（备战24高考数学）15.（回归教材）牛顿切线法及应用

15.牛顿切线法及应用一．基本原理1.牛顿切线法牛顿（1643-1727）给出了牛顿切线法：用“作切线”的方法求方程的近似解如图，设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，若，那么.2.切割线放缩已知函数为定义域上的凸函数，且图象与交于两点，其横坐标为，这样如下图所示，我们可以利用凸函数的切线与的交点将的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理. 如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出零点的一个上下界，而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解（精确解）的估计，二．典例分析例1．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（    ）A． B．切线：C． D．解析：由，可得，即，根据函数零点的存在性定理，可得，所以A正确；又由，设切点，则切线的斜率为，所以切线方程为，令，可得，所以D正确；当时，可得，则，所以的方程为，即，所以B正确；由，可得，，此时，所以C错误；故选：ABD例2．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数的值为________．解析：因为，所以，则，又，，所以是首项为，公比的等比数列，则，令，则，又因为在定义域内单调递增，且，所以，所以最大正整数的值为10.故答案为：10.例3．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与轴的交点为在处的切线与轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为___________（结果保留两位小数）.解析：由，，所以在处的切线方程为：，令，可得：，所以在处的切线方程为：，令，故答案为：例4．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为________．解析：因为，所以，则，又，，所以是首项为，公比的等比数列，则，令，则，又因为在定义域内单调递增，且，所以，所以最大正整数n的值为10.故答案为：10.例5.（2023届皖南八校联考）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方；（2）若关于的方程（为正实数）有两个不等实根，求证：.解析：（1）证明：由题意可得：，，可得曲线在点处的切线为.令，，当时，，当时，∴函数在上单调递减，在上单调递增，曲线上的点都不在直线的上方.（2）证明：由（1）可得，解得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以的最大值为，，曲线在点处的切线为，由（1）得，令，，，∴由零点的存在性定理知，同理可得曲线在点处的切线为，设与的交点的横坐标分别为，则，. 下面证明：.，，且，.总结1.观察题干是否考察零点之差的不等式：型；2.验证函数的凸凹性；3.在步骤2的基础上考察函数在关键特殊点处的切线，最终构造出剪刀模型，完成证明.例6．已知函数，是的极值点．（1）求的值；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；（3）若关于的方程有两个不等实根，，求证：．解析：（1）解：；由题意知，；；（2）证明：设曲线在，处切线为直线；令；；；在上单调递增，在，上单调递减；；，即，即上的点都不在直线的上方；（3）由（2）设方程的解为；则有，解得；由题意知，；令，；；在上单调递增；；的图象不在的下方；与交点的横坐标为；则有，即；；关于的函数在上单调递增；．