（备战24高考数学）5.（回归教材）等腰四面体及应用

5.等腰四面体的性质及应用一．基本原理人教版教材必修二152页练习4有如下的设问：过所在平面外一点，作，垂足为，连接.（1）若，则为的________心.（2）若，，则为边的________点.（3）若，垂足都为，则为的________心.注：显然，四点作成一个三棱锥（四面体），下面我们逐个分析其性质.（i）等腰四面体：当时，类似于等腰三角形，此时四面体的三条腰长相等.上述习题第一问即是证明等腰四面体的一个重要性质：顶点在底面的投影恰好是底面的外心.证明：如图，由于，故根据勾股定理：，即顶点在底面的投影恰好是底面的外心.既然如此，根据外接球的性质，三棱锥外接球的球心在线段或者线段的延长线上，再次根据勾股定理，设外接球的半径为，的外接圆半径为，线段的长度为，则有：或. 特别地，若底面为正三角形，则三棱锥为正三棱锥，进一步，若三条棱长与底面三角形边长均相等，三棱锥为正四面体，由上述结论可得：假设棱长为，则外接球半径为.（ii）显然，有了（i）的分析，上述练习题的第二问简单，若，，则为边的中点.下面再来解决这道教材习题的第三问.过所在平面外一点，作，垂足为，连接.若，垂足都为，则为的垂心.证明：由于，则，又因为，则面，即，这样的话，面，于是，则在边的高线上，同理可证得在的高线上，故为的垂心.注：由证明可得：三条侧棱两两垂直可推得对棱相互垂直，把对棱相互垂直的四面体称为垂心四面体，即高过底面的垂心.（iii）由上述推证易知：正三棱锥的对棱垂直.二．典例分析例1.（2019全国1卷）三棱锥的四个顶点都在球上，，为边长是2的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为（ ）A． B． C． D．解析：由上述分析可知，设外接球的半径为，的外接圆半径为，三棱锥的高为，则，显然，，故欲算只需计算，而等腰四面体还有基本关系：，即只需计算出腰长即可，这样就可将已知条件利用起来解题.解：设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形.又，中余弦定理：，作于，，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.方法2.由于正三棱锥的对棱垂直，再利用题干给的垂直关系，此题还可以做如下的证明，即将其还原到一个正方体中.法2. 为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．三．习题演练习题1.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为（   ）A． B． C． D．解析：设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得.在正中，可得. 进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心. 记外接球半径为，则，所以，球的表面积为. 故选：B.习题2．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（   ）A． B． C． D．解析：由已知是正三棱锥，设是正棱锥的高，由外接球球心在上，如图，设外接球半径为，又，则，由得，解得，所以表面积为．故选：D．习题3.（2018全国二卷）.如图，在三棱锥中，，为的中点.（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 解析：（1）因为，为的中点，所以，且．连结．因为，所以为等腰直角三角形，且 ，由知．由知平面．（2）过程略，所以与平面所成角的正弦值为．