（备战24高考数学）19.（回归教材）新教材中的极点极线初步

19.教材中的极点极线初步一．基本原理1.从椭圆标准方程到极点极线椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集，于是，假设焦点，的坐标分别为，点，那么：①将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得：②对②式继续平方，再整理可得：③由定义可知：，令，那么可得椭圆标准方程④.这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在轴上椭圆标准方程④.定位到②式，⑤. ⑤式表明椭圆上的点到右焦点的距离与到直线的距离之比是离心率.其中：椭圆的焦点为时,相应的准线是；焦点为时,相应的准线是；焦点为时,相应的准线是；焦点为时,相应的准线是.双曲线的情况类似,这里就不再赘述了.进一步，已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点与极线.根据极点极线的代数定义我们可以知道，对于椭圆，与点对应的极线方程为.特别地，点对应的极线方程为：，即右焦点所对应的极线方程为右准线.同理，可得双曲线与抛物线的极点与极线方程，这里用表格形式给出相关结论.结论2.从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点.结论3.极点与极线作法：（1）如图，是不在圆锥曲线上的点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线．（2）若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线．由图1可知，同理为点对应的极线，为点所对应的极线．称为自极三点形．若连接交圆锥曲线于点，则恰为圆锥曲线的两条切线．事实上，下图给出了两切线交点对应的极线的一种作法．PEFGHMANB二．典例分析例1.（2020全国1卷）已知分别为椭圆的左右顶点，为的上顶点，，点为直线上的动点，与的另一个交点为，与的另一个交点为.（1）求的方程；（2）证明：直线过定点.解析：（1）的方程为.（2）解法1：（设线法）由（1）知，，设，则直线的方程是，联立，由韦达定理，代入直线的方程为得：，即，，直线的方程是，联立方程，由韦达定理，代入直线的方程为得，即，，直线的斜率，直线的方程是，整理得：，故直线过定点，．解法2.（设点法）假设.则由及三点共线可得：将上面两式相除，再平方可得：①，由于均在椭圆上，故满足：②，将②代入①可得：，整理可得：③，假设直线的方程为代入椭圆方程得：将代入③中，可得：，于是，直线的方程为，故其过定点.例2．（2023年新高考2卷）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．（1）求的方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于两点，在第二象限，直线与交于点．证明:点在定直线上.解析：（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，  直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.三．习题演练1．已知椭圆，点在椭圆上，椭圆上存在点与左焦点关于直线对称（1）求椭圆的方程；（2）若､为椭圆的左､右顶点，过点的直线，与椭圆相交于点､两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.解析：（1）由题意可得：左焦点关于直线对称点；解得所以椭圆的方程：；（2）由题意可知，同时直线斜率存在且不为零，与椭圆交于，设，可得，，与椭圆交于，设，可得，，当时，直线，，令时，，当时，，，直线恒过点.2．已知椭圆：（）过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．解析：（1）由椭圆过点，且离心率为，所以，解得故所求的椭圆方程为．（2）由题意得，，直线的方程，设，联立，整理得，∴，．由求根公式可知，不妨设，，直线的方程为，直线的方程为，联立，得代入，得，解得，即直线与的交点在定直线上．曲线类型极点极线