2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：3.微分中值定理与应用

这是一份2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：3.微分中值定理与应用，共11页。试卷主要包含了微分中值定理与应用，拉格朗日中值定理，在上可导；，利普希茨条件，代数数与超越数，设，试比较三个数的大小，已知函数等内容，欢迎下载使用。

本讲主要研究以泰勒展开式和拉格朗日中值定理为背景的命题. 泰勒展开式应该是高中导数命题中最常用的高等背景，以其为背景的一阶导数（切线）放缩，二阶放缩等活跃于高考试题和各地模考试题中. 本节，我们将通过一些典型例题来展示其中的泰勒身影，探析其中常见的命题手法.
一．基本命题原理
泰勒展开式（泰勒级数）：
多项式：
公式：
泰勒公式时的麦克劳林公式：
几个重要的不等式
由泰勒公式，我们可以得到几个重要的不等式：
3.1 ；
3.2 ；
3.3 .
4.拉格朗日中值定理
（1）若函数在区间满足以下条件：
i).在上可导；
ii).在上连续，则必有一存在,使得
（2）几何意义：在满足定理条件的曲线上至少存在一个点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB（如图）.
5.利普希茨条件：若函数在区间满足可导，且，则
.
进一步，若满足，则.
上述结论由拉格朗日中值定理易证，若导函数有界，自然可得.
6.（1）代数数与超越数：代数数为整系数多项式的复根，不是代数数的称为超越数，如自然对数.
（2）刘维尔不等式：设实数满足：都存在，且互质，使得，那么是一个超越数.
注：刘维尔定理的证明借助拉格朗日定理可实现，下面给出证明.
证明：假设是某个整系数多项式的零点，考虑的某个邻域
，则，，考虑拉格朗日中值定理可得：，由多项式函数的连续性可知：，故，由于，故
为正整数，则，代入上式可得：
.故此时，不能满足题干内容，故是一个超越数.
注：从定理的证明过程可以看到：第1，拉格朗日中值定理是构造毕竟不等式的关键.第2，多项式导数在闭区间上的的有界性也是实现这个定理证明的关键步骤.在下面的2017年天津卷的解答过程中，我们将看到命题人是如何设计题目，将这两个关键步骤逐次展开，完成题目命制.
二．典例应用
我们先看泰勒的应用，再看以泰勒为背景的综合情境问题，最后看拉格朗日定理的应用.
例1.（2022新高考1卷）设，试比较三个数的大小.
解析：根据题意，构造函数.则可以看到：
，由于较小，所以对上述三个函数在处进行二阶泰勒展开：；；
.
在处，显然，故.
当然，这类题目不是第一次出现，2021年全国乙卷就以压轴题的形式出现，解法与今年的大同小异！
例2.（2021山东模拟）已知函数.
（1）证明：时，；
（2）设，若对任意实数，都有，求的值.
解析：（2）记，注意到时，. 由于恒成立，故
即为函数的极小值点（最小值点）.下面我们将与进行泰勒展开：
，，
代入的表达式，于是可得：，故在处的泰勒展开：.
可以看到，若，则存在实数使得在的邻域满足，这与为函数的极小值点（最小值点）矛盾，故得到.
例3．已知函数，.
（1）若是函数的极小值点，讨论在区间上的零点个数.
（2）英国数学家泰勒发现了如下公式：
这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.
现已知，
利用上述知识，试求的值.
解析：（1）由题意得：，因为为函数的极值点，
所以，，
知：，，，
（i）当时，由，，，，得，
所以在上单调递减，，所以在区间上不存在零点；
（ii）当时，设，则.
①若，令，则，
所以在上单调递减，因为，，
所以存在，满足，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；
②若，令，，则，所以在区间上单调递减，所以，又因为，所以，在上单调递减；
③若，则，在上单调递减.由（a）（b）（c）得，在上单调递增，在单调递减，因为，，所以存在使得，
所以，当时，，在上单调递增，，
当时，，在上单调递减，因为，，
所以在区间上有且只有一个零点.综上，在区间上的零点个数为个；
（2）因为，（*）
对，两边求导得：，
，所以，（**）
比较（*）（**）式中的系数，得
所以.
例4．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小.
（3）证明：.
解析：（1），，，，，，
，即；同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，，，在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，在上单调递增，又，
当时，；当时，；综上所述：当时，；当时，；当时，；
（3）令，则，，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，
，即；在点处的阶泰勒展开式为：，，当且仅当时取等号，
①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；
②当时，设，，
，，
当，由（2）可知，所以，
，即有；当时，，所以，时，单调递减，从而，即．综上所述：.
例5．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．
解析：（1），，，，，，
，即；同理可得：；
（2）由（1）知：，，令，则，，，在上单调递增，又，当时，，单调递减；当时，，单调递增；，，在上单调递增，又，当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，.
（3）令，则，，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，
，即；在点处的阶泰勒展开式为：，，
①由（2）知：当时，，
当时，；
②由（2）知：当时，，，
令，则，在上单调递减，，即当时，，，；
综上所述：.
例6.（2017天津）设，定义在上的函数在区间
内有一个零点，为的导函数.
（1）求的单调区间；
（2）设，函数，求证：；
（3）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.
解析（1）的单调递增区间是，，单调递减区间是.
（2）证明：由，得，
.
令函数，则.由（1）知，当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，当时，，可得.
令函数，则.由（1）知，在上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此，当时，，可得.
所以，.
注：第二问实质就是拉格朗日中值定理.
（3）证明：对于任意的正整数，，且，
令，函数.
由（2）知，当时，在区间内有零点；
当时，在区间内有零点.
所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.
由（1）知在上单调递增，故，
于是.
因为当时，，故在上单调递增，
所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.
又因为，，均为整数，所以是正整数，
从而.
所以.所以，只要取，就有.