’BC’的位置,使得AA’//BC,则∠CBC’= ∘.
12.如图,△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38∘后所得的图形,点C恰好在AB上,∠AOD=90∘,则∠B的度数是 .
13.如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,若四边形AECF的面积为9,DE=1,则AE的长为 .
14.如图,△ABC是等边三角形,直线MN⊥AC于点C,点D在直线MN上运动,以AD为边向右作等边△ADE,连接CE,若AB=6,则CE的最小值是 .
三、解答题:本题共6小题,共48分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图,线段AB 绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1(点A的对应点为A1).
(1)请用直尺和圆规作出旋转中心O(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接OA、OA1、OB、OB1,并根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论.
16.(本小题8分)
(1)如图1,已知△ABC的顶点A,B,C均在方格纸的格点上,画出将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1.
(2)如图2,在平面直角坐标系中,将线段AB绕平面内一点P旋转得到线段A′B′,使得点A′与点B重合,点B′落在x轴负半轴上.请利用无刻度直尺与圆规作出旋转中心P(不写作法,但要保留作图痕迹).
17.(本小题8分)
如图,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.
(1)求证:EF=BC;
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
18.(本小题8分)
如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为(1,−4)、(0,−2)、(3,−2).
(1)画出△ABC以点O为旋转中心旋转180°后的△A1B1C1;
(2)画出△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°后的△A2B1C2;
(3)若△A2B1C2可由△ABC绕点D逆时针旋转90°得到,则点D的坐标是 .
19.(本小题8分)
如图,在等腰直角三角形ABD中,点E、F是斜边BD上两点,且∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,连接EQ,求证:
(1) EA是∠QED的平分线;
(2) EF2=BE2+DF2.
20.(本小题8分)
如图,将△ABC绕点A逆时针旋转60°,得到△ADE,其中点D与点B对应,点E与点C对应.
(1)作出△ADE(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)计算BC与DE所成的较小夹角的度数.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查旋转的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
根据旋转的性质,可以得到AC=AC′,然后根据∠C=64°,即可得到旋转角的度数,然后由三角形内角和,即可得到∠CAC′的度数.
【解答】
解:∵将△ABC绕着点A顺时针旋转后,得到△AB′C′,∠C=64°,
∴AC=AC′,∠CAC′=∠BAB′,∠B=∠B′,
∴∠C=∠AC′C=64°,
∴∠CAC′=52°,
∴∠BAB′=52°,
∴∠B′AD=52°,
∵∠B=∠B′,∠BDC′=∠B′DA,
∴∠BC′D=∠B′AD=52°,
即∠B′C′B的度数为52°,
故选C.
2.【答案】B
【解析】根据题意,∵DE⊥AC,∠CAD=25°,
∴∠ADE=90°−25°=65°.
由旋转的性质,得∠B=∠ADE=65°,
∵AB=AD,
∴∠ADB=∠B=65°,
∴∠BAD=180°−65°−65°=50°,
∴旋转角α的度数是50°.
故选B.
3.【答案】A
【解析】如图,设五角星的旋转中心为O.连接OA,OB,OC,OD.因为五角星为轴对称图形,所以∠OBD=∠ODB=12×36∘=18∘,所以∠BOD=180°−18°−18°=144°.由题意可知,∠BOD为旋转角,即旋转角的度数至少是144°.
4.【答案】A
【解析】由条件,得∠A=60°.因为CA=CA1,所以△AA1C是等边三角形,所以旋转角为60°,所以△BB1C是等边三角形,所以∠CBB1=60°,BB1=CB.因为∠ABC=30°,AC=2,所以∠A1BB1=90°,AB=4.所以BB1=CB= AB2−AC2=2 3,A1B=AB−AA1=AB−AC=2,所以BD=12BB1= 3.在Rt△A1BD中,由勾股定理,得A1D= 22+ 32= 7.
5.【答案】B
【解析】连接AC,BC,过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F.易证△AEC≌△CFB,所以AE=CF,EC=FB.因为点A(−3,3),C(−1,0),所以AE=CF=3,OC=1,EC=FB=2,所以OF=CF−OC=2,所以点B(2,2).
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】B
【解析】略
8.【答案】A
【解析】解:如图,连接CF,
∵AC=8,BC=6,
∴AB=AC2+BC2=64+36=10,
∵点M是AC中点,
∴AM=MC=4,
∵将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度,得到△DFE,
∴∠A=∠D,DM=AM,CM=MF,DE=AB=10,
∴AM=MF=CM,
∴∠AFC=90∘,
∵12×AB×CF=12×AC×BC,
∴CF=245,
∴AF=AC2−CF2=64−57625=325,
∵∠A=∠D,∠A=∠AFM,
∴∠D=∠AFM,
又∵∠DFE=90∘,
∴DG=GF,∠E=∠GFE,
∴GF=GE,
∴GF=GD=GE=5,
∴AG=AF−GF=325−5=75=1.4,
故选:A.
由勾股定理可求AB=10,由旋转的性质可得∠A=∠D,DM=AM,CM=MF,DE=AB=10,可得AM=MF=CM,可得∠AFC=90∘,由勾股定理可求AF的长,由直角三角形的性质可求GF的长,即可求AG的长.
本题考查了旋转的性质,勾股定理,直角三角形的性质,锐角三角函数的应用,求AF的长是本题的关键.
9.【答案】B
【解析】解:如图,连接OA,OB’,过点B’作B’H⊥x轴于点H,过点A作AT⊥OB于点T.
∵点A坐标为(−2,1),点B坐标为(0,4),
∴AT=2,OT=1,OB=4,
∴OA=22+12=5,
∴OA=OA’=5,
∵S△OA’B’=S△OAB=12×4×2=4,
∴12OA’⋅B’H=4,
∴B’H=2×45=855,
∴点B’到x轴的距离为855,
故选:B.
如图,连接OA,OB’,过点B’作B’H⊥x轴于点H,过点A作AT⊥OB于点T.解直角三角形求出OA,再利用面积法求出B’H可得结论.
本题考查作图−复杂作图,解直角三角形,三角形的面积等知识,解题的关键是理解题意,学会利用面积法解决问题.
10.【答案】A
【解析】解:如图,连接AM,
由题意得:CA=CM,∠ACM=60∘,
∴△ACM为等边三角形,
∴AM=CM,∠MAC=∠MCA=∠AMC=60∘;
∵∠ABC=90∘,AB=BC=2,
∴AC=2=CM=2,
∵AB=BC,CM=AM,
∴BM垂直平分AC,
∴BO=12AC=1,OM= 32CM= 3,
∴BM=BO+OM=1+3,
故选:A.
如图,连接AM,由题意得:CA=CM,∠ACM=60∘,得到△ACM为等边三角形根据AB=BC,CM=AM,得出BM垂直平分AC,于是求出BO=12AC=1,OM= 32CM= 3,最终得到答案BM=BO+OM=1+3.
本题考查了图形的变换−旋转,等腰直角三角形的性质,等边三角形的判定和性质,线段的垂直平分线的性质,准确把握旋转的性质是解题的关键.
11.【答案】44
【解析】解:∵△ABC绕点A逆时针旋转到△BA’C’的位置,
∴BA’=AB,
∴∠BAA’=∠BA’A,
∵AA’//BC,
∴∠A’AB=∠ABC,
∵∠ABC=68∘,
∴∠A’AB=68∘,
∴∠ABA’=180∘−2×68∘=44∘,
∵∠CBC’=∠ABA’,
∴∠CBC’=44∘.
故答案为44.
首先根据旋转的性质可知BA’=AB,即可得到∠BAA’=∠BA’A,由AA’//BC,得到∠A’AB=68∘,再由三角形内角和定理得到∠ABA’的度数,即可得到∠CBC’的度数.
本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了平行线的性质.
12.【答案】57∘
【解析】已知△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38∘后所得的图形,可得△COD≌△AOB,旋转角为38∘,由点C恰好在AB上,可得△AOC为等腰三角形,可结合三角形的内角和定理求∠B的度数.
本题考查旋转的性质.旋转变化前后,对应角分别相等,同时要充分运用内角和定理求解.
【解答】
解:根据旋转性质得△COD≌△AOB,
∴CO=AO,
由旋转角为38∘,
可得∠AOC=∠BOD=38∘,
∴∠OAC=(180∘-∠AOC)÷2=71∘,
∴∠BOC=∠AOD-∠AOC-∠BOD=14∘,
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=52∘,
在△AOB中,由内角和定理得∠B=180∘-∠OAC-∠AOB=180∘−71∘−52∘=57∘.
故答案为:57∘.
13.【答案】 10
【解析】略
14.【答案】3
【解析】略
15.【答案】【小题1】
解:如图,点O 即为所求;
【小题2】
OA=OA1、∠AOA1=∠BOB1.
【解析】1.
连接AA1、BB1,再分别作AA1、BB1中垂线,两中垂线交点即为点O;
2.
根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应点到旋转中心距离相等,据此可知.
本题主要考查旋转变换的作图,熟练掌握旋转变换的性质:①对应点到旋转中心的距离相等(意味着:旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上),②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,③旋转前、后的图形全等.
16.【答案】【小题1】
解:如图1,△A1B1C1即为所求.
【小题2】
如图2,点P即为所求.
【解析】1. 见答案
2. 见答案
17.【答案】【小题1】
由旋转可知,AC=AF.
∵∠CAF=∠BAE,∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE,
即∠EAF=∠BAC.
在△ABC和△AEF中,AB=AE,∠BAC=∠EAF,AC=AF,
∴△ABC≌△AEF(SAS),∴EF=BC.
【小题2】
∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABC=65°.
∵△ABC≌△AEF,∴∠AEF=∠ABC=65°,
∴∠FEC=180°−∠AEB−∠AEF=180°−65°−65°=50°.
∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=50°+28°=78°.
【解析】1. 见答案
2. 见答案
18.【答案】【小题1】
如图,△A1B1C1即为所求.
【小题2】
如图,△A2B1C2即为所求.
【小题3】
(−2,0)
【解析】1. 略
2. 略
3. 略
19.【答案】【小题1】
∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,
∴QB=DF,AQ=AF,∠QAF=∠BAD=90°.
∵∠EAF=45°,∴∠QAE=45°,∴∠QAE=∠FAE.
在△AQE和△AFE中,AQ=AF,∠QAE=∠FAE,AE=AE,
∴△AQE≌△AFE(SAS),∴∠AEQ=∠AEF,
∴EA是∠QED的平分线.
【小题2】
由(1)得△AQE≌△AFE,∴QE=EF.又∵∠ABQ=∠ADF=∠ABF=45°,∴∠QBE=90°.在Rt△QBE中,QB2+BE2=QE2.又∵QB=DF,∴EF2=BE2+DF2.
【解析】1. 见答案
2. 见答案
20.【答案】【小题1】
如图,△ADE为所作.
【小题2】
如图,延长DE交AB于点P,交BC于点M,∵△ABC绕点A逆时针旋转60°,得到△ADE,∴∠B=∠D,∠BAD=60°.∵∠D+∠DAB+∠APD=∠B+∠BMP+∠BPM=180°,而∠APD=∠BPM,∴∠BMP=∠DAB=60°,即BC与DE所成的较小夹角的度数为60°.
【解析】1. 见答案
2. 见答案
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