2024年九年级数学中考一轮复习相交线与平行线综合练习题（解析版）

这是一份2024年九年级数学中考一轮复习相交线与平行线综合练习题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角B．同旁内角互补
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠AOE=60°，则∠BOC的度数为（ ）．
A．60°B．30°C．150°D．160°
3．如图，a∥b，∠1=42°，则∠2的度数为（ ）
A．48°B．42°C．138°D．52°
4．如图，下列条件中，不能判断a∥b的是（ ）
A．∠1=∠3B．∠4=∠5C．∠2+∠4=180°D．∠2=∠3
5．如图，AB∥CD∥EF,AC∥DF．若∠BAC=120°，则∠EFD的度数为（ ）
A．60°B．120°C．150°D．180°
6．如图，l1∥l2∥l3，则下列各式中，正确的是（ ）
A．∠3=∠1+∠2B．∠2+∠3−∠1=90°
C．∠1−∠2+∠3=180°D．∠2+∠3−∠1=180°
7．如图，△AOB≌△ADC，∠O=∠D=90°，∠OAD=70°，当AO∥BC时，则∠ABO度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
8．如图，在⊙O中，∠BOA=45°，OB∥AC，AO，BC相交于点D，那么∠BDA的度数为（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．80°
二、填空题
9．如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=3，∠DAB的平分线AE交线段CD于点E，则EC= ．
10．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD相交于点E和点F，EG平分∠BEF，且∠2=50°，则∠1= ．
11．如图，有下列说法：①若∠1=∠2，则AB∥CD；②若∠3=∠4，则AD∥BC；③若∠ABC+∠BCD=180°，则AD∥BC；④若∠1+∠3+∠ABC=180°，则AD∥BC．其中说法正确的有 个．
12．∠1与∠2的两边分别平行，且∠1的度数比∠2的度数的14多30°，则∠1的度数为 ．
13．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别在BC,AD边上，沿直线EF折叠后，C，D两点分别落在平面内的点C′,D′处．若∠1=40°，则∠2的度数为 ．
14．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落在点A'的位置．若∠C=120°，∠A=26°，则∠A'DB的度数为 ．
15．如图，AE∥CD，BC∥EF，∠A=2∠E，∠B=117°，FD⊥CD于点D，则∠F的度数是 ．
16．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，OD∥BC，∠BCD=110°，则∠ABC= °．
三、解答题
17．请把下列证明过程补充完整．
已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，A、F、E三点在同一直线上，∠1=∠2=∠E，∠3=∠4．求证：AB∥CD．
证明：∵ ∠2=∠E，（已知）
∴________∥________（________），
∴ ∠3= ∠________（________）
∵ ∠3=∠4（已知）
∴ ∠4=∠________（等量代换）．
∵ ∠1=∠2（已知）
∴ ∠1+∠CAF=∠2+∠CAF，
即∠________= ∠________
∴ ∠4=∠________（等量代换），
∴ AB∥CD（________）．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1=∠2．

(1)求证：EF∥BD；
(2)若DB平分∠ABC，∠A=130°，∠C=70°，求∠CFE的度数．
19．（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB．求证：FG⊥AB；
（2）若把（1）中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由；
（3）若把（1）中的“∠1=∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E．
(1)若∠C=40°，求∠BAD的度数；
(2)过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：△BEF是等腰三角形．
(3)若BE平分△ABC的周长，△AEF的周长为15，求△ABC的周长．
21．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
(2)若CA=2，CD=4，求半径的长．
22．【问题】如图①，线段AB=10cm，点C是线段AB上一点，点M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN的长(请写出说理步骤)．
【拓展】如图①，线段AB=acm，点C是线段AB上一点，点M、N分别是线段AC、BC的中点，则线段MN的长为__________cm．(用含字母a的代数式表示)
【应用】(1)如图②，∠AOB=α，射线OC是∠AOB内部任一射线，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则∠MON的大小为__________．(用含字母α的代数式表示)
(2)如图③，AM∥BN，∠A=68°，点P是线段AD上一点(与点A、D不重合)，BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN，分别交射线AM于点C，D．求∠ACB与∠ADB的差．
参考答案
1．解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
C、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，不符合题意，
故选：C．
2．解：∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵∠AOE=60°，
∴∠BOC=∠AOD=∠DOE+∠AOE=150°．
故选：C
3．解：如图，
∵ ∠1=42°，
∴ ∠3=∠1=42°
∵ a∥b，
∴ ∠2=∠3=42°，
故选：B．
4．解：A、由∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行，可以判断a∥b，不符合题意；
B、由∠4=∠5，根据同位角相等，两直线平行，可以判断a∥b，不符合题意；
C、由∠2+∠4=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可以判断a∥b，不符合题意；
D、由∠2=∠3，不可以判断a∥b，符合题意；
故选：D．
5．解：因为AB∥CD,∠BAC=120°，
所以∠ACD=180°−∠BAC=60°．
又因为AC∥DF，所以∠CDF=∠ACD=60°．
又因为CD∥EF，所以∠EFD=180°−∠CDF=120°．
6．C
7．解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，
∴∠ABC=∠ACB，
设∠ABC=∠ACB=x，
∵BC∥OA，
∴∠ABC=∠BAO=∠CAD=x，∠ACB+∠CAO=180°，
∴∠ACB+∠CAD+∠OAD=180°，
∵∠OAD=80°，
∴x+x+70°=180°，
解得：x=55°，
∴∠BAO=55°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=90°−55°=35°．
故选：A．
8．解：∵∠BOA=45°，
∴∠BCA=22.5°，
∵OB∥AC，
∴∠OBD=∠ACD=22.5°，
∴∠BDA=∠BOA+∠OBD=45°+22.5°=67.5°，
故选：C．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=5，BC=AD=3，CD∥AB，
∴∠DEA=∠BAE．
∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD=3，
∴EC=CD−DE=2．
故答案为：2．
10．解：∵AB∥CD，∠2=50°，
∴∠BEG=∠2=50°
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEG=100°
∵AB∥CD，
∴∠1=180°−∠BEF=80°
故答案为：80°
11．1
12．解：∵∠1和∠2的两边分别平行，
∴∠1=∠2①或∠1+∠2=180°②，
∵∠1的度数比∠2的度数的14多30°，
即∠1=14∠2+30°③，
将③分别代入①，②得：
∠1=40°或∠1=60°，
故答案为：40°或60°.
13．70°
14．112°
15．解：作AE∥BG，BC∥AH，如图所示：
∵AE∥CD，BC∥EF
∴AE∥CD∥BG，BC∥EF∥AH，
∵EF∥AH，
∴∠HAE=∠AEF，
∵∠BAE=2∠AEF,∠BAE=∠HAE+∠BAH，
∴∠HAE=∠BAH=∠AEF，
∵BC∥AH，∠ABC=117°，
∴∠BAH=180°−∠ABC=63°，
∴∠AEF=63°，
∵FD⊥CD，
∴∠FDC=90°，
∵AE∥CD，
∴∠FIE=∠FDC=90°，
∴∠IFE=180°−∠FIE−∠AEF=27°，
故答案为：27°
16．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°−∠BCD=70°，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA=70°，
∴∠AOD=180°−70°×2=40°，
∵OD∥BC，
∴∠ABC=∠AOD=40°．
故答案为：40．
17．证明：∵ ∠2=∠E，（已知）
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠3=∠CAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠3=∠4（已知）
∴ ∠4=∠CAD（等量代换）．
∵ ∠1=∠2（已知）
∴ ∠1+∠CAF=∠2+∠CAF，
即∠BAE=∠CAD，
∴ ∠4=∠BAE（等量代换），
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：AD；BE；内错角相等，两直线平行；CAD；两直线平行，内错角相等；CAD；BAE；CAD；BAE；同位角相等，两直线平行．
18．（1）证明：如图，

∵AD∥BC，
∴∠1=∠3
∵∠1=∠2．
∴∠3=∠2
∴EF∥BD
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠A=180°
∵∠A=130°，
∴∠ABC=50°．
∵DB平分∠ABC，
∴∠3=12∠ABC=25°
∴∠2=∠3=25°．
∵在△CFE中，∠CFE+∠2+∠C=180°
∵∠C=70°，
∴∠CFE=85°．
19．（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠1=∠2．又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3．∴CD∥FG．
∴∠BFG=∠CDB．
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°．
∴∠BFG=90°．∴FG⊥AB．
（2）所得命题为真命题．理由如下：
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG．∴∠2=∠3．
∵∠1=∠3，∴∠1=∠2．
∴DE∥BC．
（3）所得命题为真命题．理由如下：
同（2）可得∠2=∠3．
∵DE∥BC，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3
20．（1）解：∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠C=40°，
∴∠ABC=40°，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−40°=50°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
又∵EF∥BC，
∴∠EBC=∠BEF，
∴∠EBF=∠FEB，
∴BF=EF，
∴△BEF是等腰三角形；
（3）解：∵△AEF的周长为15，
∴AE+AF+EF=15，
∵BF=EF，
∴AE+AF+BF=15，
即AE+AB=15，
∵BE平分△ABC的周长，
∴AE+AB=BC+CE=15，
∴△ABC的周长AE+AB+BC+CE=15+15=30．
21．（1）解：直线BE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵ CD是⊙O的切线，
∴ ∠DOE=90°，
∵ OE∥AD，
∴ ∠ODA=∠DOE，∠OAD=∠BOE，
∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠DOE=∠BOE，
在△DOE和△BOE中，
OD=OB∠DOE=∠BOEOE=OE，
∴ △DOE≌△BOESAS，
∴ ∠ODE=∠OBE=90°，
又∵ AB为⊙O的直径，
∴直线BE与⊙O相切；
（2）解：设OA=OD=r，则OC=r+2，
在Rt△ODC中，由勾股定理得CD2+OD2=OC2，
∴ 42+r2=r+22，
解得r=3，
即半径的长为3．
22．解：问题：
∵点M、N分别是线段AC、BC的中点，线段AB=10cm，
∴ CM=12AC，CN=12BC．
∴ MN=12AC+12BC=12AB=5cm．
拓展：
∵点M、N分别是线段AC、BC的中点，线段AB=10cm，
∴ CM=12AC，CN=12BC．
∴ MN=12AC+12BC=12AB=12a；
应用（1）解：
∵射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠MOC=12∠AOC，∠CON=12∠BOC，
∵∠MON=∠MOC+∠CON=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC++BOC)=12×∠AOB=12α．
故答案为：12α．
（2）解：∵BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN，
∴ ∠CBP=12∠ABP，∠DBP=12∠PBN．
∴ ∠CBD=12∠ABP+12∠PBN=12∠ABN
∵ AM∥BN，∠A=68°．∴ ∠ABN=180°−∠A=112°．
∵ AM∥BN
∴ ∠ACB=∠CBN，∠ADB=∠DBN，
∴∠ACB−∠ADB=∠CBN−∠DBN=∠CBD=12∠ABN=56°．