2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：5.定积分与应用

这是一份2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：5.定积分与应用，共6页。试卷主要包含了定积分与应用，定积分的定义，定积分的几何意义，微积分基本定理，定积分的运算性质，01，0等内容，欢迎下载使用。

以定积分为理论背景的高考试题却层出不穷，不讲主要介绍一类定积分背景的不等式，并展示它们在高考命题中的作用.
一．基本命题原理
1.定积分的定义：
一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为：.
2.定积分的几何意义： 当时，由前述可知，定积分在几何上表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积.

3.微积分基本定理：如果是区间上的连续函数，并且，那么
4.定积分的运算性质：假设存在
（1）
作用：求定积分时可将的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化的复杂程度.
（2）
作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分.
（3），其中
作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解.
（4）若具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算
（4.1）若为奇函数，则
（4.2）若为偶函数，则
二．典例分析
例1．定积分_________.
解析：．故答案为：
例2.设函数，其中是的导函数.
（1），求的表达式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，比较与的大小，并加以证明.
解析：（1）由题设得，
（2）已知恒成立，即恒成立设，则
当时，（仅当时等号成立）所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，所以时，恒成立（仅当时等号成立）当时，对有，所以在上单调递减，所以即时，存在，使，故知不恒成立，综上可知，的取值范围是
（3）如图，是由曲线及轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和。
所以，结论得证。
例3．Mnte-Carl方法在解决数学问题中有广泛的应用．下面利用Mnte-Carl方法来估算定积分．考虑到等于由曲线，轴，直线所围成的区域的面积，如图，在外作一个边长为1正方形．在正方形内随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，此即为定积分的估计值．现向正方形中随机投掷10000个点，以表示落入中的点的数目．
（1）求的期望和方差；
（2）求用以上方法估算定积分时，的估计值与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率．
附表：
解析：（1）依题意，每个点落入中的概率为，，
所以.
（2）依题意，所求概率为
.
例4．如下图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．
（1） 求及数列的通项公式；
（2）设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式；
（3）在满足（2）的条件下， 若数列的前项和为，求证：N.
解析：（1） 由，设直线的斜率为，则.∴直线的方程为.令，得，∴， ∴. ∴.∴直线的方程为.令，得. 一般地，直线的方程为，由于点在直线上，∴. ∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴.
（2）.
（3）证明：，
∴，.
要证明，只要证明，即只要证明.
令,则,当时, ,∴函数在上单调递增. ∴当时, .∵N, ∴, 即.∴.
∴不等式对一切N都成立.
1899
1900
1901
2099
2100
2101
0.0058
0.0062
0.0067
0.9933
0.9938
0.9942