（备战24高考数学）7.（回归教材）新教材中一类翻折模型及高考应用

7.新教材中一类翻折模型及高考应用一．主要结论结论1：如图，，设为中点，则，故面，则.结论2：反过来，若如图，，且，设为中点，则.另一方面，由于，则面，故，因为为中点，故可得：.结论3.上述两个结论中，即为二面角的平面角.结论4..结论5.外接球问题如下图，所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．二．典例分析.例1．（2023·全国·统考高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（    ）A． B． C． D．【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，显然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，显然平面平面，直线平面，则直线在平面内的射影为直线，从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，显然是锐角，，所以直线与平面所成的角的正切为.故选：C例2.（2022年全国乙卷） 如图，四面体中，，E为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．注：（1）考察结论4， 由结论4易证.将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；且两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段.解析：（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）与平面所成的角的正弦值为例3.（2021新高考1卷）. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.解析：（1）基本原理结论1（2）由（1），且可知，且因为面，则，再过作，由于，那么故由结论2可得：.再由结论3，取中点，那么.因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，． 例4．(2017年高考3卷理科)如上右图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．(1)证明：平面平面；(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．注：（1）考察结论4， 由结论4易证.（2）考察结论3.例5.(2013高考新课标1卷理科)如图，三棱柱中，．(1)证明;(2)若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值。解析：（1）考察结论1，过程略去.下面看到“鸭嘴”模型的另一个应用，计算外接球，这也是常考的一个类型.例6．在四面体PABC中，，是边长为2的等边三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【详解】设正的重心为，则是正的外接圆的圆心，取的中点， 因为，所以是的外接圆的圆心，过作平面，过作平面，，如图，  则为四面体的外接球的球心，又二面角的大小为，则，又在正中，，则在中，，设四面体PABC的外接球的半径为，则，所以四面体PABC的外接球的表面积为.故选：C.例7．在三棱锥中，△ABD和△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为（     ）A．π B．π C．π D．π【详解】如图，取中点，连接，，因为△ABD和△CBD均为边长为2的等边三角形，所以，，则为二面角的平面角，即，设△ABD和△CBD外接圆圆心分别为，，则由，可得，，分别过作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球球心一定是两条垂线的交点，记为，连接，，则由可得，所以，则，则三棱锥外接球的表面积，故选：D