（备战24高考数学）17.（回归教材）分段数列及应用

17.分段数列及应用一．基本原理类型1.，由于数列通项均已知，求和时只需分奇偶求和即可.类型2.，由于数列通项在奇数时为递推关系，所以需要先利用递推关系求得奇数时每项的特征，在求和时往往需将奇数项的计算转化为已知通项的偶数项进行.类型3.这一类问题需要先求出各段的通项，再分段求和，由于涉及奇偶讨论，所以去构造隔项之间的递推关系从而求得具体通项形式.二．典例分析★1类型1的应用例1．已知为等差数列的前n项和，，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解析：（1）设的公差为d．∵，∴，解得．∴．（2）当n为奇数时，，当为偶数时，．∴设，①，则，②，得∴．故．例2．在数列中，，，且对任意的，都有.（1）证明：是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解析：（1）证明：因为，，所以.因为，所以，又，则有，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.所以，所以，又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.（2）由（1）知，则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.所以当为偶数，且时，；当为奇数，且时，为偶数，.时，，满足.所以，当为奇数，且时，有.综上，.★类型2的应用例3．记为等比数列的前项和.已知.（1）求；（2）设求数列的前项和.解析：（1）设等比数列的公比为.由题意，可知，解得：，.（2）由题设及（1）可知：当为奇数时，，当为偶数时，，故，★类型3的应用例4．设首项是1的数列的前项和为，且若，则正整数的最大值是________.解析：因为，则，，由，可得，，则，，可得，所以，，，，所以，当时，，又，所以，所以正整数的最大值是16.故答案为：5，16.例5．设是数列的前n项和，已知，（1）证明：是等比数列；（2）求满足的所有正整数n.解析：（1）由已知得，所以，其中，，所以是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）知，所以，，所以，所以，当时，单调递减，其中，，，所以满足的所有正整数n为1，2.三．习题演练1. （2021年新高考1卷）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【详解】（1）由题设可得又，，故即即所以为等差数列，故.（2）设的前项和为，则，因为，所以.2.（2023年新高考2卷）2 为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．（1）求的通项公式；（2）证明：当时，．解析：（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.