2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：10.17分的导数压轴题可能长这个样子

这是一份2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：10.17分的导数压轴题可能长这个样子，共8页。试卷主要包含了一些综合情境的导数压轴题等内容，欢迎下载使用。

例1．已知函数．
（1）若时恒成立，求实数a的取值范围．
（2）定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
解析：（1），令，依题意，当时，恒成立，由，得，，又因为，所以，
当时，，所以在单调递增，，不合题意；当时，令，解得，当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减．
若要使恒成立，则需，解得，故此时；
当时，，所以在单调递减，所以，符合题意；综上，实数的取值范围为．
（2）①，，故，构造函数，
，则，函数在上单调递增，，故在恒成立，单调递增，故，即，，当时，，综上所述：恒成立，即．
②，则，，
设，即，则，设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应，即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，故，假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，，故，整理得到，无正整数解．故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列．
例2．已知正整数，函数．
（1）若，，，，在上严格增，求实数t的最小值；
（2）若，，，，在处有极值，函数有3个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）若函数的导函数恰有个零点（，2，…，），满足，求证：在上严格增．
解析：（1）若，，，，则，，由得，，或，当，或时，，则单调递增；当时，，则单调递减；由在上严格增，则有.即的最小值为；
（2）若，，，，则，则，
由在处有极值，则，解得，此时，，
，由得，，或，当，或时，，则单调递增；当时，，则单调递减；则在处有极大值，在有极小值，满足题意.且当，作出函数的图象（如图）
要使函数有3个不同的零点，则直线与函数有个不同的交点，
由图可知实数的取值范围是.
（3）函数的导函数恰有个零点（，2，…，k），，，
则，其中为最高次项系数为的多项式，.因为，则，且函数不存在零点，则恒成立或恒成立，由最高次项系数为，则当，假设，则由零点存在性定理知，存在零点，与已知矛盾，故假设错误.故恒成立.由，则当时，，所以恒成立，故在上严格增.
例3．九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花.下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系.已知，.
（1）求函数的单调区间
（2）若数列（为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围
（3）数列满足，，.证明：对任意的，.
解析：（1）因为，定义域为，且，令，解得；令，解得；所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，则，
可得
，
，
对于不等式：，即，
整理得，所以使得不等式：成立的正整数的取值范围.
（3）因为，的定义域为，且恒成立，且，所以当时，，由（1）可知数在单调递减，在单调递增，因为，所以，，，，
又因为，则，所以，又因为在单调递减，所以，即，即，所以，则，所以.
例4．已知函数.
（1），求实数的值；
（2）若，且不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（3）设，试利用结论，证明：若，其中，解析：（1）由函数，可得，所以，.
又由，所以，解得.
（2）若，可得，则，则不等式可化为，即对任意恒成立，令，则，设函数，可得，
因为，所以恒成立，所以函数在上严格递增，所以，故，即实数的取值范围为.
（3）解法1：由，
因为，可得，当且仅当时，等号成立；
所以，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时等号成立.
因此有，
，
，
以上个式子相加得：
.
解法2：由，可得，当且仅当时等号同时成立.故，
，，
以上个式子相加得：
.
例5. 椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线．关于轴的对称点记为．在点处的切线是指曲线在点处的切线．定义“”运算满足：①若，且直线与有第三个交点R，则；②若，且为的切线，切点为，则；③若，规定，且．
（1）当时，讨论函数零点的个数；
（2）已知“”运算满足交换律、结合律，若，且为的切线，切点为，证明：；
（3）已知，且直线与有第三个交点，求的坐标．
参考公式：
解析：（1）由题设可知，有，若，则，则，此时仅有一个零点；若，令，解得．当或时，，当时，，故在，上为单调递增；在上单调递减.因为，若，则，此时，而，故此时有2个零点；若，则，
此时，而
故此时有2个零点；综上，
当，所以有2个零点．当，所以有2个零点．
当，有，则有1个零点．
（2）因为为C在点P处的切线，且，所以，
故，故，因为“”运算满足交换律、结合律，故，故.
（3）直线的斜率，设与C的第三个交点为，
则，代入得，
而，故，整理得到：，
故即，
同理可得，两式相减得：，故，
所以，故，故，
所以，因此的坐标为：
．