（备战24高考数学）20.（回归教材）课本精讲

20.新教材精讲系列：选择性必修一第146页该页出现了很多重要的问题，我初步准备分两节来进行讲，今天先针对其中的第10题，第12题，第13题，第16题展开.★1．第10题详讲1.课例分析．已知直线与抛物线（）交于、两点，且，于点，点的坐标为，则 ．解析：，，，，则直线的方程为：，即，设，联立，消去得：，，，，.故答案为：.2.课例拓展：抛物线中的定角张定弦问题这道例题背后最经典的结论当然就是定角张定弦问题了，即：对于抛物线上异于顶点的两动点，若，则弦所在直线过点.同理，抛物线上异于顶点的两动点，若，则直线过定点.证明：，则的方程为，整理可得：，即可得的方程为：.特别地，若直线过抛物线焦点，代入直线方程一定有：，再代入抛物线方程可得：.设，那么可得：，再由结论2可得：，则弦所在直线过点.另一种情况同理可证.3.课例变式此题稍加改变，可以不给点的坐标，那么就在以和定点为直径的圆上运动，构成一个隐圆问题，这也是很常考的一种形式.4.走向高考（圆锥曲线中的定角张定弦）若圆锥曲线中内接三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合，则斜边所在直线过定点.（1）对于椭圆上异于右顶点的两动点，以为直径的圆经过右顶点，则直线过定点.同理，当以为直径的圆过左顶点时，直线过定点.（2）对于双曲线上异于右顶点的两动点，以为直径的圆经过右顶点，则直线过定点.同理，对于左顶点，则顶点为.高考案例：（2020年新高考1卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．解析：（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.（2）设点.因为AM⊥AN，∴，即,①当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1.代入椭圆方程消去并整理得： ②,根据,代入①整理可得： 将②代入，，整理化简得,∵不在直线上，∴，∴，于是MN的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线MN的斜率不存在时，可得,如图2.代入得,结合,解得,此时直线MN过点,由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.由于，故由中点坐标公式可得.故存在点，使得|DQ|为定值. ★2.第12题解析一．课例分析例.在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短．【详解】根据题意设，所以点到直线的距离为： ，当且仅当时等号成立，此时，所以当时，点到直线的距离最短为.2.课例拓展这个问题并非新教材中第一次出现，在椭圆部分，还有一道这样的问题：已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得：（1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？（2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？它们都涉及到二次曲线上一点到直线距离的最值问题，其基本原理如下：1.函数图象上一个动点到一条定直线（与函数图象相离）距离的最小值.若两个动点分别在函数图象上，那么到直线距离的最小：当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离.2.两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.若两个动点分别在函数和直线上，那么当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离.3.拓展应用，走向高考高考对于距离公式的考察，主要在点到直线距离和点点间距离，总结起来，有下面的主要考察模式，鉴于篇幅，我这里只提供思路，你可以在往期内容找到答案：1.圆中与距离最值有关的常见的结论2.圆锥曲线中的距离最值常见结论3.将军饮马型最值4.函数图象上的铅锤距离最值5.函数图象上的水平距离最值6.函数图象上的点到直线的距离最值7.两点间距离最值与代数转化8.函数图象与函数图象的距离最值★3.第13题解析一．课例分析例：当m变化时，指出方程表示的曲线的形状．【详解】对于方程，当时，方程为，即，表示轴；当时，方程为，即，表示轴；当且时，方程为，若，即时，方程为圆，，表示以原点为圆心的单位圆；若，即或时，方程表示双曲线；若且时，即且时，方程表示椭圆；综上，当时，表示轴；当时，表示轴；时，方程表示以原点为圆心的单位圆；或时，方程表示双曲线；且时，方程表示椭圆；二．课例拓展该题主要考察对二次曲线方程的理解，如果你想要深究的话，我认为一个方向就是二次曲线系，即圆锥曲线方程为曲线系方法是优化圆锥曲线运算的一种重要方法，它本质上是对圆锥曲线的一种更深层的认识. 本节我将介绍二次曲线系方法在圆锥曲线计算中的应用，通过本节，你将会看到一些问题通过曲线系方法将直击本质，简单明了.1．基本原理.定理：给定五个点，其中任何三个点都不共线，则过这五个点有且仅有一条圆锥曲线. 进一步可得：由组成的曲线：.圆锥曲线上的四点共圆问题：设圆锥曲线方程为，则存在四点共圆的情况必为，由于没有的项，必有.2．真题分析（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．（1）求的斜率；（2）若，求的面积．解析：（曲线系）点处的切线方程为，设直线的方程为，的方程为，的方程，则过这四条直线交点的二次曲线方程为.又因为双曲线过这些交点，比较的系数得.又由，所以.★4.第16题解析一．课例分析例.过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物线的准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？【详解】取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，在直角梯形APQB中，,故圆心M到准线的距离等于半径，∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．圆半径为r，则 ，分别过点A，B做右准线的垂线，则构成一个直角梯形，两底长分别为 ,（e为离心率） 圆心到准线的距离d为梯形的中位线长即∵椭圆0＜e＜1，∴，∴相离,双曲线e＞1，可得d＜r，相交．二．课例拓展该问题涉及两方面具体拓展，对抛物线而言就是焦点弦的重要结论之一：以焦点弦为直径的圆和准线相切，这个高考经常考.对椭圆和双曲线而言，就要拓展准线的概念与第二定义，这个是新教材116页的阅读材料，我再这里就一并说了.1.拓展1：抛物线以焦点弦为直径的圆和准线相切题1.（2023年新高考2卷）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.  题2.（2018年全国2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得． ，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．拓展2.从椭圆标准方程到极点极线椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集，于是，假设焦点，的坐标分别为，点，那么：①将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得：②对②式继续平方，再整理可得：③由定义可知：，令，那么可得椭圆标准方程④.这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在轴上椭圆标准方程④.定位到②式，⑤. ⑤式表明椭圆上的点到右焦点的距离与到直线的距离之比是离心率.其中：椭圆的焦点为时,相应的准线是；焦点为时,相应的准线是；焦点为时,相应的准线是；焦点为时,相应的准线是.双曲线的情况类似,这里就不再赘述了.