【九省联考题型】备战2024高考三模数学模拟训练卷01（原卷+解析版）

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1．若一组数据的75百分位数是6，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义求解即可．
【详解】这组数据为：，但大小不定，因为，
所以这组数据的分位数为从小到大的顺序的第6个数和第7个数的平均数，
经检验，只有符合．
故选：C．
2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先确定焦点位置，再根据计算即可.
【详解】由已知可得椭圆的焦点在轴上，
故，
则，
得.
故选：D.
3．在等差数列中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据给定条件，利用等差数列下标和性质计算即得.
【分析】在等差数列中，，而，因此，
所以.
故选：B
4．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.
【详解】对于A，可能平行，相交或异面，故A错误，对于B，可能相交或平行，故B错误，
对于D，平行，不可能垂直，故D错误，由线面平行性质得C正确，
故选：C
5．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（ ）
A．216B．228C．384D．486
【答案】A
【分析】先在两端挂2盏吊灯，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯，求出其挂法，最后将宫灯插空挂，考虑宫灯的分组情况，结合分步以及分类计数原理，即可求得答案.
【详解】先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，
最后将宫灯插空挂.
当4盏宫灯分成2，2两份插空时有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法，
所以共有种不同的挂法.
故选：A
6．已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果.
【详解】设，因点的坐标为，所以，
则，
设，即，
依题意，求t的范围即求直线与圆有公共点时在y轴上截距的范围，
即圆心到的距离，解得，
所以的取值范围为，
故选：D.
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.
【详解】，.
，
，，
，，
又因为，所以，
则，所以
.
.
故选：A
8．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可.
【详解】设双曲线的右焦点为，则直线，
联立方程，消去y得：，
则可得，
则，
设线段的中点，则，
即，
且，线段的中垂线的斜率为，
则线段的中垂线所在直线方程为，
令，则，解得，
即，则，
由题意可得：，即，
整理得，则，
注意到双曲线的离心率，
∴双曲线的离心率取值范围是.
故选：A.
【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值（或范围）．
多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分。
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点成中心对称
C．在区间上单调递增
D．若的图象关于直线对称，则
【答案】BC
【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.
【详解】由，最小正周期，A错；
由，即是对称中心，B对；
由，则，显然在区间上单调递增，C对；
由题意，故，D错.
故选：BC
10．若，则（ ）
A．B． C．D．
【答案】BC
【分析】复数的几何意义得出复数z所对应的点的轨迹，由共轭复数的定义及复数的运算可判断各选项.
【详解】利用复数的几何意义知在复平面内，对应的点在对应线段的中垂线即y轴上，
所以不一定是实数，所以A错误；
因为与关于实轴对称，且在y轴上，所以B，C正确；
取，则，所以D错误．
故选：BC.
11．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．为奇函数B．在处的切线斜率为7
C．D．对
【答案】ACD
【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法结合对函数求导，可判断B；将变形为形式，利用柯西方程可求得，代入求值，即可判断C；结合，利用作差法可判断D.
【详解】由题意定义域为的函数满足
令，则，
令，则，即，
故为奇函数，A正确；
由于，故，即，
则为偶函数，由可得，
由，令得，
故，令，则，B错误；
又，
则，
令，则，
由柯西方程知，，故，
则，由于，故，
即，则，C正确；
对
,
故，D正确，
故选：ACD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12．集合,，则
【答案】1或0
【分析】根据包含关系可求参数的值，注意讨论集合是否为空集即可.
【详解】,
,或，
故或.
故答案为：1或0
13．在中，，，，将各边中点连线并折成四面体，则该四面体外接球直径为 ；该四面体的体积为 .
【答案】
【分析】设、、分别为、、中点，沿、、折成四面体，把四面体补成一个长方体，作出图形，设长方体的棱长分别为、、，根据勾股定理可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可求得该四面体的外接球直径，再利用柱体和锥体的体积公式可求得该四面体的体积.
【详解】设、、分别为、、中点，沿、、折成四面体，
设折起后、、重合为点，把四面体补成一个长方体，如图，
其中，，，
设长方体的棱长分别为、、，则，解得，
因此，该四面体的外接球直径为，
该四面体的体积为.
故答案为：；.
14．黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：，定义在实数集上的函数满足，且函数的图象关于直线对称，，当时，，则 .
【答案】/
【分析】由推出为偶函数与周期的函数，据此求的值即可.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，
由得，所以，
所以为偶函数，
由得，代入得，
所以，所以，
所以，所以是以4为周期的函数，
由得，所以，即，
由得，所以，即，所以，所以，
，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题难点在于对条件的灵活应用，一是对进行赋值，赋值一定要合适，根据需要进行合理的赋值才能达到想要的结果；二是对与关系的转化，要找的性质进行赋值后消去得到只有的关系式从而得到的性质.
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数．
(1)若是函数的极值点，求在处的切线方程．
(2)若，求在区间上最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）根据函数的单调性，分类讨论比较和的大小，即可求得.
【详解】（1），
又是函数的极值点，
∴，即
∴，
∴，
在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程是
（2），令，得，
∴在单调递减，在单调递增
而，
①当，即时，
②当，即时，
综上，当时，；
当时，
16．（15分）一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为.
(1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；
(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，则由题意可知事件包括2秒内一直向可移动和一次向右移动与一次向左移动，事件为2秒内一次向右移动与一次向左移动，然后利用独立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式可求得结果；
（2）由题意知可能的取值为，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与期望.
【详解】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，
则
故所求的概率为.
（2）由题意知可能的取值为，
则，
则的分布列为
17．（15分）如图，两个正四棱锥的底面都为正方形，顶点位于底面两侧，．记正四棱锥的体积为，正四棱锥的体积为．
(1)求的最小值；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由锥体体积公式求出，，根据基本不等式求最值，
（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求得结果.
【详解】（1）设正方形中心为，因为和都是正四棱锥，
所以面面，且共线．设．
因为，所以，所以．
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．

（2）由设，由（1）知，即，
以为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，

则，
所以，
设平面的一个法向量，则,即，
，令，则，所以．
设直线与面所成角为．
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．（17分）已知抛物线：经过，，，中的2个点，且焦点为，中的一个点.
(1)求的方程；
(2)判断是否存在定直线，过直线上任意一点P作的两条切线，切点分别为M，N，恒有且直线过的焦点?若存在，求出的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定直线：
【分析】（1）由抛物线C关于x轴对称，可得，都在C上，或都不在C上，讨论即可求解；
（2）先由对称性知，直线也关于x轴对称，再从特殊情况轴时入手， 求得定直线，再证明即可.
【详解】（1）由抛物线C关于x轴对称，可得，都在C上，或都不在C上，
若，都不在C上，则，都在C上，
得即矛盾，
所以，都在C上，，，焦点坐标为.
若C的焦点为，则，，可得C的方程为；
若C的焦点为，则，，不满足题意.
综上，C的方程为.
（2）由（1）知C的焦点为，假设存在符合条件的直线，
由抛物线C关于x轴对称，可得直线也关于x轴对称，
设，，，
当轴时，由过，得，，
由对称性可知点P在x轴上，知.
又，所以，得，
此时，的方程分别为，，
与联立得，
因为，所以，与都相切，满足题意，
所以直线的方程为.
下面证明对直线上的任意一点，都有，且直线过点.
设直线，的斜率分别为，
则直线的方程为，与联立得：，
所以，整理得，
当时，，，即.
同理可得，.
所以，是关于的方程的两个根，
所以，即，
又，，
所以点，，共线，即直线过的焦点.
综上，存在定直线：，过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，，恒有且直线过的焦点.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：1、从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；2、直接推理、计算，并在推理过程中消去变量，得到定值.
19．（17分）给定正整数，设为n维向量的集合.对于集合M中的任意元素和，定义它们的内积为.
设.且集合，对于A中任意元素，，若则称A具有性质.
(1)当时，判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)当时，判断是否存在具有性质的集合A，若存在求出，若不存在请证明；
(3)若集合A具有性质，证明：.
【答案】(1)不具有
(2)存在，，或，
(3)证明见详解
【分析】（1）根据新定义验证即可判断；
（2）分别讨论，根据新定义验证具有性质的集合是否存在即可得解；
（3）根据集合A具有性质，分类讨论，由特殊到一般思想，利用反证法证明结论.
【详解】（1）因为，
同理，
又，同理.
所以集合A={(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}不具有性质.
（2）当时，集合A中的元素个数为4，
由题意知显然，，否则集合A中的元素个数少于4个.
①当时A={(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，,0)，(0，0，0，,1)}，具有性质H(1，0).
③当时，A{(1，1，0，0)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(0，1，1，0)，(0，1，0，1)，(0，0，1，1)}
若，则(1，1，0，0)和(1，0，0，1)至多一个在A中；(0，1，1，0)和(0，1，0，1)至多一个在A中；(1，0，1，0)和(0，0，1，1)至多一个在A中，故集合A中的元素个数小于4.
若，则(1，1，0，0)和(0，0，1，1)至多一个在A中；(1，0，1，0)和(0，1，0，1)至多一个在A中；(1，0，0，1)和(0，1，1，0)至多一个在A中，故集合A中的元素个数小于4.
④当时A={(1,1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，0，1，1)，(0，1，1，1)}，具有性质H(3，2).
综上，，或，.
（3）记，则，
若，则A={(0，0，…，0)}，矛盾.
若，则A={(1，0，0，…，0)}，矛盾.
故.
假设存在j使得，不妨设，即.
当时，有或成立.
所以，，…，中分量为1的个数至多有.
当时，不妨设，.
因为，所以的各分量有p个1，不妨设.
由时，可知，，中至多有1个1，
即，，…，的前个分量中，至多含有个1.
又，则，，…，的前个分量中，含有个1，矛盾.
所以.
因为，
所以.
所以.
【点睛】难点点睛：要证明，化抽象为具体，各个击破的思路求解，先分析特殊情况验证不合题意知，利用反证法证明，假设存在j使得，不妨设，即，分析可知假设错误，得出正确结论，推理较难.
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