（备战24高考数学）8.（回归教材）祖暅原理与应用

8.祖暅原理及应用一．基本原理1.背景原理：我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 反之，这个结论不成立，例如，设为正方体，其棱长为，体积为，为长方体，底面为边长为的正方形，高为，显然在等高处的截面面积不相等.2.计算步骤（计算不规则几何体体积）根据上述原理，在计算某个不规则几何体的体积时，第一步可以先算出这个几何体任意一个平行于上下底面（平行）的截面，其面积为，第二步是构造一个规则几何体，它的任意一个平行于上下底面（平行）的截面的面积也为，最后，让这两个几何体等高，即可求得不规则几何体的体积.3.推广（计算曲边图形的面积）即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等.证明：用定积分很容易证，假设平行线段分别为，上下边分别为：，倘若，则，故只需找一个高为的梯形即可算得.举个例子来说明：计算函数、与直线、所围成的图形的面积.由于、与直线，所围成的图形的面积是：，则曲线围成的图形的面积为1.二．典例分析例1．（2023届徐州高三上期调研考试）早在南北朝时期，祖冲之和他的儿子祖暅在研究几何体的体积时，得到了如下的祖暅原理：幂势既同，则积不容异.这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等.将双曲线：与，所围成的平面图形（含边界）绕其虚轴旋转一周得到如图所示的几何体，其中线段OA为双曲线的实半轴，点B和C为直线分别与双曲线一条渐近线及右支的交点，则线段BC旋转一周所得的图形的面积是__________，几何体的体积为__________.解析：由双曲线得，则渐近线方程为所以，则；又，则则线段旋转一周所得的图形的面积为：；因为被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总想等，又双曲线的实半轴，此时截面面积为所以根据祖暅定理可得：几何体的体积为；故答案为：；.一般情形：双曲线，渐近线，与直线所围成的平面图形饶轴旋转一周得到的几何体体积为：.易证，略去！例2．《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积暅相等，则它们的体积相等．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为______．解析：由题意知：渐近线方程为，右焦点为，，由得：；由得：，阴影部分绕轴旋转一周所得几何体的体积，即，，即，，解得：，.故答案为：.例3．（经典题）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线，直线为曲线在点处的切线，如图，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得到的几何体为．给出四个几何体：图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积不相等的是______．解析：由题意，几何体是由阴影部分旋转一周得到，其横截面为环形，设阴影部分等高处，抛物线对应的点的横坐标为，切线对应的点的横坐标为，设直线为，与联立，得，由，解得，所以曲线C在点处的切线方程为，所以，，所以几何体在等高处的横截面面积.图①中的圆锥高为1，底面半径为，易知该圆锥可由直线绕y轴旋转得到，其横截面面积，所以几何体和图①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以它们的体积相等，且圆锥的体积为；图②中的圆柱、圆锥高均为1，底面半径为，则该几何体的体积为，所以与几何体的体积不相等；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥，则体积为，所以与几何体的体积不相等；图④中的圆台上底面半径为1，下底面半径为，高为1，圆锥高为1，底面半径为1，则该几何体的体积为，所以与几何体的体积不相等；故答案为：②③④.