2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的最值（含答案）

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一、解答题
1．已知二次函数．
(1)当，时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求x的取值范围．
(2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式．
2．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表：
已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元．
(1)求与的函数关系式；
(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
3．如图，已知抛物线与直线交于点、两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值．
4．已知二次函数，记在某个范围时，函数的最小值为，最大值为，令，回答以下问题：
(1)当时，求的值．
(2)当时，求的范围．
(3)当时，求的值．
5．设二次函数（均为常数，且）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
(1)若．
求二次函数的表达式，并写出顶点坐标；
已知点与都在该二次函数图象上，且，请求出的最小值．
(2)将该二次函数图象向右平移（）个单位，若平移后的二次函数图象在的范围内有最小值为，求的值．
6．如图，取某一位置的水平线为轴，建立平面直角坐标系后，小山坡可近似地看成抛物线：的一部分．小苏在点处抛出小球，小球的运动轨迹为抛物线：的一部分，落在山坡的点处（点在小山坡的坡顶的右侧）．
(1)求小山坡的坡顶高度；
(2)若米，且测得点离轴的水平距离为12米，求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
(3)若小球着陆点到轴的水平距离为12米，当小球飞行到山坡顶的正上方，且与顶部的距离不小于米时，求的取值范围，及小球飞行路线的顶点到轴距离的最小值．
7．如图，点A，B，C都在抛物线（其中）上，轴，，且．
(1)当时，用配方法求抛物线的顶点坐标；
(2)①用含m的式子表示抛物线的顶点坐标 _________；
②求点C到直线的距离（用含a的式子表示）；
(3)若点C到直线的距离为1，当时，y的最大值为2，求m的值．
8．已知二次函数．
(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）．
(2)点在该二次函数图象上，其中．
①当时，求的取值范围．
②请探究的最大值与最小值之差是否会随着的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含的代数式表示这个差．
9．雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味，有一种叫云南的生活，它总是呼唤着你，岁岁年年，四时不变．云南某雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量（单位：张）与门票的售价（单位：元/张）的函数关系如图所示，门票售价不低于50元，不高于300元．
(1)求与的函数解析式（也称关系式）；
(2)求这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值．
10．已知抛物线．
(1)求出它的顶点坐标和对称轴；
(2)当时，有，求的值；
(3)当自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且，求m的值．
11．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．
①求的最大值；
②连接，是否存在点P，使得线段把的面积分成两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图1，抛物线与轴交于两点在的左侧，交轴于点．
(1)当时，点在直线上，若满足的点恰有一个，直接写出的值；
(2)如图2，四边形是的内接矩形，当矩形的面积取最大值时，连接并延长交抛物线于点，求的值．
13．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点， 过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段的长度最大时，求的最小值．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．
(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
15．如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点．
(1)求抛物线与直线的函数解析式；
(2)设点的坐标为，求面积的最大值；
(3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由．
时间（天）
售价
日销售量（）
参考答案：
1．(1)①；②或
(2)
2．(1)
(2)第天的销售利润最大，最大日销售利润为元
3．(1)
(2)，最大为
4．(1)9
(2)
(3)或
5．(1)抛物线解析式为，顶点坐标为；；
(2)．
6．(1)米
(2)
(3)，
7．(1)
(2)①；②
(3)或
8．(1)
(2)①；②不变，定值为4
9．(1)
(2)1210000元
10．(1)，
(2)
(3)或
11．(1)抛物线的解析式为
(2)①当时，取得最大值，最大值为；②存在，点P的坐标为或
12．(1)，，或
(2)
13．(1)
(2)1，
(3)
14．(1)
(2)
(3)的最大值为，此时点
15．(1)；
(2)
(3)存在，点的坐标为或