（备战24高考数学）12.（回归教材）有心圆锥曲线的三个定义及应用

12.有心圆锥曲线的三个定义及应用关于椭圆与双曲线的定义，在人教版新教材中均有涉及，而且不光是第一定义，焦点与准线型定义，斜率型定义均作为例题和习题出现，而且教材也鲜明地指出了这三个定义之间的关系. 翻看近年全国卷的题目，我们发现很多选填题都是会涉及到这三个定义（解答题亦有考察），本节，我将从椭圆的第一定义出发，逐次推出二，三定义，并通过例题分析其进一步的应用.一．基本原理1.椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集，于是，假设焦点，的坐标分别为，点，那么：①将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得：②对②式继续平方，再整理可得：③由定义可知：，令，那么可得椭圆标准方程④.这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在轴上椭圆标准方程④.2.椭圆的焦半径公式：在上述推导中，定位到②式，⑤，⑤式右端表示椭圆上的点到右焦点的距离，即，为离心率. 同理可得：（“左加右减”）.3.椭圆的第二定义：继续定位到②式，⑥. ⑥式表明椭圆上的点到右焦点的距离与到直线的距离之比是离心率.利用第二定义，下面推导椭圆的焦点弦相关结论.4.角度形式焦半径：上加下减.证明：设椭圆的准线与轴交于点，为椭圆的左右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点.设，过两点向准线引垂线，垂足记为点.根据椭圆第二定义，,.过两点再向轴引垂线，垂足记为点.显然，再代入可得，整理化简：同理可得：5.比例式.进一步，设椭圆的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则．6.椭圆第三定义：由④式，⑦，⑦式表明椭圆上的点到左右两顶点的斜率之积为一个定值.实际上，若我们将上述第三定义的推导过程进一步推广，假设是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点（不与重合）到点的斜率之积为一个定值.证明：设的坐标分别为，，则由于三点均在椭圆上，故满足：，即.二．典例分析例1.（2022甲卷）椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为A． B． C． D． 解析：椭圆的右顶点为，由于点均在上，且关于轴对称，所以直线也关于轴对称，由椭圆第三定义，即，，．例2.（2019全国1卷）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A． B． C． D．解：如图所示：设，由，代入焦半径公式到可得：.再由 .结合（1），（2）式可得，，故，，这样在三角形与三角形中分别使用余弦定理可得:.小结：通过坐标表示出焦半径的关系，进而解出椭圆上点的坐标是解题的关键.例3.（2019全国三卷）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.解：由已知可得，．∴．由焦半径公式可知设，由焦半径公式可知再代入椭圆方程可解得的坐标为．例4.（2018全国三卷）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且，证明成等差数列，并求该数列的公差.解析：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得. 又点P在C上，所以，从而，. 于是. 同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.② 将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得：.故，代入②解得. 所以该数列的公差为或.注：椭圆的焦半径公式在例4的解题中起到了关键性作用！对于该公式，其推导很简单，就是两点间距离公式再结合椭圆方程可得，所以，在解答题中，考生们完全有机会自行推倒后利用其解题！